PAMAMAHAGI NG HYPERGEOMETRIC: MGA FORMULA, MGA EQUATION, MODELO - DUDAS - 2025

Ang pamamahagi ng hypergeometric ay isang discrete statistical function, na angkop para sa pagkalkula ng posibilidad sa randomized na mga eksperimento na may dalawang posibleng mga kinalabasan. Ang kondisyon na kinakailangan upang ilapat ito ay ang mga ito ay maliit na populasyon, kung saan ang mga pag-atras ay hindi pinalitan at ang mga probabilidad ay hindi pare-pareho.

Samakatuwid, kung ang isang elemento ng populasyon ay pinili upang malaman ang resulta (totoo o maling) ng isang tiyak na katangian, ang parehong elemento ay hindi na mapili muli.

Larawan 1. Sa isang populasyon ng bolt na tulad nito, tiyak na may mga depektibong specimen. Pinagmulan: Pixabay.

Tiyak, ang susunod na elemento na napili ay mas malamang na makakuha ng isang tunay na resulta, kung ang nakaraang elemento ay may negatibong resulta. Nangangahulugan ito na ang posibilidad ay nag-iiba habang ang mga elemento ay nakuha mula sa sample.

Ang mga pangunahing aplikasyon ng pamamahagi ng hypergeometric ay: kontrol ng kalidad sa mga proseso na may kaunting populasyon at ang pagkalkula ng mga probabilidad sa mga laro ng pagkakataon.

Tulad ng para sa matematika function na tumutukoy sa pamamahagi ng hypergeometric, binubuo ito ng tatlong mga parameter, na:

- Bilang ng mga elemento ng populasyon (N)

- Halimbawang laki (m)

- Bilang ng mga kaganapan sa buong populasyon na may kanais-nais (o hindi kanais-nais) na resulta ng pinag-aralan na katangian (n).

Mga formula at equation

Ang formula para sa pamamahagi ng hypergeometric ay nagbibigay ng posibilidad na P na x kanais-nais na mga kaso ng isang tiyak na katangian na nagaganap. Ang paraan upang isulat ito sa matematika, batay sa mga numero ng kombinatorial ay:

Sa nakaraang expression N, n at m ay mga parameter at x ang variable mismo.

- Kabuuang populasyon ay N.

-Hindi ng positibong mga resulta ng isang tiyak na katangian ng binary na may paggalang sa kabuuang populasyon ay n.

-Ang katumpakan ng mga elemento sa sample ay m.

Sa kasong ito, ang X ay isang random variable na tumatagal ng halaga x at P (x) ay nagpapahiwatig ng posibilidad ng paglitaw ng x kanais-nais na mga kaso ng katangian na pinag-aralan.

Mahalagang mga variable na istatistika

Ang iba pang mga variable na istatistika para sa pamamahagi ng hypergeometric ay:

- Ibig sabihin μ = m * n / N

- Pagkakaiba-iba σ ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1)

- Standard na paglihis σ na kung saan ay ang parisukat na ugat ng pagkakaiba-iba.

Model at katangian

Upang makarating sa modelo ng pamamahagi ng hypergeometric, nagsisimula kami mula sa posibilidad ng pagkuha ng x kanais-nais na mga kaso sa isang sample ng laki m. Ang halimbawang ito ay naglalaman ng mga elemento na sumusunod sa mga ari-arian sa ilalim ng pag-aaral at mga elemento na hindi.

Alalahanin na ang n ay kumakatawan sa bilang ng mga kanais-nais na mga kaso sa kabuuang populasyon ng mga elemento ng N. Pagkatapos ang posibilidad ay kinakalkula tulad nito:

Ang pagpapahayag ng nasa itaas sa anyo ng mga numero ng kombinatorial, naabot ang sumusunod na modelo ng pamamahagi ng posibilidad:

Pangunahing katangian ng pamamahagi ng hypergeometric

Ang mga ito ay ang mga sumusunod:

- Ang sample ay dapat palaging maliit, kahit na ang populasyon ay malaki.

- Ang mga elemento ng sample ay kinuha nang paisa-isa, nang hindi isinasama ang mga ito pabalik sa populasyon.

- Ang pag-aari na dapat mapag-aralan ay binary, iyon ay, maaari lamang itong tumagal ng dalawang halaga: 1 o 0, o totoo o hindi totoo.

Sa bawat hakbang ng pagkuha ng elemento, nagbabago ang posibilidad depende sa mga nakaraang resulta.

Pagtataya gamit ang pamamahagi ng binomial

Ang isa pang pag-aari ng pamamahagi ng hypergeometric ay maaari itong ma-approximate ng binomial pamamahagi, na tinaguriang Bi, hangga't ang populasyon N ay malaki at hindi bababa sa 10 beses na mas malaki kaysa sa sample m. Sa kasong ito magiging ganito ang hitsura:

Ang posibilidad na ang x = 3 screws sa sample ay may depekto ay: P (500, 5, 60, 3) = 0.0129.

Para sa bahagi nito, ang posibilidad na ang x = 4 na mga turnilyo sa animnapu't sampol ng sample ay may depekto ay: P (500, 5, 60; 4) = 0.0008.

Sa wakas, ang posibilidad na ang x = 5 na mga tornilyo sa halimbawang iyon ay may depekto ay: P (500, 5, 60; 5) = 0.

Ngunit kung nais mong malaman ang posibilidad na sa halimbawang iyon ay may higit sa 3 may sira na mga turnilyo, kung gayon kailangan mong makuha ang pagkakalugi ng pinagsama-samang, pagdaragdag:

Ang halimbawang ito ay inilalarawan sa figure 2, na nakuha sa pamamagitan ng paggamit ng GeoGebra, isang libreng software na malawakang ginagamit sa mga paaralan, institute at unibersidad.

Larawan 2. Halimbawa ng pamamahagi ng hypergeometric. Inihanda ni F. Zapata kasama ang GeoGebra.

Halimbawa 2

Ang isang deck deck ng Espanya ay may 40 baraha, kung saan 10 ay may ginto at ang natitirang 30 ay hindi. Ipagpalagay na ang 7 card ay iguguhit nang random mula sa deck na iyon, na hindi nasasama sa kubyerta.

Kung ang X ay ang bilang ng mga gintong naroroon sa 7 card na iginuhit, kung gayon ang posibilidad na magkakaroon ka ng x na ginto sa isang 7-card draw ay ibinigay ng pamamahagi ng hypergeometric P (40,10,7; x).

Tingnan natin ito tulad nito: upang makalkula ang posibilidad ng pagkakaroon ng 4 na ginto sa isang 7-draw draw na ginagamit namin ang formula ng pamamahagi ng hypergeometric na may mga sumusunod na halaga:

At ang resulta ay: 4.57% posibilidad.

Ngunit kung nais mong malaman ang posibilidad ng pagkuha ng higit sa 4 na card, pagkatapos ay kailangan mong magdagdag:

Malutas na ehersisyo

Ang sumusunod na hanay ng mga pagsasanay ay inilaan upang mailarawan at mabigyan ng kahulugan ang mga konsepto na ipinakita sa artikulong ito. Mahalaga na sinusubukan ng mambabasa na malutas ang mga ito sa kanyang sarili, bago tumingin sa solusyon.

Ehersisyo 1

Natuklasan ng isang pabrika ng condom na sa bawat 1000 condom na ginawa ng isang tiyak na makina, 5 ang may depekto. Para sa kontrol ng kalidad, 100 mga condom ay kinukuha nang random at maraming tinanggihan kung mayroong hindi bababa sa isa o higit pang mga may depekto. Sagot:

a) Ano ang posibilidad na maraming 100 ang itatapon?

b) Mabisa ba ang kalidad ng control criterion na ito?

Solusyon

Sa kasong ito, lilitaw ang napakalaking mga numero ng kombinatorial. Mahirap ang pagkalkula, maliban kung mayroon kang isang angkop na package ng software.

Ngunit dahil ito ay isang malaking populasyon at ang sampol ay sampung beses na mas maliit kaysa sa kabuuang populasyon, posible na gamitin ang pagtatantya ng pamamahagi ng hypergeometric ng pamamahagi ng binomial:

Sa expression sa itaas C (100, x) ay isang bilang ng kombinatorial. Pagkatapos ang posibilidad ng pagkakaroon ng higit sa isang may depekto ay kalkulahin tulad nito:

Ito ay isang mahusay na pagtatantya, kung ihahambing sa halaga na nakuha sa pamamagitan ng paglalapat ng pamamahagi ng hypergeometric: 0.4102

Masasabi na, na may posibilidad na 40%, isang batch na 100 prophylactics ay dapat itapon, na hindi masyadong mabisa.

Ngunit, ang pagiging isang maliit na hindi gaanong hinihingi sa proseso ng kontrol ng kalidad at itapon ang maraming 100 lamang kung mayroong dalawa o higit pang mga pagkukulang, kung gayon ang posibilidad na itapon ang maraming ay mahulog sa 8% lamang.

Mag-ehersisyo 2

Ang isang makina ng bloke ng plastik ay gumagana sa paraang para sa bawat 10 piraso, ang isa ay may kapansanan. Sa isang sample ng 5 piraso, paano malamang na isang piraso lamang ang may depekto?

Solusyon

Populasyon: N = 10

Bilang ng mga kakulangan para sa bawat N: n = 1

Laki ng halimbawang: m = 5

Samakatuwid mayroong isang 50% na posibilidad na sa isang sample ng 5, isang bloke ang mai-deform.

Mag-ehersisyo 3

Sa isang pagpupulong ng mga batang nagtapos ng high school ay may 7 mga kababaihan at 6 mga ginoo. Sa mga batang babae, 4 na pinag-aralan ang humanities at 3 science. Sa batang lalaki, 1 nag-aaral ng humanities at 5 science. Kalkulahin ang sumusunod:

a) Pagpili ng tatlong batang babae nang walang sapalaran: gaano ba kadali na lahat sila ay nag-aaral ng mga humanities?

b) Kung ang tatlong dadalo sa pagpupulong ng mga kaibigan ay napili nang sapalaran: Ano ang posibilidad na tatlo sa kanila, anuman ang kasarian, pag-aaral ng agham lahat ng tatlo, o mga makataong pantao din silang tatlo?

c) Ngayon pumili ng dalawang mga kaibigan nang random at tawagan x ang random variable na "bilang ng mga nag-aaral ng humanities". Sa pagitan ng dalawang napili, alamin ang kahulugan o inaasahang halaga ng x at ang pagkakaiba-iba σ ^ 2.

Solusyon sa

Ang mga halaga na gagamitin ngayon ay:

-Populasyon: N = 14

-Ang katumpakan na nag-aaral ng mga titik ay: n = 6 at ang

-Size ng sample: m = 3.

-Hindi ng mga kaibigan na nag-aaral ng humanities: x

Ayon dito, ang x = 3 ay nangangahulugang lahat ng tatlong pag-aaral na humanities, ngunit ang x = 0 ay nangangahulugang walang sinuman ang pag-aaral ng mga pagkatao. Ang posibilidad na ang lahat ng tatlong pag-aaral na pareho ay ibinigay ng kabuuan:

P (14, 6, 3, x = 0) + P (14, 6, 3, x = 3) = 0.0560 + 0.1539 = 0.2099

Pagkatapos mayroon kaming isang 21% posibilidad na ang tatlong mga dadalo sa pagpupulong, na pinili nang random, ay pag-aralan ang parehong bagay.

Solusyon c

Narito mayroon kaming mga sumusunod na halaga:

N = 14 kabuuang populasyon ng mga kaibigan, n = 6 kabuuang bilang sa populasyon na nag-aaral ng mga humanities, ang laki ng sample ay m = 2.

Ang pag-asa ay:

E (x) = m * (n / N) = 2 * (6/14) = 0.8572

At ang pagkakaiba-iba:

σ (x) ^ 2 = m * (n / N) * (1-n / N) * (Nm) / (N-1) = 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * ( 14-2) / (14-1) =

= 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) = 2 * (3/7) * (1-3 / 7) * (12) / ( 13) = 0.4521

Mga Sanggunian

1. Mga distribusyon ng posibilidad ng discrete. Nabawi mula sa: biplot.usal.es
2. Istatistika at posibilidad. Pamamahagi ng Hygeetometric. Nabawi mula sa: projectdescartes.org
3. CDPYE-UGR. Pamamahagi ng Hygeetometric. Nabawi mula sa: ugr.es
4. Geogebra. Classical geogebra, calculus ng posibilidad. Nabawi mula sa geogebra.org
5. Subukan madali. Malutas ang mga problema ng pamamahagi ng hypergeometric. Nabawi mula sa: probafacil.com
6. Minitab. Pamamahagi ng Hygeetometric. Nabawi mula sa: support.minitab.com
7. Unibersidad ng Vigo. Pangunahing pamamahagi ng discrete. Nabawi mula sa: anapg.webs.uvigo.es
8. Vitutor. Mga istatistika at combinatorics. Nabawi mula sa: vitutor.net
9. Weisstein, Pamamahagi ni Eric W. Hypergeometric. Nabawi mula sa: mathworld.wolfram.com
10. Wikipedia. Pamamahagi ng Hygeetometric. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com