ALGEBRAIC DERIVATIVES (NA MAY MGA HALIMBAWA) - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga algebraic derivatives ay binubuo ng pag-aaral ng derivative sa kaso ng mga function ng algebraic. Ang pinagmulan ng paniwala ng mga petsa na nagmula pabalik sa Sinaunang Greece. Ang pagbuo ng paniwala na ito ay hinikayat ng pangangailangan upang malutas ang dalawang mahahalagang problema, ang isa sa pisika at ang iba pa sa matematika.

Sa pisika, nalutas ng derivative ang problema sa pagtukoy ng agarang bilis ng isang gumagalaw na bagay. Sa matematika, pinapayagan ka nitong hanapin ang linya ng padapot sa isang curve sa isang naibigay na punto.

Bagaman mayroong talagang maraming mga problema na nalulutas sa pamamagitan ng paggamit ng derivative, pati na rin ang mga generalizations nito, mga resulta na dumating pagkatapos ng pagpapakilala ng konsepto nito.

Ang mga pioneer ng calculus ng kaugalian ay ang Newton at Leibniz. Bago ibigay ang pormal na kahulugan, bubuo tayo ng ideya sa likod nito, mula sa isang pang-matematika at pisikal na pananaw.

Ang derivative bilang slope ng tangent line sa isang curve

Ipagpalagay na ang graph ng isang function y = f (x) ay isang tuluy-tuloy na graph (nang walang mga taluktok o mga vertice o gaps), at hayaan ang A = (a, f (a)) ay isang nakapirming punto dito. Nais naming mahanap ang equation ng linya ng padaplis sa grap ng pag-andar f sa point A.

Kumuha tayo ng anumang iba pang punto P = (x, f (x)) sa graph, malapit sa point A, at iguhit ang lihim na linya na dumaan sa A at P. Ang isang lihim na linya ay isang linya na pinuputol ang graph ng isang curve ng isa o higit pang mga puntos.

Upang makuha ang linya ng padaplis na nais natin, kailangan lang nating kalkulahin ang dalisdis dahil mayroon na tayong punto sa linya: point A

Kung ililipat natin ang point P sa graph at mas malapit at malapit sa point A, ang naunang nabanggit na secant line ay lalapit sa tangent line na nais nating hanapin. Ang pagkuha ng limitasyon kapag "P ay may kaugaliang A", ang parehong mga linya ay magkatulad, samakatuwid ang kanilang mga slope din.

Ang slope ng lihim na linya ay ibinigay ng

Ang pagsasabi na ang pamamaraang P ay A ay katumbas ng pagsasabi na "x" na papalapit "a". Kaya, ang slope ng tangent line sa grap ng f sa point A ay magiging katumbas ng:

Ang expression sa itaas ay minarkahan ng f '(a), at tinukoy bilang ang hinango ng isang function f sa puntong "a". Samakatuwid nakita namin na analitikal, ang hinango ng isang function sa isang punto ay isang limitasyon, ngunit geometrically, ito ay ang dalisdis ng tangent line sa grap ng pag-andar sa puntong.

Ngayon titingnan natin ang paniwala na ito mula sa punto ng view ng pisika. Darating kami sa parehong pagpapahayag ng nakaraang limitasyon, bagaman sa pamamagitan ng ibang landas, sa gayon makuha ang pagkakaisa ng kahulugan.

Ang derivative bilang agarang bilis ng isang gumagalaw na bagay

Tingnan natin ang isang maikling halimbawa ng kung ano ang kahulugan ng mabilis. Kapag sinabi, halimbawa, na ang isang kotse upang maabot ang isang patutunguhan ay ginawa sa bilis na 100 km bawat oras, na nangangahulugang sa isang oras ito ay naglakbay ng 100 km.

Hindi ito nangangahulugang na sa buong oras ang kotse ay palaging 100 km, ang bilis ng kotse ay maaaring sa ilang sandali ay minarkahan ng kaunti o higit pa. Kung mayroon kang pangangailangan na huminto sa isang ilaw ng trapiko, ang iyong bilis sa oras na iyon ay 0 km. Gayunpaman, pagkatapos ng isang oras, ang paglalakbay ay 100 km.

Ito ang kilala bilang average na bilis at ibinibigay ng quotient ng distansya na naglakbay at lumipas ang oras, tulad ng nakita natin. Ang agarang bilis, sa kabilang banda, ay ang isa na nagmamarka ng karayom ​​ng bilis ng kotse ng isang kotse sa isang naibigay na instant (oras).

Tingnan natin ito ngayon nang mas pangkalahatan. Ipagpalagay na ang isang bagay ay gumagalaw kasama ang isang linya at na ang pag-aalis na ito ay kinakatawan ng equation s = f (t), kung saan ang variable t ay sumusukat sa oras at ang variable s ang pag-aalis, isinasaalang-alang nagsisimula sa ang instant t = 0, kung saan oras din ito zero, iyon ay, f (0) = 0.

Ang pagpapaandar na ito f (t) ay kilala bilang function ng posisyon.

Ang isang expression ay hinahangad para sa agarang bilis ng bagay sa isang nakapirming instant na "a". Sa bilis na ito ihahatid namin ito sa pamamagitan ng V (a).

Hayaan ang anumang maging instant na malapit sa instant "a". Sa pagitan ng oras ng "a" at "t", ang pagbabago sa posisyon ng bagay ay ibinigay ng f (t) -f (a).

Ang average na bilis sa agwat ng oras na ito ay:

Alin ang isang approximation ng agarang bilis V (a). Ang pagtatantya na ito ay magiging mas mahusay dahil ang t ay lumapit sa "a". Kaya,

Tandaan na ang expression na ito ay kapareho ng nakukuha sa nakaraang kaso, ngunit mula sa ibang pananaw. Ito ang kilala bilang ang hinango ng isang function f sa isang puntong "a" at tinukoy ng f '(a), tulad ng nakasaad sa itaas.

Tandaan na ang paggawa ng pagbabago h = xa, mayroon tayo na kapag ang "x" ay may kaugaliang "a", "h" ay may kaugaliang 0, at ang nakaraang limitasyon ay binago (pantay) sa:

Ang parehong mga expression ay katumbas ngunit kung minsan mas mahusay na gumamit ng isa sa halip na iba, depende sa kaso.

Ang hinango ng isang function f sa anumang puntong "x" na kabilang sa domain nito ay pagkatapos ay tinukoy sa isang mas pangkalahatang paraan bilang

Ang pinaka-karaniwang notasyon na kumakatawan sa derivative ng isang function y = f (x) ay ang isa lamang natin nakita (f 'o y'). Gayunpaman, isa pang malawak na ginamit na notasyon ay ang notasyon ni Leibniz na kinakatawan bilang alinman sa mga sumusunod na expression:

Dahil ang derivative ay mahalagang isang limitasyon, maaaring o hindi ito umiiral, dahil ang mga limitasyon ay hindi laging umiiral. Kung mayroon, ang pag-andar na pinag-uusapan ay sinasabing naiiba sa naibigay na punto.

Pag-andar ng Algebraic

Ang isang algebraic function ay isang kombinasyon ng mga polynomial sa pamamagitan ng karagdagan, pagbabawas, mga produkto, quotients, kapangyarihan, at radikal.

Ang isang polynomial ay isang expression ng form

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 + … + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

Kung saan n ay isang likas na numero at lahat ng _i , na may i = 0,1, …, n, ay mga makatwirang numero at _n ≠ 0. Sa kasong ito ang antas ng polynomial na ito ay sinasabing n.

Ang mga sumusunod ay mga halimbawa ng mga function ng algebraic:

Ang mga pagpapaandar, logarithmic, at trigonometric function ay hindi kasama dito. Ang mga patakaran ng derivation na makikita natin sa susunod ay may bisa para sa mga pag-andar sa pangkalahatan, ngunit pipigilan natin ang ating sarili at ilalapat ang mga ito sa kaso ng mga pag-andar ng algebra.

Mga panuntunan ng dyypass

Pinagmulan ng isang pare-pareho

Ang mga estado na ang pinanggalingan ng isang pare-pareho ay zero. Iyon ay, kung f (x) = c, pagkatapos ay f '(x) = 0. Halimbawa, ang hinango ng pare-pareho ang pagpapaandar 2 ay pantay sa 0.

Pinagmulan ng isang kapangyarihan

Kung f (x) = x ⁿ , pagkatapos ay f '(x) = nx ^n-1 . Halimbawa, ang hinango ng x ³ ay 3x ² . Bilang kinahinatnan nito, nakukuha natin na ang hinango ng function ng pagkakakilanlan f (x) = x ay f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1.

Ang isa pang halimbawa ay ang sumusunod: hayaang f (x) = 1 / x ² , pagkatapos f (x) = x ^-2 at f '(x) = - 2x ^-2-1 = -2x ^-3 .

Ang pag-aari na ito ay may bisa din na ugat, dahil ang mga ugat ay may kapangyarihan na kapangyarihan at ang nasa itaas ay maaari ring mailapat sa kasong iyon. Halimbawa, ang hinango ng isang square root ay ibinigay ng

Pinagmulan ng karagdagan at pagbabawas

Kung ang f at g ay magkakaibang mga pag-andar sa x, kung gayon ang kabuuan ng f + g ay magkakaiba din at nasiyahan na (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Katulad nito, mayroon tayong (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Sa madaling salita, ang hinuha ng isang kabuuan (pagbabawas), ay ang kabuuan (o pagbabawas) ng mga derivatibo.

Halimbawa

Kung h (x) = x ² + x-1, kung gayon

h '(x) = (x ² ) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.

Galing sa isang produkto

Kung ang f at g ay magkakaibang mga pag-andar sa x, kung gayon ang produkto fg ay naiiba din sa x at totoo na

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Bilang kinahinatnan, sumusunod ito na kung c ay isang pare-pareho at f ay isang kakaibang pag-andar sa x, kung gayon ang cf ay naiiba din sa x at (cf) '(x) = cf' (X).

Halimbawa

Kung f (x) = 3x (x ² +1), kung gayon

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² +3.

Pinagmulan ng isang quotient

Kung ang f at g ay magkakaiba sa x at g (x) ≠ 0, kung gayon ang f / g ay magkakaiba rin sa x, at totoo ito na

Halimbawa: kung h (x) = x ³ / (x ² -5x), kung gayon

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ² .

Pamamahala ng chain

Pinapayagan ng panuntunang ito na makuha ang komposisyon ng mga pag-andar. Sabihin ang sumusunod: kung ang y = f (u) ay naiiba sa u, yu = g (x) ay naiiba sa x, kung gayon ang composite function f (g (x)) ay naiiba sa x, at totoo na '= f '(g (x)) g' (x).

Iyon ay, ang hinango ng isang tambalang function ay ang produkto ng hinango ng panlabas na pag-andar (panlabas na derivative) at ang hinango ng panloob na pag-andar (panloob na derivative).

Halimbawa

Kung f (x) = (x ⁴ -2x) ³ , kung gayon

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2).

Mayroon ding mga resulta para sa pag-compute ng derivative ng kabaligtaran ng isang function, pati na rin ang generalization sa mga mas mataas na order derivatives. Malawak ang mga aplikasyon. Kabilang sa mga ito, ang pagiging kapaki-pakinabang sa mga problema sa pag-optimize at pinakamataas at pinakamababang mga pag-andar ay nakalantad.

Mga Sanggunian

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Diferential calculus. ITM.
2. Cabrera, VM (1997). Pagkalkula 4000. Edisyon ng Editoryal.
3. Castaño, HF (2005). Matematika bago ang pagkalkula. Unibersidad ng Medellin.
4. Eduardo, NA (2003). Panimula sa Calculus. Mga Edisyon ng Threshold.
5. Fuentes, A. (2016). ASAL NA MATH. Isang Panimula sa Calculus. Lulu.com.
6. Purcell, EJ, Rigdon, SE, & Varberg, DE (2007). Pagkalkula. Edukasyon sa Pearson.
7. Saenz, J. (2005). Pagkakaiba Calculus (Pangalawang ed.). Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, GB, & Weir, MD (2006). Pagkalkula: maraming mga variable. Edukasyon sa Pearson.