TALI (GEOMETRY): HABA, TEORYA AT PAGSASANAY - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang isang chord , sa geometry ng eroplano, ay ang linya ng linya na sumali sa dalawang puntos sa isang curve. Ang linya na naglalaman ng segment na ito ay sinasabing isang lihim na linya sa curve. Ito ay madalas na isang bilog, ngunit ang mga chord ay maaaring tiyak na iguguhit sa maraming iba pang mga curves, tulad ng mga ellipses at parabolas.

Sa figure 1 sa kaliwa mayroong isang curve, kung saan ang mga puntos na A at B. Ang chord sa pagitan ng A at B ay ang berdeng segment. Sa kanan ay isang circumference at isa sa mga string nito, dahil posible na gumuhit ng mga infinities.

Larawan 1. Sa kaliwa ang chord ng isang di-makatarungang curve at sa kanan ng chord ng isang bilog. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Ang diameter nito ay partikular na kawili-wili sa circumference, na kilala rin bilang pangunahing chord. Ito ay isang kuwerdas na palaging naglalaman ng gitna ng circumference at sumusukat nang dalawang beses sa radius.

Ang sumusunod na figure ay nagpapakita ng radius, diameter, isang chord at din ng arc ng isang circumference. Ang tamang pagkilala sa bawat isa ay mahalaga kapag nalulutas ang mga problema.

Larawan 2. Mga Elemento ng circumference. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Haba ng chord ng isang bilog

Maaari nating kalkulahin ang haba ng chord sa isang bilog mula sa Mga Figures 3a at 3b. Tandaan na ang isang tatsulok ay palaging nabuo na may dalawang pantay na panig (isosceles): mga segment na OA at OB, na sumusukat sa R, ang radius ng circumference. Ang pangatlong bahagi ng tatsulok ay ang segment na AB, na tinatawag na C, na tiyak ang haba ng kuwerdas.

Ito ay kinakailangan upang gumuhit ng isang linya na patayo sa chord C upang bisect ang anggulo θ na umiiral sa pagitan ng dalawang radii at kung saan ang vertex ay ang sentro O ng circumference. Ito ay isang sentral na anggulo - dahil ang vertex nito ay ang sentro - at ang linya ng bisector ay isang lihim din sa circumference.

Dalawang kanang mga tatsulok ay agad na nabuo, ang hypotenuse kung saan sinusukat ang R. Dahil ang bisector, at kasama nito ang diameter, naghahati ng chord sa dalawang pantay na bahagi, lumiliko na ang isa sa mga binti ay kalahati ng C, tulad ng ipinahiwatig sa Larawan 3b.

Mula sa kahulugan ng sine ng isang anggulo:

kasalanan (θ / 2) = kabaligtaran binti / hypotenuse = (C / 2) / R

Kaya:

kasalanan (θ / 2) = C / 2R

C = 2R kasalanan (θ / 2)

Larawan 3. Ang tatsulok na nabuo ng dalawang radii at isang chord ng circumference ay isosceles (figure 3), dahil mayroon itong dalawang pantay na panig. Hinati ito ng bisector sa dalawang kanang tatsulok (Larawan 3b). Pinagmulan: inihanda ni F. Zapata.

String theorem

Ang string teorama ay napupunta tulad nito:

Ang sumusunod na figure ay nagpapakita ng dalawang chord ng parehong sirkulasyon: AB at CD, na bumalandra sa point P. Sa chord AB ang mga segment na AP at PB ay tinukoy, habang ang chord CD CP at PD ay tinukoy. Kaya, ayon sa teorema:

AP. PB = CP. P.S.

Larawan 4. Ang teorema ng chord ng isang bilog. Pinagmulan: F. Zapata.

Malutas na pagsasanay ng mga string

- Ehersisyo 1

Ang isang bilog ay may isang chord na 48 cm, na 7 cm mula sa gitna. Kalkulahin ang lugar ng bilog at perimeter ng circumference.

Solusyon

Upang makalkula ang lugar ng bilog A, sapat na upang malaman ang radius ng square squared, dahil totoo ito:

A = π.R ²

Ngayon, ang figure na nabuo gamit ang data na ibinigay ay isang tamang tatsulok, na ang mga binti ay 7 at 24 cm ayon sa pagkakabanggit.

Larawan 5. Geometry para sa nalutas na ehersisyo 1. Pinagmulan: F. Zapata.

Samakatuwid, upang mahanap ang halaga ng R ² , ang teyema ng Pythagorean c ² = a ² + b ² ay inilapat nang direkta , dahil ang R ay ang hypotenuse ng tatsulok:

R ² = (7 cm) ² + (24 cm) ² = 625 cm ²

Kaya ang hiniling na lugar ay:

A = π. 625 cm ² = 1963.5 cm ²

Tungkol sa perimeter o haba ng L ng circumference, kinakalkula ito ng:

L = 2π. R

Mga halaga ng substituting:

R = √625 cm ² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157.1 cm.

- Ehersisyo 2

Alamin ang haba ng chord ng isang bilog na ang pagkakapantay-pantay ay:

x ² + y ² - 6x - 14y -111 = 0

Ang mga coordinate ng midpoint ng chord ay kilala na P (17/2; 7/2).

Solusyon

Ang kalagitnaan ng chord P ay hindi kabilang sa circumference, ngunit ginagawa ang mga dulo ng chord. Ang problema ay maaaring malutas gamit ang string theorem na dating binigkas, ngunit una ay maginhawa na isulat ang equation ng circumference sa kanonical form, upang matukoy ang radius R at ang sentro nito O.

Hakbang 1: kunin ang canonical equation ng circumference

Ang canonical equation ng bilog na may gitnang (h, k) ay:

(xh) ² + (yk) ² = R ²

Upang makuha ito, dapat mong kumpletuhin ang mga parisukat:

(x ² - 6x) + (y ² - 14y) -111 = 0

Tandaan na ang 6x = 2. (3x) at 14y = 2. (7y), upang ang naunang ekspresyon ay muling isinulat tulad nito, naiiwan ng hindi nagbabago:

(x ² - 6x + 3 ² -3 ² ) + (y ² - 14y + 7 ² -7 ² ) -111 = 0

At ngayon, naalala ang kahulugan ng pambihirang produkto (ab) ² = a ² - 2ab + b ² maaari kang sumulat:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

Ang circumference ay may sentro (3,7) at radius R = √169 = 13. Ang sumusunod na figure ay nagpapakita ng graph ng circumference at ang mga chord na gagamitin sa teorema:

Larawan 6. Graph ng circumference ng nalutas na ehersisyo 2. Pinagmulan: F. Zapata gamit ang matematika online graphing calculator.

Hakbang 2: matukoy ang mga segment na gagamitin sa theorem ng string

Ang mga segment na gagamitin ay ang mga string ng CD at AB, ayon sa figure 6, pareho ay gupitin sa point P, samakatuwid:

CP. PD = AP. PB

Ngayon ay makahanap kami ng distansya sa pagitan ng mga puntos ng O at P, dahil ito ang magbibigay sa amin ng haba ng segment ng OP. Kung idinagdag namin ang radius sa haba na ito, magkakaroon kami ng segment na CP.

Ang distansya d _{OP sa} pagitan ng dalawang puntos ng coordinate (x ₁ , y ₁ ) at (x ₂ , y ₂ ) ay:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁ ) ² + (y ₂ - y ₁ ) ² = (3- 17/2) ² + (7- 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

Sa lahat ng mga resulta na nakuha, kasama ang graph, binubuo namin ang sumusunod na listahan ng mga segment (tingnan ang figure 6):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = haba ng kuwerdas

Pagsusulat sa teorema ng string:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

Ang haba ng string ay 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Maaari bang malutas ng mambabasa ang problema sa ibang paraan?

Mga Sanggunian

1. Baldor, A. 2004. Plano at Space Geometry na may Trigonometry. Publiko Cultural SA de CV México.
2. C-K12. Lenght ng isang Chord. Nabawi mula sa: ck12.org.
3. Escobar, J. Ang Circumference. Nabawi mula sa: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Nabawi mula sa: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Tali (Geometry). Nabawi mula sa: es.wikipedia.org.