MGA DISTRIBUSYON NG POSIBILIDAD NG DISCRETE: MGA KATANGIAN, EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga pamamahagi ng discrete na probabilidad ay isang function na nagtatalaga sa bawat elemento ng X (S) = {x1, x2, …, xi, …}, kung saan ang X ay isang discrete random variable na ibinigay at ang S ay ang sample na puwang, ang posibilidad na sinabi kaganapan nangyayari. Ang pag-andar na ito ng X (S) na tinukoy bilang f (xi) = P (X = xi) ay kung minsan ay tinatawag na posibilidad ng pag-andar ng posibilidad.

Ang masa ng mga probabilidad na ito ay pangkalahatang kinakatawan sa form ng talahanayan. Dahil ang X ay isang discrete random variable, ang X (S) ay may isang hangganan na bilang ng mga kaganapan o hindi mabilang na kawalang-hanggan. Kabilang sa mga pinaka-karaniwang pagpapamahagi ng diskriminasyon sa diskriminasyon mayroon kaming pantay na pamamahagi, ang pamamahagi ng binomial, at pamamahagi ng Poisson.

katangian

Ang function ng pagbabahagi ng posibilidad ay dapat matugunan ang mga sumusunod na kondisyon:

Bukod dito, kung ang X ay tumatagal lamang ng isang hangganan na bilang ng mga halaga (halimbawa x1, x2, …, xn), pagkatapos ay p (xi) = 0 kung i> ny, samakatuwid, ang walang katapusang serye ng kondisyon b ay nagiging isang may hangganang serye.

Tinutupad din ng pagpapaandar na ito ang mga sumusunod na katangian:

Hayaan ang B ay isang kaganapan na nauugnay sa random variable X. Nangangahulugan ito na ang B ay nilalaman sa X (S). Partikular, ipagpalagay na ang B = {xi1, xi2, …}. Kaya:

Sa madaling salita, ang posibilidad ng isang kaganapan B ay katumbas ng kabuuan ng mga posibilidad ng mga indibidwal na kinalabasan na nauugnay sa B.

Mula dito maaari nating tapusin na kung ang isang <b, ang mga kaganapan (X ≤ a) at (a <X ≤ b) ay magkatulad na eksklusibo at, bukod dito, ang kanilang unyon ay ang kaganapan (X ≤ b), kaya mayroon tayong:

Mga Uri

Unipormasyong pamamahagi sa mga n puntos

Sinasabing ang isang random variable X ay sumusunod sa isang pamamahagi na nailalarawan sa pamamagitan ng pagiging pare-pareho sa n puntos kung ang bawat halaga ay itinalaga ng parehong posibilidad. Ang posibilidad ng mass function na ito ay:

Ipagpalagay na mayroon kaming isang eksperimento na may dalawang posibleng mga kinalabasan, maaari itong ihulog ng isang barya na ang mga posibleng kinalabasan ay mga ulo o buntot, o ang pagpili ng isang integer na ang resulta ay maaaring maging kahit o isang kakatwang numero; ang ganitong uri ng eksperimento ay kilala bilang mga pagsubok sa Bernoulli.

Sa pangkalahatan, ang dalawang posibleng kinalabasan ay tinatawag na tagumpay at kabiguan, kung saan ang p ay ang posibilidad ng tagumpay at ang 1-p ay ang posibilidad ng pagkabigo. Matutukoy namin ang posibilidad ng mga tagumpay ng x sa mga pagsubok sa Bernoulli na independyente sa bawat isa sa mga sumusunod na pamamahagi.

Pagbabahagi ng binomial

Ito ay ang pagpapaandar na kumakatawan sa posibilidad ng pagkuha ng mga tagumpay sa x sa independiyenteng pagsusuri sa Bernoulli, na ang posibilidad ng tagumpay ay p. Ang posibilidad ng mass function na ito ay:

Ang sumusunod na graph ay kumakatawan sa pag-andar ng posibilidad ng masa para sa iba't ibang mga halaga ng mga parameter ng pamamahagi ng binomial.

Ang sumusunod na pamamahagi ay may utang sa pangalan nito sa Pranses na matematiko na si Simeon Poisson (1781-1840), na nakuha ito bilang limitasyon ng pamamahagi ng binomial.

Pamamahagi ng Poisson

Ang isang random variable X ay sinasabing mayroong pamamahagi ng Poisson ng parameter λ kapag maaari nitong kunin ang mga positibong halaga ng integer na 0,1,2,3, … kasama ang sumusunod na posibilidad:

Sa expression na ito λ ay ang average na bilang na nauugnay sa mga naganap sa kaganapan para sa bawat yunit ng oras, at ang x ay ang bilang ng mga beses na naganap ang kaganapan.

Ang posibilidad ng mass function na ito ay:

Narito ang isang graph na kumakatawan sa pag-andar ng posibilidad ng masa para sa iba't ibang mga halaga ng mga parameter ng pamamahagi ng Poisson.

Tandaan na, hangga't ang bilang ng mga tagumpay ay mababa at ang bilang ng mga pagsubok na isinagawa sa isang pamamahagi ng binomial ay mataas, maaari naming palaging tinatayang ang mga pamamahagi na ito, dahil ang pamamahagi ng Poisson ay ang limitasyon ng pamamahagi ng binomial.

Ang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng dalawang pamamahagi na ito ay, habang ang binomial ay nakasalalay sa dalawang mga parameter, lalo na n at p, ang Poisson ay nakasalalay lamang sa λ, na kung minsan ay tinatawag na intensity ng pamamahagi.

Sa ngayon ay pinag-uusapan lamang natin ang tungkol sa mga pamamahagi ng posibilidad para sa mga kaso kung saan ang iba't ibang mga eksperimento ay independiyenteng sa bawat isa; iyon ay, kapag ang resulta ng isa ay hindi apektado ng iba pang mga resulta.

Kapag nangyayari ang kaso ng pagkakaroon ng mga eksperimento na hindi independiyenteng, ang pamamahagi ng hypergeometric ay lubos na kapaki-pakinabang.

Pamamahagi ng Hygeetometric

Hayaan ang N na ang kabuuang bilang ng mga bagay ng isang hangganan na hanay, kung saan maaari nating makilala ang k ng mga ito sa ilang paraan, kaya bumubuo ng isang subset K, na ang pandagdag ay nabuo ng natitirang mga elemento ng Nk.

Kung sapalarang pipiliin natin ang n object, ang random variable X na kumakatawan sa bilang ng mga bagay na kabilang sa K sa sinabi na pagpipilian ay may isang pamamahagi ng hypergeometric ng mga parameter N, n at k. Ang posibilidad ng mass function na ito ay:

Ang sumusunod na graph ay kumakatawan sa pag-andar ng posibilidad ng masa para sa iba't ibang mga halaga ng mga parameter ng pamamahagi ng hypergeometric.

Malutas na ehersisyo

Unang ehersisyo

Ipagpalagay na ang posibilidad na ang isang radio tube (inilagay sa isang tiyak na uri ng kagamitan) ay magpapatakbo ng higit sa 500 na oras ay 0.2. Kung ang 20 tubes ay nasubok, ano ang posibilidad na eksaktong k sa mga ito ay tatakbo ng higit sa 500 oras, k = 0, 1,2, …, 20?

Solusyon

Kung ang X ay ang bilang ng mga tubo na gumagana nang higit sa 500 na oras, ipapalagay namin na ang X ay mayroong pamamahagi ng binomial. Kaya

At kaya:

Para sa k≥11, ang mga probabilidad ay mas mababa sa 0.001

Sa gayon makikita natin kung paano ang posibilidad na ang k ng mga gawaing ito nang higit sa 500 na oras ay nagdaragdag, hanggang sa maabot nito ang maximum na halaga nito (na may k = 4) at pagkatapos ay nagsisimula nang bumaba.

Pangalawang ehersisyo

Ang isang barya ay inihagis ng 6 na beses. Kapag ang resulta ay mahal, sasabihin namin na ito ay isang tagumpay. Ano ang posibilidad na ang dalawang ulo ay lalabas nang eksakto?

Solusyon

Para sa kasong ito mayroon kaming n = 6 at pareho ang posibilidad ng tagumpay at kabiguan ay p = q = 1/2

Samakatuwid, ang posibilidad na ibigay ang dalawang ulo (iyon ay, k = 2)

Pangatlong ehersisyo

Ano ang posibilidad ng paghahanap ng hindi bababa sa apat na ulo?

Solusyon

Para sa kasong ito mayroon kaming k = 4, 5 o 6

Pangatlong ehersisyo

Ipagpalagay na ang 2% ng mga item na ginawa sa isang pabrika ay may depekto. Hanapin ang posibilidad na P na mayroong tatlong mga may sira na item sa isang sample ng 100 na mga item.

Solusyon

Para sa kasong ito maaari naming ilapat ang pamamahagi ng binomial para sa n = 100 at p = 0.02 pagkuha bilang isang resulta:

Gayunpaman, dahil ang maliit ay p, ginagamit namin ang approxissation ng Poisson na may λ = np = 2. Kaya,

Mga Sanggunian

1. Kai Lai Chung. Mga Teoryang Kakayahang Pang-Elemento sa Mga Proseso ng Stochastic. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosenado. Discrete Matematika at ang mga Aplikasyon nito. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Mga Aplikasyon sa Posible at Statistics. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Malutas ang mga problema ng Discrete Mathematics. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Mga Suliranin sa Teorya at Posible. McGRAW-HILL.