QUADRILATERAL: MGA ELEMENTO, KATANGIAN, PAG-UURI, HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang isang quadrilateral ay isang polygon na may apat na panig at apat na mga vertice. Ang mga kabaligtaran na panig nito ay ang mga hindi magkakaroon ng mga vertice sa karaniwan, habang ang magkakasunod na panig ay ang mga magkakaroon ng isang karaniwang vertex.

Sa isang quadrilateral, ang mga katabing anggulo ay nagbabahagi sa isang panig, habang ang mga kabaligtaran ng mga anggulo ay walang magkakatulad. Ang isa pang mahalagang katangian ng isang quadrilateral ay ang kabuuan ng apat na panloob na anggulo nito ay dalawang beses sa anggulo ng eroplano, iyon ay, 360º o 2π radians.

Larawan 1. Iba't ibang mga quadrilateral. Pinagmulan: F. Zapata.

Ang mga diagonal ay ang mga segment na sumali sa isang vertex na may kabaligtaran nito at sa isang naibigay na quadrilateral, ang isang solong dayagonal ay maaaring makuha mula sa bawat tuktok. Ang kabuuang bilang ng mga diagonal sa isang quadrilateral ay dalawa.

Ang mga Quadrilateral ay mga pigura na kilala sa sangkatauhan mula pa noong unang panahon. Ang mga talaang arkeolohiko, pati na rin ang mga konstruksyon na nabubuhay ngayon, pinatunayan ito.

Gayundin, ngayon ang mga quadrilateral ay patuloy na mayroong isang mahalagang pagkakaroon sa pang-araw-araw na buhay ng bawat isa. Mahanap ng mambabasa ang form na ito sa screen kung saan binabasa niya ang teksto sa mismong sandaling ito, sa mga bintana, pintuan, mga bahagi ng automotiko, at hindi mabilang na iba pang mga lugar.

Pag-uuri ng Quadrilateral

Ayon sa paralelismo ng kabaligtaran, ang mga quadrilateral ay inuri ayon sa sumusunod:

1. Trapezoid, kapag walang kahanay at ang quadrilateral ay matambok.
2. Trapezoid, kapag may pagkakapareho sa pagitan ng isang pares ng kabaligtaran na panig.
3. Parallelogram, kapag ang kabaligtaran nito ay magkatulad ng dalawa.

Larawan 2. Pag-uuri at subclassification ng quadrilaterals. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Mga uri ng paralelogram

Kaugnay nito, ang mga paralelograms ay maaaring maiuri ayon sa kanilang mga anggulo at kanilang mga panig tulad ng sumusunod:

1. Ang parihaba ay ang paralelogram na mayroong apat na panloob na anggulo ng pantay na panukala. Ang mga panloob na anggulo ng isang rektanggulo ay bumubuo ng isang tamang anggulo (90º).
2. Square, ito ay isang rektanggulo na may apat na panig ng pantay na panukalang-batas.
3. Ang Rhombus ay ang paralelogram na may apat na pantay na panig nito, ngunit magkakaibang magkakaibang mga anggulo.
4. Rhomboid, paralelogram na may iba't ibang mga magkatabing anggulo.

Trapeze

Ang trapezoid ay isang convex quadrilateral na may dalawang magkaparehong panig.

Larawan 3. Mga bas, gilid, taas at median ng isang trapezoid. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

- Sa isang trapezoid, ang mga magkatulad na panig ay tinatawag na mga base at ang mga hindi magkakatulad na panig ay tinatawag na mga lateral.

- Ang taas ng isang trapezoid ay ang distansya sa pagitan ng dalawang mga batayan, iyon ay, ang haba ng isang segment na may mga dulo sa mga base at patayo sa kanila. Ang segment na ito ay tinatawag ding isang taas ng trapezoid.

- Ang median ay ang segment na sumali sa mga midpoints ng lateral. Maipakita na ang median ay kahanay sa mga batayan ng trapezoid at ang haba nito ay katumbas ng semisum ng mga base.

- Ang lugar ng isang trapezoid ay ang taas na pinarami ng semi-kabuuan ng mga base:

Mga uri ng trapezoid

-Rectangular trapezoid : ito ang isa na may panig na patayo sa mga base. Ang panig na ito ay din ang taas ng trapezium.

-Isosceles trapezoid : ang isa na may mga gilid ng pantay na haba. Sa isang isosceles trapezoid ang mga anggulo na katabi ng mga base ay pantay.

-Scalene trapezium : ang isa sa mga gilid nito na may iba't ibang haba. Ang kabaligtaran nitong mga anggulo ay maaaring maging isang talamak at ang iba pang mapanghimasok, ngunit maaari rin itong mangyari na ang parehong ay mapang-akit o parehong talamak.

Larawan 4. Mga uri ng trapezium. Pinagmulan: F. Zapata.

Parallelogram

Ang paralelogram ay isang quadrilateral na ang mga kabaligtaran na panig ay magkatulad ng dalawa. Sa isang paralelogram ang kabaligtaran ng mga anggulo ay pantay-pantay at ang mga katabing anggulo ay karagdagan, o maglagay ng ibang paraan, ang mga katabing anggulo ay nagdaragdag ng hanggang sa 180º.

Kung ang isang paralelogram ay may tamang anggulo, kung gayon ang lahat ng iba pang mga anggulo ay magiging masyadong, at ang nagreresultang figure ay tinatawag na isang rektanggulo. Ngunit kung ang rektanggulo ay mayroon ding mga katabing panig ng parehong haba, kung gayon ang lahat ng mga panig nito ay pantay-pantay at ang nagresultang pigura ay isang parisukat.

Larawan 5. Parallelograms. Ang rektanggulo, parisukat, at ang rhombus ay paralelograms. Pinagmulan: F. Zapata.

Kapag ang isang paralelogram ay may dalawang katabing panig ng parehong haba, ang lahat ng mga panig nito ay magkaparehong haba, at ang nagreresultang figure ay isang rhombus.

Ang taas ng isang paralelogram ay isang segment na may mga dulo sa kabaligtaran nito at patayo sa kanila.

Lugar ng isang paralelogram

Ang lugar ng isang paralelogram ay ang produkto ng base ng oras ng taas nito, ang batayan ay isang panig na patayo sa taas (figure 6).

Mga diagonal ng isang paralelogram

Ang parisukat ng dayagonal na nagsisimula sa isang vertex ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng dalawang panig na katabi ng sinabi na vertex kasama ang dobleng produkto ng mga panig na iyon ng kosine ng anggulo ng vertex na iyon:

f ² = isang ² + d ² + 2 ad Cos (α)

Larawan 6. Parallelogram. Kabaligtaran ang mga anggulo, taas, diagonals. Pinagmulan: F. Zapata.

Ang parisukat ng dayagonal na kabaligtaran ng tuktok ng isang paralelogram ay pantay sa kabuuan ng mga parisukat ng dalawang panig na magkatabi na sinabi ng vertex at pagbabawas ng dobleng produkto ng mga panig sa pamamagitan ng kosine ng anggulo ng vertex na iyon:

g ² = isang ² + d ² - 2 ad Cos (α)

Batas ng paralelograms

Sa anumang paralelogram, ang kabuuan ng mga parisukat ng mga panig nito ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga diagonal:

isang ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

re ctángulo

Ang rektanggulo ay isang kuwadradrateral kasama ang mga kabaligtaran nito na kahilera ng dalawa sa dalawa at kung saan ay mayroon ding tamang anggulo. Sa madaling salita, ang rektanggulo ay isang uri ng paralelogram na may tamang anggulo. Dahil ito ay isang paralelogram, ang rektanggulo ay may kabaligtaran na magkatulad na haba ng isang = c at b = d.

Ngunit tulad ng sa anumang paralelogram ang mga katabing anggulo ay karagdagan at ang kabaligtaran ng mga anggulo na pantay, sa parihaba dahil ito ay may tamang anggulo, kakailanganin itong bumubuo ng mga tamang anggulo sa iba pang tatlong mga anggulo. Sa madaling salita, sa isang parihaba ang lahat ng mga panloob na anggulo ay sumusukat sa 90º o π / 2 mga radian.

Mga diagonal ng isang rektanggulo

Sa isang rektanggulo ang mga diagonal ay may pantay na haba, tulad ng makikita sa ibaba. Ang pangangatwiran ay ang mga sumusunod; Ang isang parihaba ay isang paralelogram sa lahat ng mga tamang anggulo nito at samakatuwid ay nagmamana ng lahat ng mga katangian ng paralelogram, kasama ang pormula na nagbibigay ng haba ng mga diagonals:

f ² = isang ² + d ² + 2 ad Cos (α)

g ² = isang ² + d ² - 2 ad Cos (α)

na may α = 90º

Dahil ang Cos (90º) = 0, mangyayari na:

f ² = g ² = a ² + d ²

Iyon ay, f = g, at samakatuwid ang mga haba ng f at g ng dalawang dayagonal ng parihaba ay pantay at ang kanilang haba ay ibinigay ng:

Bukod dito, kung sa isang parihaba na may katabing panig at isang b ay kinuha bilang batayan, ang kabilang panig ay magiging taas at dahil dito ang lugar ng rektanggulo ay:

Lugar ng rektanggulo = palakol b.

Ang perimeter ay ang kabuuan ng lahat ng mga panig ng rektanggulo, ngunit dahil ang mga magkasalungat ay pantay-pantay, sinusunod na para sa isang parihaba na may mga panig at b ang perimeter ay ibinibigay ng mga sumusunod na pormula:

Perimeter ng rektanggulo = 2 (a + b)

Larawan 7. Parihaba na may mga panig a at b. Ang mga diagonal f at g ay pantay na haba. Pinagmulan: F. Zapata.

Parisukat

Ang parisukat ay isang rektanggulo kasama ang mga katabing panig nito sa parehong haba. Kung ang parisukat ay may gilid a, kung gayon ang mga dayagonal na f at g ay may parehong haba, na kung saan ay f = g = (√2) a.

Ang lugar ng isang parisukat ay ang gilid na parisukat:

Lugar ng isang parisukat = a ²

Ang perimeter ng isang parisukat ay dalawang beses sa panig:

Perimeter ng isang parisukat = 4 a

Larawan 8. Square na may gilid a, na nagpapahiwatig ng lugar nito, perimeter at ang haba ng mga diagonals nito. Pinagmulan: F. Zapata ..

Diamond

Ang rhombus ay isang paralelogram na may mga katabing panig ng parehong haba, ngunit dahil sa isang paralelogram ang mga kabaligtaran na panig ay pantay-pantay kung magkatulad ang lahat ng mga panig ng isang rhombus.

Ang mga diagonal ng isang rhombus ay may iba't ibang haba, ngunit lumusot sila sa tamang mga anggulo.

Larawan 9. Rhombus ng gilid a, na nagpapahiwatig ng lugar nito, perimeter at ang haba ng mga diagonal nito. Pinagmulan: F. Zapata.

Mga halimbawa

Halimbawa 1

Ipakita na sa isang quadrilateral (hindi tumawid) ang mga panloob na anggulo ay nagdaragdag ng hanggang sa 360º.

Larawan 10: Ipinakita kung paano ang kabuuan ng mga anggulo ng isang kuwadrador ay nagdaragdag ng hanggang sa 360º. Pinagmulan: F. Zapata.

Ang isang quadrilateral ABCD ay isinasaalang-alang (tingnan ang figure 10) at ang diagonal BD ay iguguhit. Dalawang tatsulok na ABD at BCD ang nabuo. Ang kabuuan ng mga anggulo ng interior ng tatsulok na ABD ay:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

At ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng tatsulok na BCD ay:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

Pagdaragdag ng dalawang equation na nakuha namin:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

Pagpangkat:

α + (β ₁ + β ₂ ) + (δ ₁ + δ ₂ ) + γ = 2 * 180º

Sa pamamagitan ng pagpapangkat at pagpapalit ng pangalan, sa wakas ay ipinakita na:

α + β + δ + γ = 360º

Halimbawa 2

Ipakita na ang median ng isang trapezoid ay kahanay sa mga batayan nito at ang haba nito ay ang semisum ng mga base.

Larawan 11. Median MN ng trapezium ABCD. Pinagmulan: F. Zapata.

Ang median ng isang trapezoid ay ang segment na sumali sa mga midpoints ng mga panig nito, iyon ay, ang mga hindi magkatulad na panig. Sa trapezoid ABCD na ipinakita sa figure 11 ang median ay MN.

Dahil ang M ay ang midpoint ng AD at N ang kalagitnaan ng BC, ang pantao ng AM / AD at BN / BC ay pantay.

Iyon ay, ang AM ay proporsyonal sa BN sa parehong proporsyon ng AD ay sa BC, kaya ang mga kondisyon para sa aplikasyon ng Thales '(gantimpala) teorema ay ibinigay, na nagsasaad ng sumusunod:

"Kung ang mga proporsyonal na mga segment ay natutukoy sa tatlo o higit pang mga linya na pinutol ng dalawang mga segundo, kung gayon ang mga linyang ito ay magkatulad."

Sa aming kaso napagpasyahan na ang mga linya ng MN, AB at DC ay magkatulad sa bawat isa, samakatuwid:

"Ang median ng isang trapezoid ay kahanay sa mga batayan nito."

Ngayon ang Thales teorem ay ilalapat:

"Ang isang hanay ng mga pagkakatulad na pinutol ng dalawa o higit pang mga secants ay tumutukoy sa proporsyonal na mga segment."

Sa aming kaso AD = 2 AM, AC = 2 AO, kaya ang tatsulok na DAC ay katulad ng tatsulok na MAO, at dahil dito DC = 2 MO.

Ang isang katulad na argumento ay nagpapahintulot sa amin na sabihin na ang CAB ay katulad ng CON, kung saan ang CA = 2 CO at CB = 2 CN. Kasunod nito agad na ang AB = 2 ON.

Sa madaling sabi, AB = 2 ON at DC = 2 MO. Kaya kapag nagdaragdag mayroon kami:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

Sa wakas ay nalinis ang MN:

MN = (AB + DC) / 2

At napagpasyahan na ang median ng isang trapezoid ay sumusukat sa semi-kabuuan ng mga base, o naglalagay ng isa pang paraan: sinusukat ng median ang kabuuan ng mga base, na hinati sa dalawa.

Halimbawa 3

Ipakita na sa isang rhombus ang mga diagonal ay bumalandra sa tamang mga anggulo.

Larawan 12. Rhombus at pagpapakita na ang mga diagonal ay bumalandra sa tamang mga anggulo. Pinagmulan: F. Zapata.

Ang blackboard sa figure 12 ay nagpapakita ng kinakailangang konstruksyon. Una ang paralelogram ABCD ay iginuhit kasama ang AB = BC, iyon ay, isang rhombus. Natutukoy ng mga diagonals AC at DB ang walong mga anggulo na ipinapakita sa figure.

Gamit ang teorem (aip) na nagsasaad na ang mga kahaliling panloob na mga anggulo sa pagitan ng mga parallel na gupitin ng isang secant ay matukoy ang pantay na anggulo, maaari nating itatag ang sumusunod:

α ₁ = γ ₁ , α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ at δ2 = β2. (*)

Sa kabilang banda, dahil ang mga katabing panig ng isang rhombus ay may pantay na haba, apat na isosceles tatsulok ay natutukoy:

DAB, BCD, CDA at ABC

Ngayon ang tatsulok (isosceles) teorama ay hinihimok, na nagsasaad na ang mga anggulo na katabi ng base ay pantay na panukalang-batas, mula kung saan napagpasyahan na:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁ , α2 = γ ₁ at α ₁ = γ2 (**)

Kung ang mga relasyon (*) at (**) ay pinagsama, naabot ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ng mga anggulo:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ sa isang banda at β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2 sa kabilang dako.

Ang paggunita ng pantay na teoryang tatsulok na nagsasaad na ang dalawang tatsulok na may pantay na panig sa pagitan ng dalawang pantay na anggulo ay pantay, mayroon kami:

AOD = AOB at dahil dito ang mga anggulo ∡AOD = ∡AOB.

Pagkatapos ang ∡AOD + ∡AOB = 180º, ngunit dahil ang parehong mga anggulo ay pantay na sukatan, mayroon kaming 2 ∡AOD = 180º na nagpapahiwatig na ∡AOD = 90º.

Iyon ay, ipinakita sa geometrically na ang mga diagonal ng isang rhombus na bumabagay sa tamang mga anggulo.

Malulutas ang mga pagsasanay

- Ehersisyo 1

Ipakita na sa isang tamang trapezoid, ang mga hindi tamang anggulo ay pandagdag.

Solusyon

Larawan 13. Tamang trapezoid. Pinagmulan: F. Zapata.

Ang trapezoid ABCD ay itinayo na may mga batayang AB at DC kahanay. Ang panloob na anggulo ng vertex A ay tama (sinusukat nito ang 90º), kaya mayroon kaming isang tamang trapezoid.

Ang mga anggulo ng α at δ ay mga panloob na anggulo sa pagitan ng dalawang magkakatulad na AB at DC, samakatuwid sila ay pantay-pantay, iyon ay, δ = α = 90º.

Sa kabilang banda, ipinakita na ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang kuwadrador ay nagdaragdag ng hanggang sa 360º, iyon ay:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Ang nasa itaas ay humahantong sa:

β + δ = 180º

Kinukumpirma ang nais na ipakita, na ang mga anggulo β at δ ay karagdagan.

- Ehersisyo 2

Ang isang paralelogram ABCD ay may AB = 2 cm at AD = 1 cm, bilang karagdagan sa anggulo BAD ay 30º. Alamin ang lugar ng paralelogram na ito at ang haba ng dalawang diagonals nito.

Solusyon

Ang lugar ng isang paralelogram ay ang produkto ng haba ng base nito at ang taas nito. Sa kasong ito, ang haba ng segment b = AB = 2 cm ay dadalhin bilang batayan, ang kabilang panig ay may haba ng isang = AD = 1 cm at ang taas h ay makakalkula tulad ng sumusunod:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Kaya: Area = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ² .

Mga Sanggunian

1. CEA (2003). Mga elemento ng geometry: may mga ehersisyo at geometry ng compass. Unibersidad ng Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Napalaya, K. (2007). Tuklasin ang mga Polygons. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Pangkalahatang Polygons. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Matematika Unang Semester Tacaná. IGER.
6. Geometry ng Jr. (2014). Polygons. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren, & Hornsby. (2006). Matematika: Nangangatuwiran At Aplikasyon (Ikasampung Edisyon). Edukasyon sa Pearson.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Editoryal ng Edukasyon.
9. Wikipedia. Quadrilaterals. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com