- Mga katangian ng mga base
- Mga halimbawa ng mga batayan
- Ang canonical na batayan sa ℜ
- Ang canonical na batayan sa ℜ
- Iba pang mga orthonormal na base sa ℜ
- Malutas na ehersisyo
- - Ehersisyo 1
- Solusyon
- - Ehersisyo 2
- Solusyon
- Mga Sanggunian
Ang isang orthonormal na batayan ay nabuo kasama ang mga vectors na patayo sa bawat isa at ang modulus din ay 1 (unit vectors). Alalahanin natin na ang isang base B sa isang vector space V ay tinukoy bilang isang hanay ng mga linearly independiyenteng mga vector na may kakayahang bumuo ng nasabing puwang.
Kaugnay nito, ang isang vector space ay isang abstract matematika entity na ang mga elemento ay kasama ang mga vectors, na karaniwang nauugnay sa mga pisikal na dami tulad ng bilis, puwersa, at pag-aalis, o din sa mga matrices, polynomial, at mga function.
Larawan 1. Orthonormal na base sa eroplano. Pinagmulan: Wikimedia Commons. Quartl.
Ang mga Vector ay may tatlong natatanging elemento: magnitude o modulus, direksyon, at kamalayan. Ang isang orthonormal na batayan ay lalong kapaki-pakinabang upang kumatawan at mapatakbo sa kanila, dahil ang anumang vector na kabilang sa isang tiyak na puwang ng vector V ay maaaring isulat bilang isang guhit na kumbinasyon ng mga vectors na bumubuo ng orthonormal na batayan.
Sa ganitong paraan, ang pagpapatakbo sa pagitan ng mga vectors, tulad ng karagdagan, pagbabawas at iba't ibang uri ng mga produkto na tinukoy sa nasabing puwang, ay isinagawa ng analitikal.
Kabilang sa mga pinaka-malawak na ginagamit na mga base sa pisika ay ang batayang nabuo ng mga yunit ng vectors i , j at k na kumakatawan sa tatlong natatanging direksyon ng three-dimensional space: taas, lapad at lalim. Ang mga vectors na ito ay kilala rin bilang unit canonical vectors.
Kung, sa halip, ang mga vectors ay nagtrabaho sa isang eroplano, ang dalawa sa tatlong sangkap na ito ay sapat, habang para sa isang-dimensional na mga vectors lamang ang kinakailangan.
Mga katangian ng mga base
1- Ang isang base B ay ang pinakamaliit na posibleng hanay ng mga vectors na bumubuo ng vector space V.
2- Ang mga elemento ng B ay magkahiwalay na independyente.
3- Anumang base B ng isang vector space V, ay nagbibigay-daan upang ipahayag ang lahat ng mga vectors ng V bilang isang linear na kombinasyon nito at ang form na ito ay natatangi para sa bawat vector. Para sa kadahilanang ito, ang B ay kilala rin bilang bumubuo ng system.
4- Ang parehong puwang ng vector V ay maaaring magkaroon ng iba't ibang mga base.
Mga halimbawa ng mga batayan
Narito ang ilang mga halimbawa ng mga orthonormal na batayan at batayan sa pangkalahatan:
Ang canonical na batayan sa ℜ
Tinatawag din na natural na base o standard base ng base n , kung saan ℜ n ay n-dimensional space, halimbawa ang three-dimensional space ay ℜ 3 . Ang halaga ng n ay tinatawag na sukat ng puwang ng vector at tinukoy bilang dim (V).
Ang lahat ng mga vectors na kabilang sa are n ay kinakatawan ng iniutos na n-ad. Para sa espasyo ℜ n , ang canonical na batayan ay:
e 1 = <1,0 ,. . . , 0>; e 2 = <0.1 ,. . . , 0>; …… .. e n = <0.0 ,. . . , 1>
Sa halimbawang ito ginamit namin ang notasyon sa mga bracket o "bracket" at naka-bold para sa mga unit vectors e 1 , e 2 , e 3 …
Ang canonical na batayan sa ℜ
Ang pamilyar na mga vectors i , j at k aminin ang parehong representasyon at lahat ng tatlo sa kanila ay sapat na upang kumatawan sa mga vectors sa ℜ 3 :
i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>
Nangangahulugan ito na ang base ay maaaring ipahiwatig tulad nito:
B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}
Upang mapatunayan na sila ay magkakasunod na independyente, ang determinant na nabuo kasama nila ay hindi zero at katumbas din ng 1:
F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.
Samakatuwid ako , j at k ay bumubuo ng isang generator system ng ℜ 3 .
Iba pang mga orthonormal na base sa ℜ
Ang karaniwang batayang inilarawan sa nakaraang seksyon ay hindi lamang ang orthonormal na base sa ℜ 3 . Narito mayroon kaming halimbawa ang mga batayan:
B 1 = {
B 2 = {<3/5, 4 / 5.0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>}
Maipakita na ang mga batayang ito ay orthonormal, para dito naaalala namin ang mga kondisyon na dapat matugunan:
-Ang mga vectors na bumubuo ng base ay dapat na orthogonal sa bawat isa.
-Ang bawat isa sa kanila ay dapat na hindi magkakaisa.
Maaari naming mapatunayan ito sa pamamagitan ng pag-alam na ang determinant na nabuo ng mga ito ay dapat na hindi-zero at katumbas ng 1.
Ang batayang B 1 ay tiyak na ng mga cylindrical coordinates ρ, φ at z, isa pang paraan ng pagpapahayag ng mga vectors sa espasyo.
Larawan 2. Mga coordinate ng cylindrical. Pinagmulan: Wikimedia Commons. Math buff.
Malutas na ehersisyo
- Ehersisyo 1
Ipakita na ang batayang B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; Ang <0,0,1>} ay orthonormal.
Solusyon
Upang ipakita na ang mga vectors ay patayo sa bawat isa, gagamitin namin ang produkto ng scalar, na tinawag din na panloob o tuldok na produkto ng dalawang vectors.
Hayaan ang anumang dalawang vectors u at v , ang kanilang dot na produkto ay tinukoy ng:
u • v = uv cosθ
Upang makilala ang mga vectors ng kanilang mga module ay gagamitin namin ang bold para sa una at normal na mga titik para sa pangalawa. θ ang anggulo sa pagitan ng u at v, samakatuwid kung sila ay patayo, nangangahulugan ito na ang θ = 90º at ang produktong scalar ay zero.
Bilang kahalili, kung ang mga vectors ay ibinibigay sa mga tuntunin ng kanilang mga sangkap: u =
u • v = u x .v x + u y .v y + u z .v z
Sa ganitong paraan, ang mga produktong scalar sa pagitan ng bawat pares ng mga vectors ay, ayon sa pagkakabanggit:
i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0.0 = (-12/25) + (12/25) = 0
ii) <3/5, 4 / 5.0> • <0, 0.1> = 0
iii) <- 4/5, 3 / 5.0> • <0, 0.1> = 0
Para sa pangalawang kondisyon, ang module ng bawat vector ay kinakalkula, na nakuha ng:
│u │ = √ (u x 2 + u y 2 + u z 2 )
Kaya, ang mga module ng bawat vector ay:
3 <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1
│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1
0 <0, 0.1> │ = √ = 1
Samakatuwid ang lahat ng tatlong mga yunit ng vector. Sa wakas, ang determinant na kanilang nabuo ay non-zero at katumbas ng 1:
- Ehersisyo 2
Isulat ang mga coordinate ng vector w = <2, 3,1> sa mga tuntunin ng base sa itaas.
Solusyon
Upang gawin ito, ang sumusunod na teorema ay ginagamit:
w = < w • v 1 > v 1 + < w • v 2 > v 2 + < w • v 3 > v 3 + … < w • v n > v n
Nangangahulugan ito na maaari nating isulat ang vector sa base B, gamit ang mga coefficient < w • v 1 >, < w • v 2 >, … < w • v n >, kung saan dapat nating kalkulahin ang ipinahiwatig na mga produkto ng scalar:
<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1.0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5
<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1.0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5
<2, 3,1> • <0,0,1> = 1
Sa mga produktong scalar na nakuha, ang isang matrix ay itinayo, na tinatawag na w coordinate matrix.
Samakatuwid ang mga coordinate ng vector w sa base B ay ipinahayag ng:
B =
Ang coordinate matrix ay hindi ang vector, dahil ang isang vector ay hindi pareho sa mga coordinate nito. Ang mga ito ay lamang ng isang hanay ng mga numero na nagsisilbing ipahayag ang vector sa isang naibigay na base, hindi ang vector tulad nito. Nakasalalay din sila sa napiling base.
Sa wakas, kasunod ng teorema, ang vector w ay ipapahayag bilang mga sumusunod :
w = (18/5) v 1 + (1/5) v 2 + v 3
Gamit ang: v 1 = <3/5, 4 / 5,0>; v 2 = <- 4/5, 3 / 5.0>; v 3 = <0,0,1>}, iyon ay, ang mga vectors ng base B.
Mga Sanggunian
- Larson, R. Mga pundasyon ng Linear Algebra. Ika-6. Edisyon. Pag-aaral ng Cengage.
- Larson, R. 2006. Calculus. Ika-7. Edisyon. Dami 2. McGraw Hill.
- Salas, J. Linear Algebra. Yunit 10. Mga batayang orthonormal. Nabawi mula sa: ocw.uc3m.es.
- Sevilla University. Mga coordinate ng cylindrical. Batayan ng Vector. Nabawi mula sa: laplace.us.es.
- Wikipedia. Orthonormal na batayan. Nabawi mula sa: es.wikipedia.org.