IMPLICIT NA DERIVATIVES: KUNG PAANO ITO MALULUTAS AT MALULUTAS ANG MGA EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga implicit derivatives ay mga tool na ginagamit sa isang pamamaraan sa pagkakaiba na inilalapat sa mga pag-andar. Inilapat ang mga ito kapag hindi posible, sa ilalim ng mga regular na pamamaraan, upang malutas para makuha ang umaasang variable. Ang clearance na ito ay isinasagawa bilang isang function ng independiyenteng variable.

Halimbawa, sa expression 3xy ³ - 2y + xy ² = xy, hindi ka makakakuha ng expression na tumutukoy sa "y" bilang isang function ng "x". Kaya na sa pamamagitan ng pagkuha ng kaugalian expression dy / dx ay maaaring makuha.

Paano nalulutas ang mga implicit derivatives?

Upang malutas ang isang implicit na derivative, nagsisimula kami sa isang implicit expression. Halimbawa: 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0. Ito ay nai-nalutas nang tama, subalit ang paggawa nito ay hindi isang kinakailangang kondisyon upang makuha ang derivative ng y may paggalang sa x. Pagkatapos, ang bawat isa sa mga elemento ay nagmula sa pagrespeto sa chain rules para sa mga halo-halong pag-andar:

Ang 3xy ³ ay binubuo ng 2 variable, samakatuwid d (3xy ³ ) ay ituturing bilang hinango ng isang produkto ng mga pag-andar.

d (3xy ³ ) / dx = 3y ³ + 3y ^2. (3x) y '= 3y ³ + 9xy ² y'

Kung saan ang elemento y 'ay kilala bilang "y prime" at kumakatawan sa dy / dx

-2y Ito ay nagmula ayon sa batas KU = K.U '

d (-2y) = -2 y '

Ang xy ^{2 ay} inaakala ng isa pang pagkakaiba-iba na binubuo ng isang produkto ng mga pag-andar

d (xy ² ) = y ² + 2xy y '

-xy ay ginagamot nang homologously

d (-xy) = -y - x y '

Ang mga ito ay nahalili sa pagkakapantay-pantay, alam na ang pinanggalingan ng zero ay zero.

3y ³ + 9xy ² y '- 2 y' + y ² + 2xy y '- y - x y' = 0

Ang mga elemento na mayroong salitang y 'ay pinagsama sa isang panig ng pagkakapantay-pantay

3y ³ + y ² - y = -9xy ² y '+ 2 y' + x y '

Ang karaniwang kadahilanan y 'ay nakuha mula sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay

3y ³ + y ² - y = y '(-9xy ² + x + 2)

Sa wakas ang term na nagpaparami ng y 'ay na-clear. Sa gayon ang pagkuha ng expression na naaayon sa implicit derivative ng y may paggalang sa x.

y '= dy / dx = (3y ³ + y ² - y) / (- 9xy ² + x + 2)

Pamamahala ng chain

Sa implicit derivation ang panuntunan ng chain ay palaging iginagalang. Ang lahat ng mga expression na kaugalian ay bibigyan bilang isang function ng independiyenteng variable X. Kaya't ang bawat variable θ maliban sa X, ay dapat isama ang term na dθ / dx matapos makuha.

Ang term na ito ay lilitaw lamang sa unang degree o may isang exponent na katumbas ng 1. Ang kalidad na ito ay ginagawang ganap na malinaw sa ilalim ng tradisyunal na pamamaraan ng factoring. Sa gayon, posible na makuha ang ekspresyon na tumutukoy sa kaugalian dθ / dx.

Ipinapakita ng panuntunan ng chain ang progresibong katangian ng pagkita ng pagkita ng kaibhan o proseso. Kung saan para sa bawat pag-andar ng tambalan f, mayroon kami na ang kaugalian expression ng f ay magiging

Order ng pagpapatakbo

Sa bawat pormula o batas ng derivation na inilalapat, ang pagkakasunud-sunod ng mga variable ay dapat isaalang-alang. Ang pamantayan na nauugnay sa independyenteng variable ay iginagalang, nang hindi binabago ang ugnayan nito sa nakasalalay na variable.

Ang relasyon ng umaasang variable sa oras ng pagkuha ay nakuha nang direkta; Sa pagbubukod na ito ay isasaalang-alang bilang isang pangalawang pag-andar, na kung saan ang dahilan ng kriterya ng patakaran para sa halo-halong pag-andar ay inilalapat.

Maaari itong mabuo sa mga expression na may higit sa 2 variable. Sa ilalim ng magkaparehong mga prinsipyo, ang lahat ng mga pagkakaiba-iba na tumutukoy sa mga umaasa sa variable ay maihahambing.

Graphically, ang parehong criterion na tumutukoy sa derivative ay hawakan. Habang ang derivative ay ang slope ng tangent line sa curve sa eroplano, ang natitirang mga kaugalian na kabilang sa mga dependant variable (dy / dx, dz / dx) ay kumakatawan sa mga planong tangent sa mga vector na katawan na inilarawan ng maraming variable na pag-andar.

Implicit

Ang isang function ay sinabi na tahasang natukoy kung ang expression y = f (x) ay maaaring kinakatawan bilang isang maramihang variable function F (x, y) = 0 hangga't ang F ay tinukoy sa eroplano ng R ² .

3xy ³ - 2y + xy ² = xy maaaring isulat sa form 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0

Sa pagtingin sa imposibilidad ng paggawa ng tahasang y = f (x) na malinaw.

Kasaysayan

Ang calculus ng kaugalian ay nagsimula na pinangalanan ng iba't ibang mga mananaliksik sa matematika sa paligid ng ikalabing siyam na siglo. Ang unang pagkakataon na nabanggit ay sa pamamagitan ng mga kontribusyon ng Newton at Leibniz. Parehong ginagamot ang kaugalian calculus mula sa iba't ibang mga punto ng view, ngunit nagko-convert sa kanilang mga resulta.

Habang ang Newton ay nakatuon sa pagkita ng kaibhan bilang isang bilis o rate ng pagbabago, ang diskarte ni Leibniz ay mas geometric. Masasabi na sinalakay ni Newton ang mga haka-haka na iniwan ni Apollonius ng Perge at Leibniz ang mga geometric na ideya ng Fermat.

Ang implicit derivation ay lilitaw kaagad kapag isinasaalang-alang ang kaugalian at integral na mga equation. Ang mga pinalawak na konsepto na geometric na Leibniz sa R ³ at maging sa mga puwang ng multidimensional.

Aplikasyon

Ang mga impormasyong derivatives ay ginagamit sa iba't ibang mga sitwasyon. Karaniwan sila sa mga problema sa rate ng palitan sa pagitan ng mga kaugnay na variable, kung saan, depende sa kahulugan ng pag-aaral, ang mga variable ay maituturing na nakasalalay o independente.

Mayroon din silang mga kagiliw-giliw na application na geometriko, tulad ng sa mga problema sa pagmuni-muni o mga anino, sa mga figure na ang hugis ay maaaring maging modelo ng matematika.

Madalas silang ginagamit sa mga lugar ng ekonomiya at engineering, pati na rin sa iba't ibang mga pagsisiyasat ng mga natural na phenomena at mga eksperimentong gusali.

Malutas na ehersisyo

Ehersisyo 1

Tukuyin ang implicit expression na tumutukoy sa dy / dx

Ang bawat elemento ng expression ay naiiba

Pagtatatag ng panuntunan sa kadena sa bawat karampatang kaso

Pagpangkat sa isang panig ng pagkakapantay-pantay ng mga elemento na mayroong dy / dx

Ito ay pinagtibay gamit ang pangkaraniwang kadahilanan

Ito ay malulutas na makuha ang expression na hinahangad

Mag-ehersisyo 2

Tukuyin ang implicit expression na tumutukoy sa dy / dx

Ang pagpapahayag ng mga derivatives na isasagawa

Pagbubunga ng implicitly ayon sa panuntunan sa chain

Pagsusulit ng mga karaniwang elemento

Pagpangkat sa salitang dy / dx sa isang panig ng pagkakapantay-pantay

Karaniwang kadahilanan sa elementong kaugalian

Inihiwalay namin at nakuha ang hinahangad na expression

Mga Sanggunian

1. Calculus ng isang Nag-iiba-iba. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Pag-aaral ng Cengage, Nov 10 2008
2. Ang Implicit Theorem Function: Kasaysayan, Teorya, at Aplikasyon. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, Nobyembre 9. 2012
3. Multivariable Pagsusuri. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, Dis 13. 2010
4. System Dynamics: Pagmomodelo, Simulation, at Control ng Mechatronic Systems. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, Mar 7 2012
5. Calculus: Matematika at Pagmomolde. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, Enero 1 1999