PARAAN NG EULER: KUNG ANO ITO AY PARA SA, PAMAMARAAN AT PAGSASANAY - MGA MATEMATIKA - 2024

Ang pamamaraan ng Euler ay ang pinaka pangunahing at simpleng pamamaraan na ginamit upang makahanap ng mga de-numerong solusyon na tinatayang sa isang ordinaryong equation na kaugalian ng unang pagkakasunud-sunod, sa kondisyon na alam ang paunang kondisyon.

Ang isang ordinaryong equation na kaugalian (ODE) ay ang equation na nauugnay sa isang hindi kilalang pag-andar ng isang solong independiyenteng variable kasama ang mga derivatibo nito.

Ang matagumpay na mga pagtataya sa pamamagitan ng pamamaraan ng Euler. Pinagmulan: Oleg Alexandrov

Kung ang pinakamalaking derivative na lumilitaw sa equation ay ng degree one, kung gayon ito ay isang ordinaryong equation na kaugalian ng unang degree.

Ang pinaka-pangkalahatang paraan upang magsulat ng isang equation ng unang degree ay:

x = x ₀

y = y ₀

Ano ang pamamaraan ni Euler?

Ang ideya ng pamamaraan ng Euler ay upang makahanap ng isang numerical solution sa pagkakaiba-iba ng equation sa pagitan sa pagitan ng X ₀ at X _f .

Una, ang agwat ay discretized sa n + 1 puntos:

x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ …, x _n

Alin ang nakuha tulad nito:
x _i = x ₀ + ih

Kung saan h ang lapad o hakbang ng mga subintervals:

Sa paunang kondisyon, kung gayon posible rin na malaman ang pinagmulan sa simula:

y '(x _o ) = f (x _o , y _o )

Ang derivative na ito ay kumakatawan sa slope ng tangent line sa curve ng function y (x) na tumpak sa puntong:

Ao = (x _o , y _o )

Pagkatapos ay isang tinatayang hula ng halaga ng function y (x) ay ginawa sa sumusunod na puntong:

y (x ₁ ) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Ang susunod na tinatayang punto ng solusyon ay nakuha, na kung saan ay tumutugma sa:

Isang ₁ = (x ₁ , y ₁ )

Ang pamamaraan ay paulit-ulit upang makuha ang sunud-sunod na mga puntos

Isang ₂ , A ₃ …, x _n

Sa figure na ipinakita sa simula, ang asul na kurba ay kumakatawan sa eksaktong solusyon ng kaugalian na kaugalian, at ang pula ay kumakatawan sa sunud-sunod na mga puntos na nakuha ng Euler na pamamaraan.

Malutas na ehersisyo

Ehersisyo 1

I ) Hayaan ang pagkakaiba-iba ng equation ay:

Sa paunang kondisyon x = a = 0; at _isang = 1

Gamit ang pamamaraan ng Euler, kumuha ng isang tinatayang solusyon ng y sa coordinate X = b = 0.5, ibinahagi ang agwat sa n = 5 na bahagi.

Solusyon

Ang mga de-numerong resulta ay buod bilang sumusunod:

Mula sa kung saan napagpasyahan na ang solusyon Y para sa halaga 0.5 ay 1.4851.

Tandaan: Ang Smath Studio, isang libreng programa para sa libreng paggamit, ay ginamit upang maisagawa ang mga kalkulasyon.

Mag-ehersisyo 2

II ) Pagpapatuloy sa equation ng kaugalian mula sa ehersisyo I), hanapin ang eksaktong solusyon at ihambing ito sa resulta na nakuha ng pamamaraan ng Euler's. Hanapin ang error o pagkakaiba sa pagitan ng eksaktong at sa tinatayang resulta.

Solusyon

Ang eksaktong solusyon ay hindi napakahirap hanapin. Ang hinango ng function ng kasalanan (x) ay kilala na ang function cos (x). Samakatuwid ang solusyon y (x) ay:

y (x) = kasalanan x + C

Para matupad ang paunang kondisyon at (0) = 1, ang palaging C ay dapat na katumbas ng 1. Ang eksaktong resulta ay pagkatapos ihambing sa tinatayang isa:

Napagpasyahan na sa kinakalkula na agwat, ang pagtatantya ay may tatlong mahahalagang bilang ng katumpakan.

Mag-ehersisyo 3

III ) Isaalang-alang ang kaugalian equation at ang mga paunang kondisyon na ibinigay sa ibaba:

y '(x) = - y ²

Sa paunang kondisyon x ₀ = 0; at ₀ = 1

Gumamit ng pamamaraan ng Eer's upang makahanap ng tinatayang mga halaga ng solusyon y (x) sa agwat x =. Gumamit ng hakbang h = 0.1.

Solusyon

Ang pamamaraan ng Euler ay angkop para magamit sa isang spreadsheet. Sa kasong ito gagamitin namin ang spreadsheet ng geogebra, isang libre at bukas na mapagkukunan na programa.

Ang spreadsheet sa figure ay nagpapakita ng tatlong mga haligi (A, B, C), ang una ay ang variable x, ang pangalawang haligi ay kumakatawan sa variable y, at ang pangatlong haligi ay ang derivative y '.

Ang Row 2 ay naglalaman ng mga paunang halaga ng X, Y, Y '.

Ang hakbang na halaga ng 0.1 ay inilagay sa ganap na cell ng posisyon ($ D $ 4).

Ang paunang halaga ng y0 ay nasa cell B2, at ang y1 ay nasa cell B3. Upang makalkula y ₁ ang formula ay ginagamit:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Ang formula ng spreadsheet na ito ay Bilang B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Katulad na y2 ay nasa cell B4 at ang pormula nito ay ipinapakita sa mga sumusunod na pigura:

Ipinapakita rin ng figure ang graph ng eksaktong solusyon, at ang mga puntos A, B, …, P ng tinatayang solusyon ng pamamaraan ng Euler.

Ang dinamikong Newtonian at pamamaraan ng Euler

Ang mga dinamikong klasikal ay binuo ni Isaac Newton (1643 - 1727). Ang orihinal na pagganyak ni Leonard Euler (1707 - 1783) upang mabuo ang kanyang pamamaraan, ay tiyak upang malutas ang equation ng pangalawang batas ni Newton sa iba't ibang mga pisikal na sitwasyon.

Ang pangalawang batas ni Newton ay karaniwang ipinahayag bilang isang kaugalian na equation ng pangalawang degree:

Kung saan ang x ay kumakatawan sa posisyon ng isang bagay sa oras t. Ang nasabing object ay may misa m at sumailalim sa isang puwersa F. Ang function f ay nauugnay sa puwersa at masa tulad ng sumusunod:

Upang mailapat ang pamamaraan ng Euler ang mga paunang halaga ng oras t, bilis v at posisyon x ay kinakailangan.

Ang sumusunod na talahanayan ay nagpapaliwanag kung paano nagsisimula mula sa mga paunang halaga ng t1, v1, x1 isang pagtatantya ng bilis ng v2 at ang posisyon na x2 ay maaaring makuha, sa instant t2 = t1 + Δt, kung saan representst ay kumakatawan sa isang maliit na pagtaas at tumutugma sa hakbang sa pamamaraan ng Euler.

Ehersisyo 4

IV ) Ang isa sa mga pangunahing problema sa mekanika ay ang isang bloke ng mass M na nakatali sa isang tagsibol (o tagsibol) ng nababanat na K.

Ang pangalawang batas ni Newton para sa problemang ito ay magiging ganito:

Sa halimbawang ito, para sa pagiging simple kukunin natin ang M = 1 at K = 1. Maghanap ng tinatayang solusyon sa posisyon x at ang bilis ng v sa pamamagitan ng pamamaraan ng Euler sa agwat ng oras sa pamamagitan ng paghati sa pagitan ng 12 bahagi.

Dalhin ang 0 bilang paunang instant, paunang bilis ng 0, at paunang posisyon 1.

Solusyon

Ang mga numerical na resulta ay ipinapakita sa sumusunod na talahanayan:

Ang mga graph ng posisyon at bilis sa pagitan ng mga oras 0 at 1.44 ay ipinapakita rin.

Ang mga iminungkahing pagsasanay para sa bahay

Ehersisyo 1

Gumamit ng isang spreadsheet upang matukoy ang isang tinatayang solusyon gamit ang pamamaraan ng Euler para sa equation na kaugalian:

y '= - Exp (-y) kasama ang paunang kondisyon x = 0, y = -1 sa agwat x =

Magsimula sa isang hakbang na 0.1. I-plot ang resulta.

Mag-ehersisyo 2

Gamit ang isang spreadsheet, maghanap ng mga numerong solusyon sa sumusunod na quadratic equation, kung saan y ay isang function ng independiyenteng variable t.

y '' - 1 / y² na may paunang kondisyon t = 0; at (0) = 0.5; y '(0) = 0

Hanapin ang solusyon sa agwat gamit ang isang hakbang na 0.05.

I-plot ang resulta: y vs t; y 'vs t

Mga Sanggunian

1. Ang pamamaraan ng Eurler Kinuha mula sa wikipedia.org
2. Euler solver. Kinuha mula sa en.smath.com