KABALIGTARAN MATRIX: PAGKALKULA AT NALUTAS ANG EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang kabaligtaran na matris ng isang naibigay na matris ay ang matrix na pinarami ng orihinal na nagbibigay ng pagkakakilanlan ng matrix. Ang kabaligtaran matrix ay kapaki-pakinabang para sa paglutas ng mga system ng mga linear equation, samakatuwid ang kahalagahan ng pag-alam kung paano makalkula ito.

Ang mga Matrice ay lubhang kapaki-pakinabang sa pisika, engineering, at matematika, dahil ang mga ito ay isang compact na tool para sa paglutas ng mga kumplikadong problema. Ang utility ng matrices ay pinahusay kapag sila ay hindi maiiwasan at ang kanilang kabaligtaran ay kilala rin.

Larawan 1. Ang isang pangkaraniwang 2 × 2 matrix at ang kabaligtaran na matris ay ipinapakita. (Inihanda ni Ricardo Pérez)

Sa larangan ng pagproseso ng grapiko, Big Data, Data Mining, Machine Learning at iba pa, ang mahusay at mabilis na algorithm ay ginagamit upang suriin ang kabaligtaran na matrix ng nxn matrice na may napakalaking n, sa pagkakasunud-sunod ng libu-libo o milyon-milyon.

Upang mailarawan ang paggamit ng kabaligtaran matrix sa paghawak ng isang sistema ng mga pagkakapareho sa guhit, magsisimula kami sa pinakasimpleng kaso ng lahat: 1 × 1 matrices.

Ang pinakasimpleng kaso: ang isang linear equation ng isang variable ay isinasaalang-alang: 2 x = 10.

Ang ideya ay upang mahanap ang halaga ng x, ngunit ito ay tapos na "matrix".

Ang matrix M = (2) na nagpaparami ng vector (x) ay isang 1 × 1 matrix na nagreresulta sa vector (10):

M (x) = (10)

Ang kabaligtaran ng matrix M ay minarkahan ng M ^-1 .

Ang pangkalahatang paraan upang isulat ang "linear system" ay:

MX = B, kung saan ang X ay ang vector (x) at B ang vector (10).

Sa pamamagitan ng kahulugan, ang kabaligtaran matrix ay ang isang pinarami ng orihinal na mga resulta ng matrix sa matrix ng pagkakakilanlan:

M ^-1 M = I

Sa kaso na isinasaalang-alang, ang matrix M ^-1 ay ang matris (½), iyon ay, M ^-1 = (½) mula noong M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

Upang mahanap ang hindi kilalang vector X = (x), sa iminungkahing equation, ang parehong mga miyembro ay pinarami ng kabaligtaran matrix:

M ^-1 M (x) = M ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Ang pagkakapantay-pantay ng dalawang vectors ay naabot, na kung saan ay pantay lamang kapag ang kanilang mga kaukulang elemento ay pantay, iyon ay, x = 5.

Kinakalkula ang kabaligtaran ng isang matris

Ano ang nag-uudyok sa pagkalkula ng kabaligtaran matrix ay upang makahanap ng isang unibersal na pamamaraan para sa solusyon ng mga linear system tulad ng mga sumusunod na 2 × 2 system:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Kasunod ng mga hakbang ng 1 × 1 kaso, pinag-aralan sa nakaraang seksyon, isinusulat namin ang sistema ng mga equation sa form ng matrix:

Larawan 2. Linear system sa form ng matrix.

Tandaan na ang sistemang ito ay nakasulat sa compact vector notation tulad ng mga sumusunod:

MX = B

saan

Ang susunod na hakbang ay upang mahanap ang kabaligtaran ng M.

Pamamaraan 1: Paggamit ng Pag-aalis ng Gaussian

Ang pamamaraan ng pag-aalis ng Gaussian ay ilalapat. Aling binubuo ng paggawa ng mga operasyon sa elementarya sa mga hilera ng matrix, ang mga operasyon na ito ay:

- I-Multiply ang isang hilera ng isang non-zero number.

- Magdagdag o ibawas ang isa pang hilera mula sa isang hilera, o ang maramihang ng isa pang hilera.

- Ipalit ang mga hilera.

Ang layunin ay, sa pamamagitan ng mga operasyon na ito, upang mai-convert ang orihinal na matrix sa identidad matrix.

Bilang ito ay tapos na, eksakto ang parehong mga operasyon na nalalapat sa matrix ng pagkakakilanlan sa matrix M. Kapag, pagkatapos ng maraming mga operasyon sa mga hilera, ang M ay nagbago sa unit matrix, kung gayon ang isa na orihinal na yunit ay magiging kabaligtaran na matrix ng M, iyon ay, M ^-1 .

1- Sinisimulan namin ang proseso sa pamamagitan ng pagsulat ng matrix M at sa tabi nito ang unit matrix:

2 - Nagdagdag kami ng dalawang hilera at inilalagay namin ang resulta sa pangalawang hilera, sa ganitong paraan nakakuha kami ng isang zero sa unang elemento ng pangalawang hilera:

3- Dinami namin ang pangalawang hilera ng -1 upang makakuha ng 0 at 1 sa pangalawang hilera:

4- Ang unang hilera ay pinarami ng ½:

5- Ang pangalawa at una ay idinagdag at ang resulta ay inilalagay sa unang hilera:

6- Ngayon upang matapos ang proseso, ang unang hilera ay pinarami ng 2 upang makuha ang pagkakakilanlan ng matrix sa unang hilera at ang kabaligtaran na matrix ng orihinal na matrix M sa pangalawa:

Na ibig sabihin:

Solusyon ng system

Kapag nakuha ang kabaligtaran matrix, ang system ng mga equation ay nalulutas sa pamamagitan ng paglalapat ng kabaligtaran matrix sa parehong mga miyembro ng compact vector equation:

M ^-1 M X = M ^-1 B

X = M ^-1 B

Aling malinaw na ganito ang hitsura:

Pagkatapos ay ang pagdami ng matrix ay isinasagawa upang makakuha ng vector X:

Paraan 2: gamit ang nakalakip na matris

Sa pangalawang paraan ng kabaligtaran matrix ay kinakalkula mula sa adjoint matrix ng orihinal na matrix A .

Ipagpalagay na isang matris A na ibinigay ni:

kung saan _{i, j} ay ang sangkap sa row ako at haligi j ng matrix A .

Ang adjoint ng matrix A ay tatawaging Adj (A) at ang mga elemento nito ay:

ad _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j |

kung saan Ai, j ay ang komplementaryong mas mababang matrix nakuha sa pamamagitan ng pag-aalis ng row ako at haligi j ng orihinal na matrix A . Ang mga bar ¦ ¦ ay nagpapahiwatig na ang determinant ay kinakalkula, iyon ay , ¦Ai, j | ay ang determinant ng menor de edad na pantulong na matris.

Ang kabaligtaran na formula ng matrix

Ang formula upang mahanap ang kabaligtaran matrix na nagsisimula mula sa magkadugtong na matrix ng orihinal na matrix ay ang mga sumusunod:

Ay, ang kabaligtaran matrix ng A , A ^-1 , ay ang baligtarin ng adjoint ng isang hinati sa tiyak na dahilan ng A .

Ang transpose A ^T ng isang matrix A ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalitan ng mga hilera para sa mga haligi, iyon ay, ang unang hilera ay naging unang haligi at ang pangalawang hilera ay naging pangalawang haligi at iba pa hanggang sa makumpleto ang n mga hilera ng orihinal na matris.

Nalutas ang ehersisyo

Hayaan ang mga matris A na ang sumusunod:

Ang bawat at bawat elemento ng adjoint matrix ng A ay kinakalkula: Adj (A)

Resulta na ang adjoint matrix ng A, Adj (A) ay ang mga sumusunod:

Pagkatapos ang determinant ng matrix A, det (A) ay kinakalkula:

Sa wakas ang kabaligtaran matrix ng A ay nakuha:

Mga Sanggunian

1. Anthony Nicolaides (1994) Mga Desisyon at Matrice. Pass Publication.
2. Awol Assen (2013) Isang Pag-aaral sa Kumpetisyon ng mga Desisyon ng isang 3 × 3
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Panimula sa linear algebra. Pang-editoryal ng ESIC.
4. Dave Kirkby (2004) Kumonekta sa matematika. Heinemann.
5. Jenny Olive (1998) matematika: Patnubay sa kaligtasan ng isang mag-aaral. Pressridge University Press.
6. Richard J. Brown (2012) 30-Ikalawang Matematika: Ang 50 Karamihan sa Pag-iisip ng Pagpapalawak ng Kaisipan sa Matematika. Ivy Press Limited.
7. Matrix. Lap Lambert Akademikong Paglathala.