KURTOSIS: KAHULUGAN, URI, PORMULA, KUNG ANO ITO, HALIMBAWA - DUDAS - 2025

Ang kurtosis o kurtosis ay isang istatistikal na parameter na ginamit upang makilala ang posibilidad ng pamamahagi ng isang random variable, na nagpapahiwatig ng antas ng konsentrasyon ng mga halaga sa paligid ng gitnang lawak. Kilala rin ito bilang "peak grade."

Ang termino ay nagmula sa Greek "kurtos" na nangangahulugang arched, samakatuwid ang kurtosis ay nagpapahiwatig ng antas ng pagturo o pagyuko ng pamamahagi, tulad ng nakikita sa sumusunod na pigura:

Larawan 1. Iba't ibang uri ng kurtosis. Pinagmulan: F. Zapata.

Halos lahat ng mga halaga ng isang random variable ay may posibilidad na kumpol sa paligid ng isang sentral na halaga tulad ng ibig sabihin. Ngunit sa ilang mga pamamahagi, ang mga halaga ay mas nagkakalat kaysa sa iba, na nagreresulta sa mga flatter o slimmer curves.

Kahulugan

Ang kurtosis ay isang bilang ng numero na tipikal ng bawat pamamahagi ng dalas, na, ayon sa konsentrasyon ng mga halaga sa paligid ng ibig sabihin, ay naiuri sa tatlong pangkat:

- Leptokurtic: kung saan ang mga halaga ay napaka-clustered sa paligid ng ibig sabihin, kaya ang pamamahagi ay medyo itinuro at payat (figure 1, kaliwa).

- Mesocúrtic: mayroon itong katamtaman na konsentrasyon ng mga halaga sa paligid ng ibig sabihin (figure 1 sa gitna).

- Platicúrtica: ang pamamahagi na ito ay may mas malawak na hugis, dahil ang mga halaga ay may posibilidad na mas magkalat (figure 1 sa kanan).

Mga formula at equation

Ang kurtosis ay maaaring magkaroon ng anumang halaga, nang walang mga limitasyon. Ang pagkalkula nito ay isinasagawa depende sa paraan ng naihatid ng data. Ang notasyon na ginamit sa bawat kaso ay ang mga sumusunod:

-Kahusay ng kurtosis: g ₂

-Arithmetic ibig sabihin: X o x na may bar

-Ang halaga ng i-th: x _i

-Pagtatawad ng Standard: σ

-Ang bilang ng data: N

-Ang dalas ng halaga ng i-th: f _i

-Class brand: mx _i

Sa notasyong ito, ipinakikita namin ang ilan sa mga pinaka ginagamit na formula upang makahanap ng kurtosis:

- Kurtosis ayon sa paglalahad ng data

Ang data na hindi pinangkat o nakapangkat sa mga frequency

Ang data na pinagsama sa pagitan

Sobrang kurtosis

Tinatawag din na target na koepisyent ng Fisher o ang panukalang Fisher, ginagamit ito upang ihambing ang pamamahagi sa ilalim ng pag-aaral sa normal na pamamahagi.

Kapag ang labis na kurtosis ay 0, nasa presensya kami ng isang normal na pamamahagi o Gaussian bell. Sa ganitong paraan, sa tuwing kinakalkula ang labis na kurtosis ng isang pamamahagi, talagang inihahambing natin ito sa normal na pamamahagi.

Para sa parehong mga di-pinagsama at ang naka-pool na data, koepisyent ng pagturo ni Fisher, na tinukoy ni K, ay:

K = g ₂ - 3

Ngayon, maipakita na ang kurtosis ng normal na pamamahagi ay 3, samakatuwid kung ang koepisyent ng pagturo ng Fisher ay 0 o malapit sa 0 at mayroong isang pamamahagi ng mesocructic. Kung ang K> 0 ang pamamahagi ay leptokurtic at kung ang K <0 ay platicúrtic.

Ano ang kurtosis?

Ang Kurtosis ay isang sukatan ng pagkakaiba-iba na ginamit upang makilala ang morpolohiya ng isang pamamahagi. Sa ganitong paraan, ang mga pamamahagi ng simetriko na may parehong average at ang parehong pagkakalat (na ibinigay ng karaniwang paglihis) ay maaaring ihambing.

Ang pagkakaroon ng mga sukat ng pagkakaiba-iba ay nagsisiguro na ang mga average ay maaasahan at makakatulong upang makontrol ang mga pagkakaiba-iba sa pamamahagi. Bilang halimbawa, tingnan natin ang dalawang sitwasyong ito.

Ang sweldo ng 3 kagawaran

Ipagpalagay na ang sumusunod na graph ay nagpapakita ng mga pamamahagi ng suweldo ng 3 mga kagawaran ng parehong kumpanya:

Larawan 2. Ang tatlong pamamahagi na may iba't ibang kurtosis ay naglalarawan ng mga praktikal na sitwasyon. (Inihanda ni Fanny Zapata)

Ang curve A ay ang pinaka-slimmest sa lahat, at mula sa porma nito maaari itong mailarawan na ang karamihan sa mga suweldo ng kagawaran na ito ay napakalapit sa average, samakatuwid ang karamihan sa mga empleyado ay nakakatanggap ng katulad na kabayaran.

Para sa bahagi nito, sa departamento B, ang curve ng sahod ay sumusunod sa isang normal na pamamahagi, dahil ang curve ay mesocurtic, kung saan ipinapalagay namin na ang sahod ay sapalarang ipinamamahagi.

At sa wakas mayroon kaming curve C na kung saan ay napaka-flat, isang senyas na sa kagawaran na ito ang saklaw ng suweldo ay mas malawak kaysa sa iba.

Ang mga resulta ng isang pagsusulit

Ipagpalagay na ang tatlong curves sa Figure 2 ay kumakatawan sa mga resulta ng isang pagsusulit na inilalapat sa tatlong pangkat ng mga mag-aaral ng parehong paksa.

Ang pangkat na ang mga rating ay kinakatawan ng isang leptokurtic curve ay medyo homogenous, ang karamihan ay nakakuha ng isang average o malapit na rating.

Posible rin na ang resulta ay dahil sa mga tanong sa pagsubok na mayroong higit o mas kaunti sa parehong antas ng kahirapan.

Sa kabilang banda, ang mga resulta ng pangkat C ay nagpapahiwatig ng isang mas mataas na heterogeneity sa pangkat, na marahil ay naglalaman ng average na mga mag-aaral, ang ilang mga higit na pakinabang sa mga mag-aaral at tiyak na mas kaunting matulungin.

O kaya ay nangangahulugang ang mga katanungan sa pagsubok ay may ibang magkakaibang antas ng kahirapan.

Ang curve B ay mesocutic, na nagpapahiwatig na ang mga resulta ng pagsubok ay sumunod sa isang normal na pamamahagi. Ito ay karaniwang ang madalas na kaso.

Nagawa na halimbawa ng kurtosis

Hanapin ang koepisyent sa pagmamarka ng Fisher para sa mga sumusunod na marka, na nakuha sa isang pagsusulit sa pisika sa isang pangkat ng mga mag-aaral, na may sukat na 1 hanggang 10:

Solusyon

Ang sumusunod na ekspresyon ay gagamitin para sa mga di-pangkat na data, na ibinigay sa mga naunang mga seksyon:

K = g ₂ - 3

Pinapayagan ka ng halagang ito na malaman ang uri ng pamamahagi.

Upang makalkula ang g _{2 ito} ay maginhawa upang gawin ito sa maayos na paraan, hakbang-hakbang, dahil ang ilang mga operasyon sa aritmetika ay kailangang lutasin.

Hakbang 1

Una, ang average ng mga marka ay kinakalkula. Mayroong N = 11 data.

Hakbang 2

Ang karaniwang paglihis ay natagpuan, kung saan ginagamit ang equation na ito:

σ = 1.992

O maaari ka ring bumuo ng isang talahanayan, na kinakailangan din para sa susunod na hakbang at kung saan ang bawat term ng mga pagbubuod na kakailanganin ay nakasulat, nagsisimula sa (x _i - X), pagkatapos (x _i - X) ² at pagkatapos (x _i - X) ⁴ :

Hakbang 3

Dalhin ang kabuuan na ipinahiwatig sa numerator ng formula para sa g ₂ . Para sa mga ito, ginagamit ang resulta ng tamang haligi ng nakaraang talahanayan:

∑ (x _i - X) ⁴ = 290.15

Kaya:

g ₂ = (1/11) x 290.15 /1.992 ⁴ = 1.675

Ang koepisyent ng point ni Fisher ay:

K = g ₂ - 3 = 1.675 - 3 = -1.325

Ano ang interes ay tanda ng resulta, kung saan, pagiging negatibo, ay tumutugma sa isang pamamahagi ng platicúrtic, na maaaring bigyang kahulugan bilang nagawa sa nakaraang halimbawa: marahil ito ay isang heterogenous na kurso sa mga mag-aaral na may iba't ibang antas ng interes o ang mga tanong sa pagsusuri ay ng iba't ibang antas ng kahirapan.

Ang paggamit ng isang spreadsheet tulad ng Excel ay lubos na nagpapadali sa paglutas ng mga uri ng mga problema at nag-aalok din ng pagpipilian ng graphing pamamahagi.

Mga Sanggunian

1. Levin, R. 1988. Mga Istatistika para sa Mga Administrador. Ika-2. Edisyon. Prentice Hall.
2. Marco, F. Curtosis. Nabawi mula sa: economipedia.com.
3. Oliva, J. Asymmetry at kurtosis. Nabawi mula sa: statisticaucv.files.wordpress.com.
4. Spurr, W. 1982. Paggawa ng Pagpapasya sa Pamamahala. Limusa.
5. Wikipedia. Kurtosis. Nabawi mula sa: en.wikipedia.org.