MGA BAHAGYANG PRAKSIYON: MGA KASO AT HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga bahagyang praksiyon ay mga praksyon na nabuo ng mga polynomial, kung saan ang denominator ay maaaring maging isang guhit o quadratic polynomial at maaari ring itataas sa isang kapangyarihan. Minsan kung mayroon kaming mga nakapangangatwiran na pag-andar ito ay lubos na kapaki-pakinabang upang muling isulat ang function na ito bilang isang kabuuan ng mga bahagyang mga praksyon o simpleng mga praksyon.

Ito ay dahil sa ganitong paraan maaari nating manipulahin ang mga function na ito sa isang mas mahusay na paraan, lalo na sa mga kaso kung saan kinakailangan na isama ang nasabing application. Ang isang nakapangangatwiran na pag-andar ay simple lamang sa pagitan ng dalawang polynomial, at maaari silang maging maayos o hindi wasto.

Kung ang antas ng polynomial ng numerator ay mas mababa sa denominator, ito ay tinatawag na isang makatwirang tamang pag-andar; kung hindi man, ito ay kilala bilang isang hindi wastong rational function.

Kahulugan

Kapag mayroon kaming hindi tamang pag-andar na hindi makatuwiran, maaari naming hatiin ang polynomial ng numerator ng polynomial ng denominador at sa gayon ay muling isulat ang maliit na bahagi ng p (x) / q (x), na sumusunod sa paghati sa algorithm bilang t (x) + s (x) / q (x), kung saan ang t (x) ay isang polynomial at s (x) / q (x) ay isang wastong rational function.

Ang isang bahagyang bahagi ay anumang tamang pag-andar ng polynomial, na ang denominator ay ng porma (ax + b) ⁿ o (ax ² + bx + c) ⁿ , kung ang polynomial ax ² + bx + c ay walang tunay na ugat at n ay isang numero natural.

Upang maisulat muli ang isang nakapangangatwiran na pag-andar sa bahagyang mga praksyon, ang unang bagay na dapat gawin ay ang kadahilanan ng denominator q (x) bilang isang produkto ng linear at / o quadratic factor. Kapag ito ay tapos na, ang mga bahagyang mga praksyon ay natutukoy, na nakasalalay sa likas na katangian ng mga salik na ito.

Mga Kaso

Isinasaalang-alang namin ang ilang mga kaso nang hiwalay.

Kaso 1

Ang mga kadahilanan ng q (x) ay lahat ng guhit at walang paulit-ulit. Na ibig sabihin:

q (x) = (isang ₁ x + b ₁ ) (isang ₂ x + b ₂ ) … (isang _s x + b _s )

Walang linear factor na magkapareho sa isa pa. Kapag nangyari ang kasong ito magsusulat kami:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁ ) + A ₂ / (isang ₂ x + b ₂ ) … + A _s / (isang _s x + b _s ).

Kung saan ang A ₁ , A ₂ , …, A _s ang mga dapat na matatagpuan.

Halimbawa

Nais naming mabulok ang katuwiran na function sa mga simpleng fraction:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Nagpapatuloy kami sa kadahilanan ng denominator, iyon ay:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Pagkatapos:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Paglalapat ng hindi bababa sa karaniwang maramihang, maaari itong makuha na:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Nais naming makuha ang mga halaga ng mga constant A, B at C, na maaaring matagpuan sa pamamagitan ng paghahalili ng mga ugat na kanselahin ang bawat isa sa mga termino. Substituting 0 para sa x mayroon kami:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Substituting - 1 para sa x mayroon kami:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Substituting - 2 para sa x mayroon kami:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2C

C = –3/2.

Sa ganitong paraan ang mga halaga ng A = –1/2, B = 2 at C = –3/2 ay nakuha.

May isa pang pamamaraan upang makuha ang mga halaga ng A, B at C. Kung sa kanang bahagi ng ekwasyon x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x pinagsama namin ang mga termino, mayroon kami:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Dahil ito ay isang pagkakapantay-pantay ng mga polynomial, mayroon kaming mga coefficients sa kaliwang bahagi ay dapat na pantay-pantay sa mga nasa kanang bahagi. Nagreresulta ito sa sumusunod na sistema ng mga equation:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Ang paglutas ng sistemang ito ng mga equation, nakukuha natin ang mga resulta A = –1/2, B = 2, at C = -3/2.

Sa wakas, ang pagpapalit ng mga halagang natamo mayroon kami na:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Kaso 2

Ang mga kadahilanan ng q (x) ay lahat ng mga guhit at ang ilan ay paulit-ulit. Ipagpalagay na ang (ax + b) ay isang kadahilanan na paulit-ulit na "s" beses; pagkatapos, sa kadahilanang ito ay tumutugma sa kabuuan ng «s» na bahagyang mga praksyon.

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 + … + A ₁ / (ax + b).

Saan A _s , A _s-1 , …, A ₁ ay ang mga constants na tinutukoy. Gamit ang sumusunod na halimbawa ay ipapakita namin kung paano matukoy ang mga constants na ito.

Halimbawa

Mabulok sa bahagyang mga praksiyon:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ )

Sinusulat namin ang rational function bilang isang kabuuan ng mga bahagyang mga praksiyon tulad ng sumusunod:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2 ).

Pagkatapos:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

Substituting 2 para sa x, mayroon kami na:

7 = 4C, iyon ay, C = 7/4.

Substituting 0 para sa x mayroon kami:

- 1 = –8A o A = 1/8.

Pagsusulat ng mga halagang ito sa nakaraang equation at pagbuo, mayroon tayo na:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

Ang pagkakapareho ng mga coefficient, nakuha namin ang sumusunod na sistema ng mga equation:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Paglutas ng system, mayroon kami:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Para dito, kailangan nating:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

Kaso 3

Ang mga kadahilanan ng q (x) ay magkakasunod na parisukat, nang walang paulit-ulit na mga kadahilanan sa kuwadratik. Sa kasong ito, ang kadahilanan ng quadratic (ax ² + bx + c) ay tumutugma sa bahagyang bahagi (Ax + B) / (ax ² + bx + c), kung saan ang mga constant A at B ang dapat matukoy.

Ang sumusunod na halimbawa ay nagpapakita kung paano magpatuloy sa kasong ito

Halimbawa

Mabulok sa mga simpleng fraction a (x + 1) / (x ³ - 1).

Una magpatuloy kami sa kadahilanan ng denominator, na nagbibigay sa amin bilang isang resulta:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Mapapansin natin na (x ² + x + 1) ay isang hindi maiiwasang quadratic polynomial; iyon ay, wala itong tunay na ugat. Ang agnas nito sa bahagyang mga praksyon ay ang mga sumusunod:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

Mula dito nakukuha namin ang sumusunod na equation:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

Gamit ang pagkakapantay-pantay ng mga polynomial, nakuha namin ang sumusunod na sistema:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

Mula sa sistemang ito mayroon tayong A = 2/3, B = - 2/3 at C = 1/3. Substituting, mayroon kami na:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

Kaso 4

Sa wakas, ang kaso 4 ay ang isa kung saan ang mga kadahilanan ng q (x) ay magkatulad at parisukat, kung saan ang ilan sa mga linear quadratic factor ay paulit-ulit.

Sa kasong ito, kung (ax ² + bx + c) ay isang parisukat na kadahilanan na paulit-ulit na "s" beses, kung gayon ang bahagyang bahagi na nauugnay sa kadahilanan (palakol ² + bx + c) ay:

(Isang ₁ x + B) / (ax ² + bx + c) + … + (A _s-1 x + B _s-1 ) / (ax ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s ) / (palakol ² + bx + c) ^s

Kung saan ang A _s , A _s-1 , …, A at B _s , B _s-1 , …, B ang mga kinakailangan upang matiyak.

Halimbawa

Nais naming mabulok ang sumusunod na makatuwiran na pag-andar sa mga bahagyang mga praksiyon:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² )

Yamang ang x ² - 4x + 5 ay isang hindi maiiwasang kadahilanan ng parisukat, mayroon kaming na ang pagbulok nito sa bahagyang mga praksyon ay ibinigay ng:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

Ang pagpapagaan at pagbuo, mayroon tayo:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Mula sa itaas mayroon kaming sumusunod na sistema ng mga equation:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Kapag nalutas ang system, maiiwan kami sa:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 at E = - 3/5.

Sa pamamagitan ng paghahalili ng mga nakuha na halaga na mayroon kami:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4x + 5) ²

Aplikasyon

Integral calculus

Ang mga bahagyang praksiyon ay pangunahing ginagamit para sa pag-aaral ng integral calculus. Narito ang ilang mga halimbawa kung paano maisagawa ang mga integral gamit ang mga bahagyang mga praksiyon.

Halimbawa 1

Nais naming kalkulahin ang integral ng:

Makikita natin na ang denominator q (x) = (t + 2) ² (t + 1) ay binubuo ng mga guhit na kadahilanan kung saan ang isa sa mga ito ay paulit-ulit; Ito ang dahilan kung bakit tayo nasa kaso 2.

Kailangan natin:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Isusulat namin ang equation at mayroon kami:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Kung t = - 1, mayroon kami:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Kung t = - 2, binibigyan tayo nito:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Pagkatapos, kung t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Pagsusulat ng mga halaga ng A at C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Mula sa itaas mayroon tayong B = - 1.

Isusulat namin ang mahalagang bilang:

Nagpapatuloy kami upang malutas ito sa pamamagitan ng paraan ng pagpapalit:

Ito ang resulta:

Halimbawa 2

Malutas ang sumusunod na integral:

Sa kasong ito maaari nating saliksik aq (x) = x ² - 4 bilang q (x) = (x - 2) (x + 2). Malinaw kami sa kaso 1. Samakatuwid:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Maaari rin itong maipahayag bilang:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Kung x = - 2, mayroon kami:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

At kung x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Kaya, kami ay naiwan sa paglutas ng ibinigay na integral ay katumbas sa paglutas:

Nagbibigay ito sa amin bilang isang resulta:

Halimbawa 3

Malutas ang mahalagang:

Mayroon kaming q (x) = 9x ⁴ + x ² , na maaari nating saliksik sa q (x) = x ² (9x ² + 1).

Sa oras na ito mayroon kaming paulit-ulit na linear factor at isang quadratic factor; iyon ay, nasa kaso kami 3.

Kailangan natin:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

Pagpangkat at paggamit ng pantay na polynomial, mayroon kami:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Mula sa sistemang ito ng mga equation mayroon kami:

D = - 9 at C = 0

Sa ganitong paraan, mayroon kaming:

Sa pamamagitan ng paglutas ng nasa itaas, mayroon kami:

Batas ng aksyong masa

Ang isang kagiliw-giliw na aplikasyon ng mga bahagyang fraction na inilalapat sa integral calculus ay matatagpuan sa kimika, na mas tiyak sa batas ng pagkilos ng masa.

Ipagpalagay na mayroon kaming dalawang sangkap, A at B, na sumasama at bumubuo ng isang sangkap C, upang ang hinango ng halaga ng C na may paggalang sa oras ay proporsyonal sa produkto ng mga halaga ng A at B sa anumang oras.

Maaari nating ipahiwatig ang batas ng aksyong masa tulad ng sumusunod:

Sa expression na ito ay ang paunang bilang ng gramo na katumbas sa A at β ang paunang bilang ng gramo na katumbas sa B.

Bukod dito, ang r at s ay kumakatawan sa bilang ng mga gramo ng A at B ayon sa pagkakabanggit na pinagsama upang makabuo ng r + s gramo ng C. Para sa bahagi nito, ang x ay kumakatawan sa bilang ng gramo ng sangkap C sa oras t, at K ang pare-pareho ng proporsyonalidad. Ang equation sa itaas ay maaaring maisulat muli bilang:

Ang paggawa ng sumusunod na pagbabago:

Mayroon kaming ang equation ay nagiging:

Mula sa ekspresyong ito makakakuha tayo:

Kung saan kung ang isang, b, bahagyang mga praksyon ay maaaring magamit para sa pagsasama.

Halimbawa

Isaalang-alang natin ang isang sangkap C na nagmumula sa pagsasama ng isang sangkap A sa isang B, sa paraang natupad ang batas ng masa kung saan ang mga halaga ng a at b ay 8 at 6 ayon sa pagkakabanggit. Bigyan ng isang equation na nagbibigay sa amin ng halaga ng gramo ng C bilang isang pag-andar ng oras.

Pagsusulat ng mga halaga sa ibinigay na batas ng masa, mayroon tayo:

Kapag naghihiwalay ng mga variable mayroon kami:

Narito ang 1 / (8 - x) (6 - x) ay maaaring isulat bilang kabuuan ng mga bahagyang mga praksyon, tulad ng sumusunod:

Sa gayon, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Kung papalitan namin ang 6 para sa x, mayroon kaming B = 1/2; at pagpapalit ng 8 para sa x, mayroon kaming A = - 1/2.

Pagsasama sa pamamagitan ng bahagyang mga fraksi na mayroon kami:

Nagbibigay ito sa amin bilang isang resulta:

Pagkakaiba-iba ng mga equation: logistic equation

Ang isa pang application na maaring ibigay sa bahagyang mga praksyon ay sa logistic na kaugalian equation. Sa mga simpleng modelo mayroon kaming na ang rate ng paglago ng isang populasyon ay proporsyonal sa laki nito; na ibig sabihin:

Ang kasong ito ay isang mainam at itinuturing na makatotohanang hanggang sa mangyari na ang mga mapagkukunang magagamit sa isang sistema ay hindi sapat upang suportahan ang populasyon.

Sa mga sitwasyong ito, ang pinaka-makatuwirang bagay ay mag-isip na mayroong isang maximum na kapasidad, na tatawagin namin L, na ang sistema ay maaaring mapanatili, at ang rate ng paglago ay proporsyonal sa laki ng populasyon na pinarami ng magagamit na laki. Ang argumento na ito ay humahantong sa sumusunod na equation na kaugalian:

Ang expression na ito ay tinatawag na equation na logistic kaugalian. Ito ay isang hiwalay na equation na kaugalian na maaaring malutas gamit ang bahagyang pamamaraan ng pagsasama ng bahagi.

Halimbawa

Ang isang halimbawa ay upang isaalang-alang ang isang populasyon na lumalaki ayon sa sumusunod na logistic kaugalian equation y '= 0.0004y (1000 - y), na ang paunang data ay 400. Nais naming malaman ang laki ng populasyon sa oras t = 2, kung saan sinusukat ang t sa loob ng maraming taon.

Kung isusulat namin ang y 'sa notasyon ni Leibniz bilang isang function na nakasalalay sa t, mayroon kami:

Ang integral sa kaliwang bahagi ay maaaring malutas gamit ang bahagyang paraan ng pagsasama ng bahagi:

Maaari nating isulat muli ang huling pagkakapantay-pantay na ito tulad ng sumusunod:

- Substituting y = 0 mayroon kaming A ay katumbas ng 1/1000.

- Substituting y = 1000 mayroon kaming B na katumbas sa 1/1000.

Sa mga halagang ito ang integral ay ang mga sumusunod:

Ang solusyon ay:

Gamit ang paunang data:

Kapag nag-clear at mayroon kami:

Pagkatapos ay mayroon kami sa t = 2:

Sa konklusyon, pagkatapos ng 2 taon ang laki ng populasyon ay humigit-kumulang na 597.37.

Mga Sanggunian

1. A, RA (2012). Matematika 1. Universidad de los Andes. Council Council.
2. Cortez, I., & Sanchez, C. (nd). 801 Na-resolusyon ng mga integral. Pambansang Pang-eksperimentong Unibersidad ng Tachira.
3. Leithold, L. (1992). Ang pagkalkula gamit ang analytic geometry. HARLA, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Pagkalkula. Mexico: Edukasyon sa Pearson.
5. Saenz, J. (nd). Integral calculus. Hypotenuse.