MGA COORDINATE NG CYLINDRICAL: SYSTEM, PAGBABAGO AT EHERSISYO - MGA MATEMATIKA

Ang cylindrical coordinates ay ginagamit upang maghanap ng mga puntos sa tatlong dimensional na puwang at binubuo ng isang radial coordinate ρ, φ azimuthal coordinate at z coordinate ng taas.

Ang isang puntong P na matatagpuan sa kalawakan ay inaasahang orthogonally sa eroplano ng XY na nagbibigay ng pagtaas sa punto P 'sa eroplano. Ang distansya mula sa pinagmulan hanggang sa punto P 'ay tumutukoy sa coordinate ρ, habang ang anggulo sa pagitan ng X axis at ang ray OP' ay tumutukoy sa coordinate φ. Sa wakas, ang z coordinate ay ang orthogonal projection ng point P sa Z axis. (tingnan ang figure 1).

Larawan 1. Point P ng cylindrical coordinates (ρ, φ, z). (Sariling pagsasaliksik)

Ang radial coordinate ρ ay laging positibo, ang azimuthal coordinate φ ay nag-iiba mula sa zero radians hanggang dalawang pi radian, habang ang z coordinate ay maaaring kumuha ng anumang tunay na halaga:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Pagbabago ng mga coordinate

Madali itong makuha ang mga coordinate ng Cartesian (x, y, z) ng isang point P mula sa cylindrical coordinates (ρ, φ, z):

x = ρ kos (φ)

y = ρ kasalanan (φ)

z = z

Ngunit posible ring makuha ang mga coordinate ng polar (ρ, φ, z) na nagsisimula sa kaalaman ng mga coordinate ng Cartesian (x, y, z) ng isang punto P:

ρ = √ (x ² + y ² )

φ = arctan (y / x)

z = z

Ang base ng Vector sa cylindrical coordinates

Ang base ng mga cylindrical unit vectors Uρ , Uφ , Uz ay tinukoy .

Ang vector Uρ ay padaplis sa linya φ = ctte at z = ctte (pagturo radially panlabas na), ang vector Uφ ay padaplis sa linya ρ = ctte at z = ctte at sa wakas Uz ay may parehong direksyon ng Z axis.

Larawan 2. Cylindrical coordinate base. (wikimedia commons)

Sa base ng cylindrical unit, ang posisyon vector r ng isang punto P ay nakasulat na vectorially tulad nito:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

Sa kabilang banda, ang isang infinitesimal displacement d r mula sa point P ay ipinahayag bilang mga sumusunod:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

Katulad nito, ang isang walang hanggan elemento ng dami dV sa cylindrical coordinates ay:

dV = ρ dρ dφ dz

Mga halimbawa

Mayroong hindi mabilang na mga halimbawa ng paggamit at aplikasyon ng cylindrical coordinates. Sa cartograpya, halimbawa, ang cylindrical projection ay ginagamit, batay tumpak sa mga coordinate na ito. Mayroong maraming mga halimbawa:

Halimbawa 1

Ang mga cylindrical coordinate ay may mga aplikasyon sa teknolohiya. Bilang isang halimbawa mayroon kaming sistema ng data ng CHS (Cylinder-Head-Sector) ng data sa isang hard disk, na talagang binubuo ng ilang mga disk:

- Ang silindro o track ay tumutugma sa coordinate ρ.

- Ang sektor ay tumutugma sa posisyon φ ng disk na umiikot sa mataas na bilis ng anggulo.

- Ang ulo ay tumutugma sa z-posisyon ng ulo ng pagbabasa sa kaukulang disk.

Ang bawat byte ng impormasyon ay may isang tumpak na address sa cylindrical coordinates (C, S, H).

Larawan 2. Ang lokasyon ng impormasyon sa cylindrical coordinates sa isang hard disk system. (wikimedia commons)

Halimbawa 2

Ang mga cran ng konstruksyon ayusin ang posisyon ng pag-load sa cylindrical coordinates. Ang pahalang na posisyon ay tinukoy ng distansya sa axis o arrow ng kreyn ρ at sa pamamagitan ng anggular na posisyon nito φ na may paggalang sa ilang sanggunian na sanggunian. Ang vertical na posisyon ng pagkarga ay natutukoy ng z coordinate ng taas.

Larawan 3. Ang posisyon ng pag-load sa isang crane ng konstruksiyon ay madaling maipahayag sa mga cylindrical coordinates. (image pixabay - annotations R. Pérez)

Malutas na ehersisyo

Ehersisyo 1

Mayroong mga puntos na P1 na may cylindrical coordinates (3, 120º, -4) at ituro ang P2 na may cylindrical coordinates (2, 90º, 5). Hanapin ang distansya ng Euclidean sa pagitan ng dalawang puntos na ito.

Solusyon: Una, nagpapatuloy kami upang mahanap ang mga coordinate ng Cartesian ng bawat punto kasunod ng pormula na ibinigay sa itaas.

P1 = (3 * kos 120º, 3 * kasalanan 120º, -4) = (-1.5, 2.60, -4)

P2 = (2 * kos 90º, 2 * kasalanan 90º, 5) = (0, 2, 5)

Ang distansya ng Euclidean sa pagitan ng P1 at P2 ay:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1.5)) ² + (2 - 2.60) ² + (5 - (- 4)) ² ) = …

… √ (2.25 + 0.36 + 81) = 9.14

Mag-ehersisyo 2

Ang Point P ay mayroong mga coordinate ng Cartesian (-3, 4, 2). Hanapin ang kaukulang mga coordinate ng cylindrical.

Solusyon: Namin magpatuloy upang mahanap ang cylindrical coordinates gamit ang mga relasyon na ibinigay sa itaas:

ρ = √ (x ² + y ² ) = √ ((- 3) ² + 4 ² ) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53.13º + 180º = 126.87º

z = 2

Dapat itong alalahanin na ang pag-andar ng arctangent ay multivalued na may period na 180º. Gayundin, ang anggulo φ ay dapat na kabilang sa pangalawang kuwadrante, dahil ang x at y coordinates ng point P ay nasa quadrant na iyon. Ito ang dahilan kung bakit 180º ay naidagdag sa resulta φ.

Mag-ehersisyo 3

Nagpahayag sa cylindrical coordinates at sa Cartesian coordinates ang ibabaw ng isang silindro na may radius 2 at na ang axis ay magkakasabay sa Z axis.

Solusyon: Naiintindihan na ang silindro ay may isang walang hanggan na extension sa direksyon ng z, kaya ang equation ng nasabing ibabaw sa cylindrical coordinates ay:

ρ = 2

Upang makuha ang equation ng Cartesian ng cylindrical na ibabaw, ang parisukat ng parehong mga miyembro ng nakaraang equation ay nakuha:

ρ ² = 4

Dinadami namin ang parehong mga miyembro ng nakaraang pagkakapantay-pantay ng 1 at inilalapat ang pangunahing trigonometriko na pagkakakilanlan (kasalanan ² (φ) + kos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(kasalanan ² (φ) + kos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Ang panaklong ay binuo upang makuha:

(ρ kasalanan (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Natatandaan namin na ang mga unang panaklong (ρ kasalanan (φ)) ay ang y coordinate ng isang punto sa mga polar coordinates, habang ang mga panaklong (ρ cos (φ)) ay kumakatawan sa x coordinate, upang magkaroon tayo ng equation ng silindro sa mga coordinate Cartesian:

y ² + x ² = 2 ²

Ang equation sa itaas ay hindi dapat malito sa isang pag-ikot sa eroplano ng XY, dahil sa kasong ito magiging ganito ang hitsura: {y ² + x ² = 2 ² ; z = 0}.

Ehersisyo 4

Ang isang silindro ng radius R = 1 m at taas H = 1m ay ipinamamahagi ng masa ang masa ayon sa sumusunod na equation D (ρ) = C (1 - ρ / R) kung saan ang C ay isang pare-pareho ng halaga C = 1 kg / m ³ . Hanapin ang kabuuang misa ng silindro sa mga kilo.

Solusyon: Ang unang bagay ay upang mapagtanto na ang function D (ρ) ay kumakatawan sa volumetric mass density, at na ang density ng masa ay ipinamamahagi sa cylindrical shells na bumababa ang density mula sa sentro sa periphery. Ang isang infinitesimal elemento ng dami ayon sa simetrya ng problema ay:

dV = ρ dρ 2π H

Samakatuwid, ang infinitesimal mass ng isang cylindrical shell ay:

dM = D (ρ) dV

Samakatuwid, ang kabuuang masa ng silindro ay ipapahayag ng sumusunod na tiyak na integral:

M = ∫ _o^R D (ρ) dV = ∫ _o^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _o^R (1 - ρ / R) ρ dρ

Ang solusyon ng ipinahiwatig na integral ay hindi mahirap makuha, ang resulta nito ay:

∫ _o^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Ang pagsasama ng resulta na ito sa pagpapahayag ng masa ng silindro, nakuha namin:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1m * 1kg / m ³ * 1m ² = π / 3 kg ≈ 1.05 kg

Mga Sanggunian

Arfken G at Weber H. (2012). Mga pamamaraan sa matematika para sa mga pisiko. Isang komprehensibong gabay. Ika-7 na edisyon. Akademikong Press. ISBN 978-0-12-384654-9
Pagkalkula cc. Malutas ang mga problema ng cylindrical at spherical coordinates. Nabawi mula sa: calculo.cc
Weisstein, Eric W. "Mga Coordinates ng Cylindrical." Mula sa MathWorld - Isang Wolfram Web. Nabawi mula sa: mathworld.wolfram.com
wikipedia. Cylindrical coordinate system. Nabawi mula sa: en.wikipedia.com
wikipedia. Mga patlang ng Vector sa cylindrical at spherical coordinates. Nabawi mula sa: en.wikipedia.com

MGA COORDINATE NG CYLINDRICAL: SYSTEM, PAGBABAGO AT EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025