ANG MGA SUNUD-SUNOD NA DERIVATIVES (NA MAY MGA EHERSISYO NA NALUTAS) - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang sunud-sunod na derivatibo ay ang mga nagmula sa isang pag-andar pagkatapos ng pangalawang derivative. Ang proseso upang makalkula ang sunud-sunod na derivatives ay ang mga sumusunod: mayroon kaming isang function f, na maaari naming makuha at sa gayon makuha ang derivative function f '. Maaari naming makuha ang derivative ng f muli, pagkuha (f ')'.

Ang bagong pag-andar na ito ay tinatawag na pangalawang derivative; lahat ng mga derivatives na kinakalkula mula sa pangalawa ay sunud-sunod; Ang mga ito, na tinatawag ding mas mataas na pagkakasunud-sunod, ay may mahusay na mga aplikasyon, tulad ng pagbibigay ng impormasyon tungkol sa balangkas ng grap ng isang function, ang pagsubok ng pangalawang derivative para sa mga kamag-anak na labis na pagkakasunud-sunod at ang pagpapasiya ng walang katapusang serye.

Kahulugan

Gamit ang notasyon ni Leibniz, mayroon tayo na ang hinango ng isang function na "y" na may paggalang sa "x" ay dy / dx. Upang maipahayag ang pangalawang derivative ng "y" gamit ang notasyon ni Leibniz, isinusulat namin ang mga sumusunod:

Sa pangkalahatan, maaari nating ipahiwatig ang sunud-sunod na derivatives tulad ng sumusunod sa notasyon ni Leibniz, kung saan n ay kumakatawan sa pagkakasunud-sunod ng derivative.

Ang iba pang mga notipikasyon na ginamit ay ang mga sumusunod:

Ang ilang mga halimbawa kung saan makikita natin ang iba't ibang mga notasyon ay:

Halimbawa 1

Makuha ang lahat ng mga derivatives ng function f na tinukoy ng:

Gamit ang karaniwang pamamaraan ng derivation, mayroon kaming na ang derivative ng f ay:

Sa pamamagitan ng pag-uulit ng proseso maaari nating makuha ang pangalawang derivative, ang pangatlong derivative, at iba pa.

Tandaan na ang ika-apat na derivative ay zero at ang derivative ng zero ay zero, kaya mayroon kami:

Halimbawa 2

Kalkulahin ang ika-apat na hinuha ng sumusunod na pagpapaandar:

Pagkuha ng ibinigay na function na mayroon kami bilang isang resulta:

Bilis at pabilis

Ang isa sa mga motivations na humantong sa pagkatuklas ng derivative ay ang paghahanap para sa kahulugan ng agarang bilis. Ang pormal na kahulugan ay ang mga sumusunod:

Hayaan ang y = f (t) ay isang function na ang graph ay naglalarawan ng tilapon ng isang maliit na butil sa oras t, pagkatapos ay ang bilis nito sa oras t ay ibinigay ng:

Kapag nakuha ang bilis ng isang maliit na butil, maaari nating kalkulahin ang agad na pagbilis, na tinukoy bilang sumusunod:

Ang agarang pagpabilis ng isang maliit na butil na ang landas ay ibinibigay ng y = f (t) ay:

Halimbawa 1

Ang isang maliit na butil ay gumagalaw kasama ang isang linya ayon sa pag-andar ng posisyon:

Kung saan ang "y" ay sinusukat sa metro at "t" sa ilang segundo.

- Sa anong instant ang bilis nito 0?

- Sa anong instant ang bilis nito 0?

Kapag nakukuha ang function ng posisyon «at» mayroon kami na ang bilis at pagbilis nito ay binibigyan ayon sa:

Upang masagot ang unang tanong, sapat na upang matukoy kung kailan nagiging zero ang function v; ito ay:

Nagpapatuloy kami sa sumusunod na tanong sa isang pagkakatulad na paraan:

Halimbawa 2

Ang isang maliit na butil ay gumagalaw sa isang linya ayon sa sumusunod na equation ng paggalaw:

Alamin ang "t, y" at "v" kapag ang isang = 0.

Alam na ang bilis at pabilis ay ibinibigay ng

Nagpapatuloy kami upang makuha at makuha:

Ang paggawa ng isang 0, mayroon kaming:

Mula sa kung saan maaari nating ibawas na ang halaga ng t para sa isang maging katumbas ng zero ay t = 1.

Pagkatapos, sinusuri ang function ng posisyon at ang bilis ng pagpapaandar sa t = 1, mayroon kami:

Aplikasyon

Malinaw na derivation

Ang matagumpay na derivatives ay maaari ring makuha sa pamamagitan ng implicit derivation.

Halimbawa

Ibinigay ang sumusunod na ellipse, hanapin ang "y":

Malinaw na nagbibigay ng tungkol sa x, mayroon kaming:

Pagkatapos ay tahasang muling nakukuha na may paggalang sa x ay nagbibigay sa amin:

Sa wakas, mayroon kami:

Mga kamag-anak na labis na kilabot

Ang isa pang paggamit na maibibigay namin sa mga derivatives ng pangalawang-order ay sa pagkalkula ng mga kamag-anak na labis na pag-andar ng isang function.

Ang criterion ng unang derivative para sa mga lokal na sobra ay nagsasabi sa amin na, kung mayroon tayong tuluy-tuloy na pag-andar f sa isang agwat (a, b) at mayroong isang c na kabilang sa nasabing agwat tulad ng f 'vanished sa c (iyon ay, iyon c ay isang kritikal na punto), maaaring mangyari ang isa sa tatlong mga kaso:

- Kung ang f '(x)> 0 para sa anumang x na kabilang sa (a, c) at f' (x) <0 para sa x na kabilang sa (c, b), kung gayon ang f (c) ay isang lokal na maximum.

- Kung ang f '(x) <0 para sa anumang x na kabilang sa (a, c) at f' (x)> 0 para sa x na kabilang sa (c, b), kung gayon ang f (c) ay isang lokal na minimum.

- Kung ang f '(x) ay may parehong pag-sign in (a, c) at sa (c, b), ipinapahiwatig nito na ang f (c) ay hindi isang lokal na labis.

Ang paggamit ng criterion ng pangalawang derivative malalaman natin kung ang isang kritikal na bilang ng isang function ay isang lokal na maximum o isang minimum, nang hindi kinakailangang makita kung ano ang tanda ng pag-andar ay nasa nabanggit na mga agwat.

Ang criterion ng pangalawang pag-drift ay nagsasabi sa amin na kung f '(c) = 0 at ang f' '(x) ay patuloy sa (a, b), mangyayari na kung f' '(c)> 0 pagkatapos f (c) ay isang lokal na minimum at kung ang f'´ (c) <0 pagkatapos f (c) ay isang lokal na maximum.

Kung f´´ (c) = 0, wala tayong magawang tapusin.

Halimbawa

Ibinigay ang function f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ² , hanapin ang kamag-anak na maxima at minima ng f gamit ang criterion ng pangalawang derivative.

Una nating kinakalkula ang f´ (x) at f´´ (x) at mayroon tayo:

f '(x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

Ngayon, f '(x) = 0 kung, at kung 4x (x + 2) (x - 1) = 0, at mangyayari ito kapag x = 0, x = 1 o x = - 2.

Upang matukoy kung ang mga kritikal na numero na nakuha ay magkaparehas ng labis, sapat na upang suriin sa f 'at sa gayon ay obserbahan ang pag-sign nito.

f '(0) = - 8, kaya't ang f (0) ay isang lokal na maximum.

f '(1) = 12, kaya't ang f (1) ay isang lokal na minimum.

f '' - - 2) = 24, kaya ang f (- 2) ay isang lokal na minimum.

Serye ni Taylor

Hayaan ang f ay isang function na tinukoy tulad ng sumusunod:

Ang pag-andar na ito ay may radius ng tagpo R> 0 at may mga derivatives ng lahat ng mga order sa (-R, R). Ang sunud-sunod na derivatives ng f ay nagbibigay sa amin:

Ang pagkuha ng x = 0, makakakuha tayo ng mga halaga ng c _n bilang isang function ng kanilang mga derivatives tulad ng sumusunod:

Kung kukuha tayo ng isang = 0 bilang pag-andar f (iyon ay, f ^ 0 = f), maaari nating muling isulat ang pagpapaandar tulad ng sumusunod:

Ngayon isaalang-alang natin ang pagpapaandar bilang isang serye ng mga kapangyarihan sa x = a:

Kung nagsasagawa kami ng isang pagtatasa na magkatulad sa nauna, nais namin na maisulat natin ang pagpapaandar bilang:

Ang mga seryeng ito ay kilala bilang serye ng Taylor mula f hanggang a. Kapag ang isang = 0 mayroon kaming partikular na kaso na tinatawag na serye ng Maclaurin. Ang ganitong uri ng serye ay mahusay na kahalagahan sa matematika lalo na sa pagsusuri ng numero, dahil sa mga salamat maaari naming tukuyin ang mga pag-andar sa mga computer tulad ng e ^x , sin (x) at kos (x).

Halimbawa

Kunin ang serye ng Maclaurin para sa e ^x .

Tandaan na kung f (x) = e ^x , pagkatapos ay f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x at f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, kaya ang seryeng Maclaurin nito ay:

Mga Sanggunian

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (nd). Pagkalkula 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Ang pagkalkula gamit ang analytic geometry. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Pagkalkula. Mexico: Edukasyon sa Pearson.
4. Saenz, J. (2005). Diferential calculus. Hypotenuse.
5. Saenz, J. (nd). Integral calculus. Hypotenuse.