LOHIKA NG MATEMATIKA: PINAGMULAN, KUNG ANO ANG PAG-AARAL, URI - MGA MATEMATIKA

Ang pang- matematika na lohika o simbolikong lohika ay isang wikang pang-matematika na sumasaklaw sa mga tool na kung saan maaaring kumpirmahin o tanggihan ng isang pang-matematika na pangangatuwiran.

Kilalang-kilala na walang mga ambiguities sa matematika. Ibinigay ng isang pang-matematika na argumento, ito ay alinman sa wasto o hindi lamang ito ay hindi. Hindi ito maaaring maging mali at totoo sa parehong oras.

Ang isang partikular na aspeto ng matematika ay ito ay may pormal at mahigpit na wika kung saan matutukoy ang bisa ng isang argumento. Ano ito na gumagawa ng isang tiyak na pangangatuwiran o anumang patunay na pang-matematika na hindi mababago? Iyon ay kung ano ang pang-matematika na lohika ay tungkol sa lahat.

Sa gayon, ang lohika ay ang disiplina ng matematika na may pananagutan sa pag-aaral ng pangangatwiran sa matematika at mga patunay, at pagbibigay ng mga tool upang makapagpabaya ng isang tamang konklusyon mula sa mga naunang pahayag o panukala.

Upang gawin ito, ang paggamit ay gawa sa mga axioms at iba pang mga aspeto ng matematika na bubuuin mamaya.

Pinagmulan at kasaysayan

Ang eksaktong mga petsa na may paggalang sa maraming mga aspeto ng matematika na lohika ay hindi sigurado. Gayunpaman, ang karamihan sa mga bibliograpiya sa paksa ay sinusubaybayan ang pinagmulan nito sa sinaunang Greece.

Aristotle

Ang simula ng mahigpit na paggamot ng lohika ay maiugnay, sa bahagi, kay Aristotle, na sumulat ng isang hanay ng mga gawa ng lohika, na kalaunan ay naipon at binuo ng iba't ibang mga pilosopo at siyentipiko, hanggang sa Panahon ng Gitnang Panahon. Maaari itong isaalang-alang "ang lumang lohika".

Nang maglaon, sa kung ano ang kilala bilang Contemporary Age, Leibniz, inilipat ng isang malalim na pagnanais na magtatag ng isang unibersal na wika upang mangatuwiran sa matematika, at iba pang mga matematiko tulad ng Gottlob Frege at Giuseppe Peano, kapansin-pansin ang pag-unlad ng lohikal na lohika na may mahusay na mga kontribusyon , bukod sa mga ito, ang Peano Axioms, na bumubuo ng mga kinakailangang katangian ng mga likas na numero.

Ang mga matematiko na sina George Boole at Georg Cantor ay malaki rin ang naiimpluwensyahan sa oras na ito, na may mahalagang mga kontribusyon sa mga set ng teorya at mga talahanayan ng katotohanan, na itinampok, bukod sa iba pang mga aspeto, ang Boolean Algebra (ni George Boole) at ang Axiom of Choice (ni George Cantor).

Mayroon ding Augustus De Morgan na may kilalang mga batas Morgan, na nagninilay-nilay ng mga negasyon, konkreto, disjunction at kondisyonal sa pagitan ng mga panukala, mga susi sa pagbuo ng Symbolic Logic, at Jhon Venn kasama ang mga sikat na diagram ng Venn.

Noong ika-20 siglo, humigit-kumulang sa pagitan ng 1910 at 1913, sina Bertrand Russell at Alfred North Whitehead ay tumayo kasama ang kanilang paglalathala ng Principia mathematica, isang hanay ng mga libro na nangongolekta, bubuo at nag-post ng isang serye ng mga axioms at mga resulta ng lohika.

Ano ang pag-aaral sa lohika na pang-matematika?

Mga Panukala

Nagsisimula ang lohika sa matematika sa pag-aaral ng mga panukala. Ang isang panukala ay isang pahayag na maaaring masabi nang walang anumang kalabuan kung ito ay totoo o hindi. Ang mga sumusunod ay mga halimbawa ng mga panukala:

2 + 4 = 6.
5 ² = 35.
Noong 1930 ay nagkaroon ng lindol sa Europa.

Ang una ay isang totoong pahayag at ang pangalawa ay isang maling pahayag. Ang pangatlo, kahit na ang taong nagbasa nito ay maaaring hindi alam kung totoo o agad ito, ay isang pahayag na maaaring masuri at matukoy kung nangyari man o hindi.

Ang mga sumusunod ay mga halimbawa ng mga pagpapahayag na hindi mga panukala:

Siya ay blonde.
2x = 6.
Maglaro tayo!
Gusto mo ba ng mga pelikula

Sa unang panukala, hindi tinukoy kung sino ang "siya", kaya't walang makumpirma. Sa pangalawang panukala, ang kinatawan ng "x" ay hindi tinukoy. Kung sa halip sinabi na ang 2x = 6 para sa ilang likas na numero x, sa kasong ito ay tumutugma ito sa isang panukala, sa katunayan totoo, dahil para sa x = 3 natutupad ito.

Ang huling dalawang pahayag ay hindi tumutugma sa isang panukala, dahil walang paraan upang tanggihan o kumpirmahin ang mga ito.

Ang dalawa o higit pang mga panukala ay maaaring pagsamahin (o konektado) gamit ang mga kilalang lohikal na konektibo (o mga konektor). Ito ang:

Pagtanggi: "Hindi umuulan."
Disjunction: "Bumili si Luisa ng isang puti o kulay abong bag."
Pag-uugali: "4 ² = 16 at 2 × 5 = 10".
Kondisyon: "Kung umuulan, kung gayon hindi ako pupunta sa gym ngayong hapon."
Biconditional: "Pumunta ako sa gym ngayong hapon kung, at kung hindi, hindi umuulan."

Ang isang panukala na walang alinman sa mga nakaraang nag-uugnay ay tinatawag na isang payak (o atomic) na panukala. Halimbawa, ang "2 ay mas mababa sa 4" ay isang simpleng panukala. Ang mga panukala na mayroong ilang konektibo ay tinatawag na tambalang mga panukala, tulad ng "1 + 3 = 4 at 4 ay isang pantay na numero."

Ang mga pahayag na ginawa sa pamamagitan ng mga panukala ay karaniwang mahaba, kaya nakakapagod na palaging isulat ang mga ito tulad ng nakikita hanggang ngayon. Para sa kadahilanang ito, ginagamit ang isang simbolikong wika. Ang mga panukala ay karaniwang kinakatawan ng mga malalaking titik tulad ng P, Q, R, S, atbp. At ang mga simbolikong magkakaugnay tulad ng sumusunod:

Kaya na

Ang pag- uusap ng isang kondisyong panukala

ay ang panukala

At ang kontra-gantimpala (o natapos) ng isang panukala

ay ang panukala

Mga talahanayan ng katotohanan

Ang isa pang mahalagang konsepto sa lohika ay ang mga talahanayan ng katotohanan. Ang mga halaga ng katotohanan ng isang panukala ay ang dalawang posibilidad para sa isang panukala: totoo (na kung saan ay ipinahiwatig ng V at sasabihin na ang halaga ng katotohanan nito ay V) o hindi totoo (na isinasaalang-alang ng F at masasabing ang halaga nito talagang F).

Ang halaga ng katotohanan ng isang tambalang panukala ay nakasalalay lamang sa mga halaga ng katotohanan ng mga simpleng panukala na lilitaw dito.

Upang gumana nang mas pangkalahatan, hindi namin isasaalang-alang ang mga tiyak na mga panukala, ngunit ang mga variable na panukala p, q, r, s, atbp, na kung saan ay kumakatawan sa anumang mga panukala.

Sa mga variable na ito at mga lohikal na koneksyon, nabuo ang mga kilalang pormula ng panukalang batas, tulad ng itinayo ang mga panukalang tambalang.

Kung ang bawat isa sa mga variable na lumilitaw sa isang pormula ng panukalang-batas ay papalitan ng isang panukala, ang isang tambalang panukala ay nakuha.

Nasa ibaba ang mga talahanayan ng katotohanan para sa mga lohikal na nag-uugnay:

May mga panukalang pormula na natatanggap lamang ang halaga V sa kanilang talahanayan ng katotohanan, iyon ay, ang huling haligi ng kanilang talahanayan ng katotohanan ay mayroon lamang ang halaga V. Ang mga uri ng pormula na ito ay kilala bilang mga tautolohiya. Halimbawa:

Ang sumusunod ay ang talahanayan ng katotohanan ng pormula

Ang isang formula α ay sinasabing lohikal na nagpapahiwatig ng isa pang formula β, kung totoo ang α sa bawat oras na totoo. Iyon ay, sa talahanayan ng katotohanan ng α at β, ang mga hilera kung saan ang α ay may V, β ay mayroon ding isang V. Kami ay interesado lamang sa mga hilera kung saan ang α ay may halaga V. Ang pagtatala para sa lohikal na implikasyon ay ang mga sumusunod :

Ang sumusunod na talahanayan ay nagbubuod ng mga katangian ng lohikal na implikasyon:

Ang dalawang mga pormula ng panukala ay sinasabing lohikal na katumbas kung magkatulad ang kanilang mga talahanayan sa katotohanan. Ang sumusunod na notasyon ay ginagamit upang maipahayag ang pagkakapareho ng lohikal:

Ang mga sumusunod na talahanayan ay nagbubuod ng mga katangian ng pagkakatugma ng lohikal:

Mga uri ng lohikal na lohika

Mayroong iba't ibang mga uri ng lohika, lalo na kung isinasaalang-alang ng isa ang pragmatikong o impormal na lohika na tumuturo sa pilosopiya, bukod sa iba pang mga lugar.

Tulad ng tungkol sa matematika ay nababahala, ang mga uri ng lohika ay maaaring ibubuod bilang:

Pormal o Aristotelian logic (sinaunang lohika).
Proposyonal na lohika: responsable para sa pag-aaral ng lahat na may kaugnayan sa pagiging totoo ng mga argumento at panukala gamit ang pormal at simbolikong wika.
Simbolikong lohika: nakatuon sa pag-aaral ng mga set at ang kanilang mga katangian, kasama din ang pormal at simbolikong wika, at malalim na nauugnay sa panukalang lohika.
Combinatorial logic: isa sa pinakabagong binuo, ay nagsasangkot ng mga resulta na maaaring malikha gamit ang mga algorithm.
Lohikal na programming: ginamit sa iba't ibang mga pakete at mga wika sa programming.

Mga Lugar

Kabilang sa mga lugar na gumagamit ng lohikal na pang-matematika sa isang kailangang-kailangan na paraan sa pagbuo ng kanilang pangangatuwiran at argumento, tumayo ang pilosopiya, itinakda ang teorya, teorya ng numero, algebraic na nakabubuo ng matematika at mga wika sa programming.

Mga Sanggunian

Aylwin, CU (2011). Logic, Sets at Numero. Mérida - Venezuela: Konseho ng Publikasyon, Universidad de Los Andes.
Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Panimula sa Teorya ng Numero. GUSTO.
Castañeda, S. (2016). Pangunahing kurso ng numero ng teorya. Northern University.
Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Paano Bumuo ng Makatuwirang Pangangatwiran ng Matematika. University Publishing House.
Zaragoza, AC (sf). Teorya ng numero Ang Editorial Vision Libros.

LOHIKA NG MATEMATIKA: PINAGMULAN, KUNG ANO ANG PAG-AARAL, URI - MGA MATEMATIKA - 2024