- Pormula
- Ang distansya ng Euclidean sa dalawang sukat
- Non-Euclidean na ibabaw
- Ang distansya ng Euclidean sa n sukat
- Paano makalkula ang distansya ng Euclidean
- Halimbawa
- Mga Sanggunian
Ang distansya ng Euclidean ay isang positibong numero na nagpapahiwatig ng paghihiwalay sa pagitan ng dalawang puntos sa isang puwang kung saan ang mga axioms at theorems ng Euclid's geometry.
Ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos A at B sa isang puwang ng Euclidean ay ang haba ng vector AB na kabilang sa tanging linya na dumadaan sa mga puntong ito.
Larawan 1. Ang isang dimensional na puwang ng Euclidean na nabuo ng linya (OX). Maraming mga puntos ang ipinapakita sa nasabing puwang, ang kanilang mga coordinate at distansya. (Inihanda ni Ricardo Pérez).
Ang puwang na nakikita ng tao at kung saan kami lilipat ay isang three-dimensional (3-D) na puwang, kung saan ang mga axioms at theorems ng Euclid's geometry. Ang mga two-dimensional subspaces (eroplano) at one-dimensional subspaces (linya) ay nakapaloob sa puwang na ito.
Ang mga puwang ng Euclidean ay maaaring isang dimensional (1-D), two-dimensional (2-D), three-dimensional (3-D), o n-dimensional (nD).
Ang mga puntos sa one-dimensional space X ay ang mga kabilang sa oriented line (OX), ang direksyon mula O hanggang X ay ang positibong direksyon. Upang hanapin ang mga puntos sa linyang ito, ginagamit ang sistemang Cartesian, na binubuo ng pagtatalaga ng isang numero sa bawat punto ng linya.
Pormula
Ang distansya ng Euclidean d (A, B) sa pagitan ng mga puntos A at B, na matatagpuan sa isang linya, ay tinukoy bilang parisukat na ugat ng parisukat ng mga pagkakaiba-iba sa kanilang mga X coordinates:
d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)
Ang kahulugan na ito ay ginagarantiyahan na: ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos ay palaging isang positibong dami. At na ang distansya sa pagitan ng A at B ay pantay sa distansya sa pagitan ng B at A.
Ipinapakita ng Figure 1 ang one-dimensional na puwang ng Euclidean na nabuo ng linya (OX) at ilang mga puntos sa nasabing linya. Ang bawat punto ay may isang coordinate:
Ang Point A ay may coordinate XA = 2.5, point B coordinate XB = 4 at point C coordinate XC = -2.5
d (A, B) = √ ((4 - 2.5) 2) = 1.5
d (B, A) = √ ((2.5 - 4) 2) = 1.5
d (A, C) = √ ((- 2.5 - 2.5) 2) = 5.0
Ang distansya ng Euclidean sa dalawang sukat
Ang dalawang puwang ng Euclidean ay isang eroplano. Ang mga punto ng isang eroplano ng Euclidean ay tinutupad ang mga axioms ng Euclidean geometry, halimbawa:
- Ang isang solong linya ay dumaan sa dalawang puntos.
- Ang tatlong puntos sa eroplano ay bumubuo ng isang tatsulok na ang mga panloob na anggulo ay palaging magdagdag ng hanggang sa 180 º.
- Sa isang tamang tatsulok, ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti nito.
Sa dalawang sukat, ang isang punto ay may mga coordinate X at Y.
Halimbawa isang punto P ay mayroong mga coordinate (XP, YP) at isang point Q coordinates (XQ, YQ).
Ang distansya ng Euclidean sa pagitan ng point P at Q ay tinukoy kasama ang sumusunod na pormula:
d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)
Dapat pansinin na ang pormula na ito ay katumbas ng teyema ng Pythagorean, tulad ng ipinapakita sa Figure 2.
Larawan 2. Ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos na P at Q sa eroplano ay tumutupad sa teorema ng Pythagorean. (Inihanda ni Ricardo Pérez).
Non-Euclidean na ibabaw
Hindi lahat ng mga puwang ng two-dimensional ay umaayon sa geometry ng Euclidean. Ang ibabaw ng isang globo ay isang two-dimensional space.
Ang mga anggulo ng isang tatsulok sa isang spherical na ibabaw ay hindi nagdaragdag ng hanggang sa 180 º at kasama nito ang teorema ng Pythagorean ay hindi natutupad, samakatuwid ang isang spherical na ibabaw ay hindi natutupad ang mga axioms ng Euclid.
Ang distansya ng Euclidean sa n sukat
Ang konsepto ng mga coordinate ay maaaring mapalawak sa mas malaking sukat:
- Sa 2-D point P ay mayroong mga coordinate (XP, YP)
- Sa 3-D ang isang punto Q ay may mga coordinate (XQ, YQ, ZQ)
- Sa 4-D ang point R ay magkakaroon ng mga coordinate (XR, YR, ZR, WR)
- Sa isang punto ng P ay magkakaroon ng mga coordinate (P1, P2, P3,… .., Pn)
Ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos na P at Q ng isang n-dimensional na puwang ng Euclidean ay kinakalkula gamit ang sumusunod na pormula:
d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …… .. + (Qn - Pn) ^ 2)
Ang lokus ng lahat ng mga point Q sa isang n-dimensional na Euclidean space equidistant mula sa isa pang nakapirming point P (sa gitna) ay bumubuo ng isang n-dimensional hypersphere.
Paano makalkula ang distansya ng Euclidean
Ang sumusunod ay nagpapakita kung paano kinakalkula ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos na matatagpuan sa Euclidean three-dimensional space.
Ipagpalagay na point A ng mga coordinate ng Cartesian x, y, z na ibinigay ng A :( 2, 3, 1) at point B ng mga coordinate B :( -3, 2, 2).
Nais naming matukoy ang distansya sa pagitan ng mga puntong ito, kung saan ginagamit ang pangkalahatang relasyon:
d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )
d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5,196
Halimbawa
Mayroong dalawang puntos na P at Q. Ang puntong P ng mga coordinate ng Cartesian x, y, z na ibinigay ng P :( 2, 3, 1) at ang point Q ng mga coordinate Q :( -3, 2, 1).
Hiniling na hanapin ang mga coordinate ng midpoint M ng segment na nagkokonekta sa dalawang puntos.
Ang hindi kilalang point M ay ipinapalagay na magkaroon ng mga coordinate (X, Y, Z).
Yamang ang M ang kalagitnaan ng, dapat itong totoo na d (P, M) = d (Q, M), kaya d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 ay dapat ding maging totoo:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2
Tulad ng sa kasong ito, ang ikatlong termino ay pantay sa parehong mga miyembro, ang nakaraang expression ay nagpapadali sa:
(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2
Mayroon kaming isang equation na may dalawang hindi kilalang X at Y. Ang isa pang equation ay kinakailangan upang malutas ang problema.
Ang Point M ay kabilang sa linya na dumadaan sa mga puntos na P at Q, na maaari nating kalkulahin tulad ng sumusunod:
Una naming nakita ang director ng vector PQ ng linya: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.
Pagkatapos PM = OP + isang PQ , kung saan ang OP ang posisyon vector ng point P at isang parameter na kabilang sa mga tunay na numero.
Ang equation sa itaas ay kilala bilang ang equation ng vector ng linya, na sa mga coordinate ng Cartesian ay kinukuha ang sumusunod na form:
<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>
Paghahambing ng kaukulang mga sangkap na mayroon kami:
X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3 -a; Z - 1 = 0
Iyon ay, X = 4 - 5a, Y = 6 - a, sa wakas Z = 1.
Ito ay nahalili sa ekspresyong quadratic na nauugnay sa X sa Y:
(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2
Ito ay pinasimple:
(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2
Ngayon ay magbubukas:
4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a
Ito ay pinasimple, kinansela tulad ng mga term sa parehong mga kasapi:
4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a
Ang parameter ng isang na-clear:
52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52 na nagreresulta sa isang = 1.
Iyon ay, X = 4 - 5, Y = 6 - 1, sa wakas Z = 1.
Sa wakas nakuha namin ang mga coordinate ng Cartesian ng midpoint M ng segment:
M: (-1, 5, 1).
Mga Sanggunian
- Lehmann C. (1972) Analytical Geometry. UTEHA.
- Superprof. Distansya sa pagitan ng dalawang puntos. Nabawi mula sa: superprof.es
- UNAM. Distansya sa pagitan ng mga magkakaibang sublinear manifold. Nabawi mula sa: prometeo.matem.unam.mx/
- wikipedia. Ang layo ng Euclidean Nabawi mula sa: es.wikipedia.com
- wikipedia. Luwang ng Euclidean. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com