HOMOTHECY: MGA KATANGIAN, URI AT HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2024

Ang dilation ay isang geometric na pagbabago sa eroplano na, mula sa isang nakapirming punto na tinatawag na sentro (O), ang mga distansya ay pinarami ng isang karaniwang kadahilanan. Sa ganitong paraan, ang bawat puntong P ay tumutugma sa isa pang punto ng produkto ng P 'pagbabagong-anyo, at ang mga ito ay nakahanay sa point O.

Kaya, ang homothecy ay tungkol sa isang sulat sa pagitan ng dalawang mga geometric na numero, kung saan ang mga binagong mga punto ay tinatawag na homothetic, at ang mga ito ay nakahanay sa isang nakapirming punto at may mga segment na kahanay sa bawat isa.

Homothecy

Ang homothecy ay isang pagbabagong-anyo na walang imaheng bati, dahil mula sa isang numero ng isa o higit pang mga figure na mas malaki o mas maliit na laki kaysa sa orihinal na pigura ay makuha; ibig sabihin, ang homothecy ay nagbabago ng isang polygon sa ibang katulad.

Upang matupad ang homothecy, ang point to point at line to line ay dapat magkatugma, upang ang mga pares ng homologous point ay nakahanay sa isang ikatlong nakapirming punto, na siyang sentro ng homothecy.

Gayundin, ang mga pares ng mga linya na sumali sa kanila ay dapat na kahanay. Ang ugnayan sa pagitan ng naturang mga segment ay isang palagiang tinatawag na homothecy ratio (k); sa paraang ang homothecy ay maaaring tukuyin bilang:

Upang maisagawa ang ganitong uri ng pagbabagong-anyo, nagsisimula tayo sa pamamagitan ng pagpili ng isang di-makatwirang punto, na magiging sentro ng homothecy.

Mula sa puntong ito, ang mga linya ng linya ay iginuhit para sa bawat tuktok ng figure na mababago. Ang scale kung saan ginawa ang paggawa ng kopya ng bagong pigura ay ibinigay ng ratio ng homothecy (k).

Ari-arian

Ang isa sa mga pangunahing katangian ng homothecy ay na, sa pamamagitan ng homothetic reason (k), ang lahat ng mga homothetic figure ay magkatulad. Kabilang sa iba pang mga natitirang katangian ay ang mga sumusunod:

- Ang sentro ng homothecia (O) ay ang dobleng punto lamang at ito ay nabago sa sarili; iyon ay, hindi ito nag-iiba.

- Ang mga linya na dumaan sa gitna ay binago sa kanilang sarili (sila ay doble), ngunit ang mga puntos na bumubuo nito ay hindi doble.

- Ang mga linya na hindi dumaan sa gitna ay binabago sa mga magkatulad na linya; sa ganitong paraan, ang mga anggulo ng homothecy ay mananatiling pareho.

- Ang imahe ng isang segment sa pamamagitan ng isang homothecy ng center O at ratio k, ay isang segment na kahanay nito at may mga beses na haba ng k. Halimbawa, tulad ng makikita sa sumusunod na imahe, ang isang segment na AB sa homothecy ay magreresulta sa isa pang segment na A'B ', tulad ng AB ay magiging kahanay sa A'B' at ang k ay magiging:

- Ang mga homothetic na anggulo ay kasabay; iyon ay, pareho silang panukala. Samakatuwid, ang imahe ng isang anggulo ay isang anggulo na may parehong malawak.

Sa kabilang banda, mayroon kaming ang homothecy ay nag-iiba bilang isang function ng halaga ng ratio nito (k), at ang mga sumusunod na kaso ay maaaring mangyari:

- Kung ang palaging k = 1, ang lahat ng mga puntos ay naayos dahil binago nila ang kanilang sarili. Sa gayon, ang figure ng homothetic ay nag-tutugma sa orihinal na isa at ang pagbabago ay tatawaging function ng pagkakakilanlan.

- Kung ang k ≠ 1, ang tanging nakapirming punto ang magiging sentro ng homotikong (O).

- Kung k = -1, ang homothecy ay nagiging isang sentral na simetrya (C); ibig sabihin, ang isang pag-ikot sa paligid ng C, sa isang anggulo ng 180 ^o .

- Kung k> 1, ang laki ng binagong figure ay magiging mas malaki kaysa sa laki ng orihinal.

- Kung 0 <k <1, ang laki ng binagong figure ay mas maliit kaysa sa orihinal.

- Kung -1 <k <0, ang laki ng binagong figure ay magiging mas maliit at ito ay iikot nang may paggalang sa orihinal.

- Kung k <-1, ang laki ng binagong figure ay magiging mas malaki at ito ay paikutin na may paggalang sa orihinal.

Mga Uri

Ang homothecy ay maaari ring maiuri sa dalawang uri, depende sa halaga ng ratio nito (k):

Direktang homothecy

Ito ay nangyayari kung ang pare-pareho k> 0; iyon ay, ang mga homothetic point ay nasa parehong panig na may paggalang sa gitna:

Ang proporsyonal na kadahilanan o pagkakapareho ratio sa pagitan ng direktang homothetic figure ay palaging magiging positibo.

Reverse homothecy

Ito ay nangyayari kung ang palagiang k <0; iyon ay, ang mga paunang puntos at ang kanilang mga homothetics ay matatagpuan sa kabaligtaran na nagtatapos sa paggalang sa gitna ng homothetic ngunit nakahanay dito. Ang sentro ay nasa pagitan ng dalawang pigura:

Ang proporsyonal na kadahilanan o pagkakapareho ratio sa pagitan ng mga kabaligtaran homothetic figure ay palaging negatibo.

Komposisyon

Kapag ang ilang mga paggalaw ay sunud-sunod na isinasagawa hanggang sa pagkuha ng isang figure na katumbas ng orihinal, ang isang komposisyon ng mga paggalaw ay nangyayari. Ang komposisyon ng ilang mga paggalaw ay isang paggalaw din.

Ang komposisyon sa pagitan ng dalawang homothe hula ay nagreresulta sa isang bagong homothecy; iyon ay, mayroong isang produkto ng mga homotheties kung saan ang sentro ay nakahanay sa gitna ng dalawang orihinal na pagbabagong-anyo, at ang ratio (k) ay ang produkto ng dalawang ratios.

Sa gayon, sa komposisyon ng dalawang mga homotheya H ₁ (O ₁ , k ₁ ) at H ₂ (O ₂ , k ₂ ), ang pagpaparami ng kanilang mga ratios: k ₁ xk ₂ = 1 ay magreresulta sa isang homothecy ng ratio k ₃ = k ₁ xk ₂ . Ang sentro ng bagong homothecy (O ₃ ) ay matatagpuan sa linya na O ₁ O ₂ .

Ang Homothecia ay tumutugma sa isang patag at hindi maibabalik na pagbabago; Kung ang dalawang homotheties ay inilalapat na may parehong sentro at ratio ngunit may ibang senyas, makuha ang orihinal na pigura.

Mga halimbawa

Unang halimbawa

Mag-apply ng isang homothecy sa ibinigay na polygon ng center (O), na matatagpuan 5 cm mula sa point A at kung saan ang ratio ay k = 0.7.

Solusyon

Ang anumang punto ay pinili bilang sentro ng homothecy, at mula sa puntong ito ang mga sinag ay iguguhit sa pamamagitan ng mga vertice ng figure:

Ang distansya mula sa gitna (O) hanggang point A ay OA = 5; Gamit ito, ang distansya ng isa sa mga homothetic point (OA ') ay maaaring matukoy, alam din na k = 0.7:

OA '= kx OA.

OA '= 0.7 x 5 = 3.5.

Ang proseso ay maaaring gawin para sa bawat vertex, o ang homothetic polygon ay maaari ring iguguhit na alalahanin na ang dalawang polygons ay may magkatulad na panig:

Sa wakas, ganito ang hitsura ng pagbabagong-anyo:

Pangalawang halimbawa

Mag-apply ng isang homothecy sa ibinigay na polygon na may sentro (O), na matatagpuan 8.5 cm mula sa point C at kung saan y ratio k = -2.

Solusyon

Ang distansya mula sa gitna (O) hanggang point C ay OC = 8.5; Sa pamamagitan ng data na ito posible upang matukoy ang distansya ng isa sa mga homotikong puntos (OC '), alam din na k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8.5 = -17

Matapos iguhit ang mga segment ng mga vertice ng binagong polygon, mayroon kaming ang mga paunang puntos at ang kanilang homothetics ay matatagpuan sa kabaligtaran na nagtatapos sa paggalang sa gitna:

Mga Sanggunian

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Teknikal na Pagguhit: notebook ng aktibidad.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Pakikipag-ugnayan, Homology at Homothecy.
3. Baer, ​​R. (2012). Linear Algebra at Projective Geometry. Courier Corporation.
4. Hebert, Y. (1980). Pangkalahatang matematika, probabilidad at istatistika.
5. Meserve, BE (2014). Pangunahing Konsepto ng Geometry. Courier Corporation.
6. Nachbin, L. (1980). Panimula sa algebra. Reverte.