PAGKAKAIBA NG MGA CUBE: FORMULA, EQUATION, HALIMBAWA, EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang pagkakaiba ng mga cube ay isang binomial algebraic expression ng form ng isang ³ - b ³ , kung saan ang mga termino a at b ay maaaring maging tunay na numero o algebraic expression ng iba't ibang uri. Ang isang halimbawa ng pagkakaiba ng mga cube ay: 8 - x ³ , dahil ang 8 ay maaaring isulat bilang 2 ³ .

Geometrically maaari nating isipin ang isang malaking kubo, na may isang bahagi, mula sa kung saan ang maliit na kubo na may side b ay binawi, tulad ng nakalarawan sa figure 1:

Larawan 1. Isang pagkakaiba-iba ng mga cube. Pinagmulan: F. Zapata.

Ang dami ng nagresultang pigura ay tiyak na pagkakaiba ng mga cube:

V = a ³ - b ³

Upang makahanap ng isang kahaliling expression, napansin na ang figure na ito ay maaaring mabulok sa tatlong prismo, tulad ng ipinakita sa ibaba:

Larawan 2. Ang pagkakaiba ng mga cube (kaliwa ng pagkakapantay-pantay) ay katumbas ng kabuuan ng bahagyang dami (kanan). Pinagmulan: F. Zapata.

Ang isang prisma ay may dami na ibinigay ng produkto ng tatlong sukat nito: lapad x taas x lalim. Sa ganitong paraan, ang nagresultang dami ay:

V = a ³ - b ³ = a ² .b + b ³ + ab ²

Karaniwan sa kanan ang Factor b. Bukod dito, sa figure na ipinakita sa itaas, partikular na totoo na:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Samakatuwid masasabi na: b = a - b. Kaya:

Ang ganitong paraan ng pagpapahayag ng pagkakaiba-iba ng mga cube ay patunayan na maging kapaki-pakinabang sa maraming mga application at sana makuha sa parehong paraan, kahit na ang gilid ng nawawalang kubo sa sulok ay naiiba sa b = a / 2.

Tandaan na ang pangalawang panaklong ay malapit na kahawig ng mga kilalang produkto ng parisukat ng kabuuan, ngunit ang cross term ay hindi pinarami ng 2. Ang mambabasa ay maaaring mapalawak ang kanang panig upang mapatunayan na ang isang ³ - b ³ ay talagang nakuha .

Mga halimbawa

Mayroong maraming mga pagkakaiba-iba ng mga cube:

1 - m ⁶

isang ⁶ b ³ - 8z ¹² at ⁶

(1/125) .x ⁶ - 27.y ⁹

I-analice natin ang bawat isa sa kanila. Sa unang halimbawa, ang 1 ay maaaring isulat bilang 1 = 1 ³ at ang term na m ⁶ ay nagiging: (m ² ) ³ . Ang parehong mga term ay perpektong cubes, samakatuwid ang kanilang pagkakaiba ay:

1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ³

Sa pangalawang halimbawa ang mga term ay muling isinulat:

a ⁶ b ³ = (a ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴ ) ³ (y ² ) ³ = (2z ⁴ y ² ) ³

Ang pagkakaiba ng mga cubes na ito ay: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³ .

Sa wakas, ang maliit na bahagi (1/125) ay (1/5 ³ ), x ⁶ = (x ² ) ³ , 27 = 3 ^3, at y ⁹ = (y ³ ) ³ . Pagsusulat ng lahat ng ito sa orihinal na expression, makakakuha ka:

(1/125) .x ⁶ - 27y ⁹ = ³ - (3y ³ ) ³

Ang paggawa ng pagkakaiba-iba ng mga cube

Ang pagsasama ng pagkakaiba-iba ng mga cube ay nagpapagaan sa maraming mga operasyon ng algebra. Upang gawin ito, gamitin lamang ang pormula na ibabawas sa itaas:

Larawan 3. Factorization ng pagkakaiba-iba ng mga cube at pagpapahayag ng isang pambihirang taguri. Pinagmulan: F. Zapata.

Ngayon, ang pamamaraan upang ilapat ang pormula na ito ay binubuo ng tatlong mga hakbang:

- Sa unang lugar ang kubo root ng bawat isa sa mga tuntunin ng pagkakaiba ay nakuha.

- Pagkatapos ang binomial at ang trinomial na lumilitaw sa kanang bahagi ng pormula ay itinayo.

- Sa wakas, ang binomial at ang trinomial ay pinalitan upang makuha ang pangwakas na kadahilanan.

Isalarawan natin ang paggamit ng mga hakbang na ito sa bawat isa sa mga halimbawa ng pagkakaiba sa kubo na iminungkahi sa itaas at sa gayon makuha ang katumbas nito.

Halimbawa 1

Salik sa pagpapahayag ng 1 - m ^{6 na} sumusunod sa mga hakbang na inilarawan. Nagsisimula kami sa pamamagitan ng pagsulat muli ng ekspresyon bilang 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ³ upang kunin ang kani-kanilang mga ugat ng kubo ng bawat termino:

Susunod, ang binomial at ang trinomial ay itinayo:

isang = 1

b = m ²

Kaya:

a - b = 1 - m ²

(isang ² + ab + b ² ) = 1 ² + 1.m ² + (m ² ) ² = 1 + m ² + m ⁴

Sa wakas, ito ay nahalili sa formula ng isang ³ - b ³ = (ab) (isang ² + ab + b ² ):

1 - m ⁶ = (1 - m ² ) (1 + m ² + m ⁴ )

Halimbawa 2

Factorize:

isang ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (isang ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³

Dahil ang mga ito ay perpektong mga cube, ang mga ugat ng kubo ay kaagad: isang ² b at 2z ⁴ at ² , kaya sumusunod ito na:

- Binomial: isang ² b - 2z ⁴ at ²

- Trinomial: (isang ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (isang ² b + 2z ⁴ y ² ) ²

At ngayon ang ninanais na factorization ay itinayo:

isang ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (isang ² b - 2z ⁴ y ² ). =

= (isang ² b - 2z ⁴ y ² ).

Sa prinsipyo, handa ang factoring, ngunit madalas na kinakailangan upang gawing simple ang bawat term. Pagkatapos ang kahanga-hangang produkto -Mga tanong ng isang kabuuan- na lumilitaw sa dulo ay binuo at pagkatapos ay tulad ng mga term ay idinagdag. Naaalala na ang parisukat ng isang kabuuan ay:

Ang kilalang produkto sa kanan ay binuo tulad nito:

(isang ² b + 2z ⁴ at ² ) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴ at ² + 4z ⁸ at ⁴

Pagsusulat ng pagpapalawak na nakuha sa factorization ng pagkakaiba ng mga cube:

isang ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (isang ² b - 2z ⁴ y ² ). =

Sa wakas, ang pagpangkat tulad ng mga termino at pagpapatotoo sa mga numero ng koepisyent, na kung saan lahat, nakukuha namin:

(isang ² b - 2z ⁴ y ² ). = 2 (isang ² b - 2z ⁴ y ² ).

Halimbawa 3

Ang Factoring (1/125) x ⁶ - 27y ⁹ ay mas madali kaysa sa nakaraang kaso. Una ang mga katumbas ng a at ng b ay nakilala:

isang = (1/5) x ²

b = 3y ³

Pagkatapos sila ay direktang nahalili sa formula:

(1/125) .x ⁶ - 27y ⁹ =.

Nalutas ang ehersisyo

Ang pagkakaiba ng mga cube ay, tulad ng sinabi namin, isang iba't ibang mga aplikasyon sa Algebra. Tingnan natin ang ilan:

Ehersisyo 1

Malutas ang mga sumusunod na equation:

a) x ⁵ - 125 x ² = 0

b) 64 - 729 x ³ = 0

Solusyon sa

Una ang equation ay nakatiyak sa ganitong paraan:

x ² (x ³ - 125) = 0

Dahil ang 125 ay isang perpektong kubo, ang mga panaklong ay isinulat bilang pagkakaiba sa mga cube:

x ² . (x ³ - 5 ³ ) = 0

Ang unang solusyon ay x = 0, ngunit marami kaming makahanap kung gumawa kami ng x ³ - 5 ³ = 0, kung gayon:

x ³ = 5 ³ → x = 5

Solusyon b

Ang kaliwang bahagi ng ekwasyon ay muling isinulat bilang 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³ . Kaya:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Dahil ang exponent ay pareho:

9x = 4 → x = 9/4

Mag-ehersisyo 2

Salik sa expression:

(x + y) ³ - (x - y) ³

Solusyon

Ang expression na ito ay isang pagkakaiba-iba ng mga cube, kung sa pormula ng factoring napansin natin na:

isang = x + y

b = x- y

Pagkatapos ang binomial ay unang itinayo:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

At ngayon ang trinomial:

isang ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

Ang mga kilalang produkto ay binuo:

Susunod kailangan mong palitan at bawasan tulad ng mga termino:

isang ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

Mga resulta ng pagsasaayos sa:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2y. (3x ² + y ² )

Mga Sanggunian

1. Baldor, A. 1974. Algebra. Editoryal na Kultura ng Venezuela SA
2. CK-12 Foundation. Kabuuan at pagkakaiba ng mga cube. Nabawi mula sa: ck12.org.
3. Khan Academy. Pagsasama ng mga pagkakaiba-iba ng mga cube. Nabawi mula sa: es.khanacademy.org.
4. Masaya Advanced ang matematika. Pagkakaiba ng dalawang cubes. Nabawi mula sa: mathsisfun.com
5. UNAM. Ang paggawa ng pagkakaiba-iba ng mga cube. Nabawi mula sa: dcb.fi-c.unam.mx.