ANG MGA AXIOM NG POSIBILIDAD: MGA URI, PALIWANAG, HALIMBAWA, PAGSASANAY - DUDAS - 2025

Ang mga axioms ng probabilidad ay mga panukalang matematika na tumutukoy sa teorya ng posibilidad, na hindi karapat-dapat na patunay. Ang mga axiom ay itinatag noong 1933 ng Russian matematika na si Andrei Kolmogorov (1903-1987) sa kanyang Foundations of Probability Theory at inilatag ang mga pundasyon para sa pag-aaral ng matematika ng posibilidad.

Kapag nagsasagawa ng isang tiyak na random na eksperimento ξ, ang sample space E ay ang hanay ng lahat ng posibleng mga resulta ng eksperimento, na tinatawag ding mga kaganapan. Ang anumang kaganapan ay ipinapahiwatig bilang A at P (A) ay ang posibilidad ng paglitaw nito. Pagkatapos ay itinatag ni Kolmogorov na:

Larawan 1. Ang axioms ng posibilidad ay nagbibigay-daan sa amin upang makalkula ang posibilidad ng paghagupit ng mga laro ng pagkakataon tulad ng roulette. Pinagmulan: Pixabay.

- Axiom 1 (hindi negatibiti) : ang posibilidad na ang anumang kaganapan na naganap ay palaging positibo o zero, P (A) ≥0. Kung ang posibilidad ng isang kaganapan ay 0, tinatawag itong imposible na kaganapan.

- Axiom 2 (katiyakan) : sa tuwing ang ilang kaganapan na kabilang sa E, ang posibilidad na mangyari ay 1, na maipahayag natin bilang P (E) = 1. Ito ay kilala bilang isang tiyak na kaganapan, dahil kapag nagsasagawa ng isang eksperimento, tiyak na isang resulta.

- Axiom 3 (karagdagan) : sa kaso ng dalawa o higit pang hindi tugmang mga kaganapan ng dalawang sa pamamagitan ng dalawang, na tinatawag na A ₁ , A ₂ , A ₃ …, ang probabilidad na ang kaganapan A ₁ plus A ₂ plus A _{3 ay} magaganap at iba pa sunud-sunod, ito ay ang kabuuan ng mga posibilidad ng bawat nangyayari nang hiwalay.

Ito ay ipinahayag bilang: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U…) = P (A ₁ ) + P (A ₂ ) + P (A ₃ ) +…

Larawan 2. Ang kamangha-manghang Russian matematiko na si Andrei Kolmogorov (1903-1987), na naglatag ng mga pundasyon para sa axiomatic probability. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Halimbawa

Ang mga axioms ng posibilidad ay malawakang ginagamit sa maraming mga aplikasyon. Halimbawa:

Ang isang thumbtack o tack ay itinapon sa hangin, at kapag bumagsak ito sa sahig ay mayroong pagpipilian ng landing sa point up (U) o sa point down (D) (hindi namin isasaalang-alang ang iba pang mga posibilidad). Ang halimbawang puwang para sa eksperimento na ito ay binubuo ng mga kaganapang ito, pagkatapos E = {U, D}.

Larawan 3. Sa eksperimento ng pagkahagis ng tack ay may dalawang mga kaganapan ng iba't ibang mga posibilidad: landing sa punto pataas o patungo sa lupa. Pinagmulan: Pixabay.

Sa pamamagitan ng paglalapat ng mga axioms mayroon kami:

Kung pantay na mapunta sa pataas o pababa, P (U) = P (D) = ½ (Axiom 1). Gayunpaman, ang konstruksiyon at disenyo ng thumbtack ay maaaring gawing mas malamang na mahulog sa isang paraan o sa iba pa. Halimbawa, maaaring ang P (U) = ¾ habang P (D) = ¼ (Axiom 1).

Tandaan na sa parehong mga kaso, ang kabuuan ng mga probabilidad ay nagbibigay ng 1. Gayunpaman, ang mga axioms ay hindi nagpapahiwatig kung paano magtalaga ng mga probabilidad, hindi bababa sa hindi ganap. Ngunit sinasabi nila na ang mga ito ay mga numero sa pagitan ng 0 at 1 at, tulad ng sa kasong ito, ang kabuuan ng lahat ay 1.

Mga paraan upang magtalaga ng posibilidad

Ang mga axioms ng probabilidad ay hindi isang paraan ng pagtatalaga ng halaga ng posibilidad. Para sa mga ito ay may tatlong mga pagpipilian na katugma sa mga axiom:

Panuntunan ni Laplace

Ang bawat kaganapan ay itinalaga ng parehong posibilidad ng nangyayari, kung gayon ang posibilidad ng paglitaw ay tinukoy bilang:

Halimbawa, ano ang posibilidad ng pagguhit ng isang ace mula sa isang deck ng mga French card? Ang deck ay mayroong 52 cards, 13 ng bawat suit at mayroong 4 na demanda. Ang bawat suit ay may 1 aces, kaya sa kabuuan mayroong 4 aces:

P (as) = ​​4/52 = 1/13

Ang panuntunan ni Laplace ay limitado sa mga hangganan na mga puwang ng sample, kung saan ang bawat kaganapan ay pantay na maaaring mangyari.

Ang dalas ng kamag-anak

Narito ang eksperimento ay kailangang maulit, dahil ang pamamaraan ay batay sa pagsasagawa ng isang malaking bilang ng mga pag-uulit.

Uulitin natin ang eksperimento ξ, kung saan nalaman namin na ang n ay ang bilang ng mga beses na naganap ang isang tiyak na kaganapan A, pagkatapos ang posibilidad na mangyari ang kaganapang ito ay:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

Kung saan ang n / i ay ang kamag-anak na dalas ng isang kaganapan.

Ang pagtukoy sa P (A) sa paraang ito ay nasiyahan ang mga axioms ng Kolmogorov, ngunit may disbentaha na kailangang gawin ang maraming mga pagsubok para sa posibilidad na maging angkop.

Paraan ng paksa

Ang isang tao o isang pangkat ng mga tao ay maaaring sumang-ayon na magtalaga ng posibilidad sa isang kaganapan, sa pamamagitan ng kanilang sariling paghuhusga. Ang pamamaraang ito ay may kakulangan na maaaring ibigay ng iba't ibang tao ang magkakaibang mga posibilidad sa parehong kaganapan.

Nalutas ang ehersisyo

Sa eksperimento ng sabay-sabay na paghuhugas ng 3 tapat na barya, makuha ang mga posibilidad ng mga kaganapan na inilarawan:

a) 2 ulo at buntot.

b) 1 ulo at dalawang buntot

c) 3 mga krus.

d) Hindi bababa sa 1 mukha.

Solusyon sa

Ang mga ulo ay tinukoy ng C at mga buntot ni X. Ngunit mayroong maraming mga paraan upang makakuha ng dalawang ulo at isang buntot. Halimbawa, ang unang dalawang barya ay maaaring makapunta sa mga ulo ng ulo at ang pangatlo ay maaaring makarating sa mga buntot. O ang una ay maaaring mahulog ang ulo, ang pangalawang mga buntot at ang ikatlong ulo. At sa wakas ang una ay maaaring mga tainga at ang natitirang ulo.

Upang masagot ang mga katanungan kinakailangan na malaman ang lahat ng mga posibilidad, na inilarawan sa isang tool na tinatawag na isang diagram ng puno o posibilidad na puno:

Larawan 4. Tree diagram para sa sabay-sabay na paghuhugas ng tatlong matapat na barya. Pinagmulan: F. Zapata.

Ang posibilidad na ang anumang barya ay magiging ulo ay ½, pareho ang totoo para sa mga buntot, dahil ang barya ay matapat. Inililista ng tamang haligi ang lahat ng mga posibilidad na mayroon ang mga paghulog, iyon ay, ang sample space.

Mula sa puwang ng sample, ang mga kumbinasyon na tumugon sa hiniling na kaganapan ay pinili, dahil ang pagkakasunud-sunod kung saan lumilitaw ang mga mukha ay hindi mahalaga. Mayroong tatlong mga kanais-nais na kaganapan: CCX, CXC at XCC. Ang posibilidad ng bawat kaganapan na nangyayari ay:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

Ang parehong mangyayari para sa CXC at XCC mga kaganapan, ang bawat isa ay may isang 1/8 na posibilidad na mangyari. Samakatuwid ang posibilidad ng pagkuha ng eksaktong 2 ulo ay ang kabuuan ng mga posibilidad ng lahat ng kanais-nais na mga kaganapan:

P (2-panig) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0.375

Solusyon b

Ang paghanap ng posibilidad na eksaktong eksaktong dalawang krus ay isang problema na kahalintulad sa nauna, mayroon ding tatlong kanais-nais na mga kaganapan na nakuha mula sa puwang ng sample: CXX, XCX at XXC. Kaya:

P (2 krus) = 3/8 = 0.375

Solusyon c

Intuitively alam namin na ang posibilidad ng pagkuha ng 3 tails (o 3 ulo) ay mas mababa. Sa kasong ito, ang kaganapan na hinahangad ay XXX, sa dulo ng kanang haligi, na ang posibilidad ay:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0.125.

Solusyon d

Hiniling na makakuha ng hindi bababa sa 1 mukha, nangangahulugan ito na 3 mukha, 2 mukha o 1 mukha ay maaaring lumabas. Ang tanging hindi katugma na kaganapan kasama nito ay ang kung saan lumabas ang 3 tails, na ang posibilidad ay 0.125. Samakatuwid ang posibilidad na hinahangad ay:

P (hindi bababa sa 1 ulo) = 1 - 0.125 = 0.875.

Mga Sanggunian

1. Canavos, G. 1988. Posibilidad at Mga Istatistika: Aplikasyon at pamamaraan. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Posible at Statistics para sa Engineering at Science. Ika-8. Edisyon. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Series ng Schaum: Posibilidad. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teorya ng posibilidad. Ang editorial Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Posible at Statistics para sa Engineering at Science. Pearson.