MGA EQUATION NG POLYNOMIAL (NA MAY MGA EHERSISYO NA NALUTAS) - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga equation ng polynomial ay isang pahayag na nagpapataas ng pagkakapantay-pantay ng dalawang pagpapahayag o mga miyembro, kung saan ang hindi bababa sa isa sa mga term na bumubuo sa bawat panig ng pagkakapantay-pantay ay mga polynomial P (x). Ang mga equation na ito ay pinangalanan ayon sa antas ng kanilang mga variable.

Sa pangkalahatan, ang isang equation ay isang pahayag na nagtatatag ng pagkakapantay-pantay ng dalawang expression, kung saan sa hindi bababa sa isa sa mga ito ay may mga hindi kilalang dami, na kung saan ay tinatawag na variable o hindi kilala. Bagaman mayroong maraming mga uri ng mga equation, sa pangkalahatan sila ay inuri sa dalawang uri: algebraic at transendendent.

Ang mga equation ng polynomial ay naglalaman lamang ng mga expression ng algebra, na maaaring magkaroon ng isa o higit pang mga hindi kilalang kasangkot sa equation. Ayon sa exponent (degree) na mayroon sila, maaari silang maiuri bilang: unang degree (linear), pangalawang degree (quadratic), third degree (kubiko), ika-apat na degree (quartic), degree na mas malaki kaysa o katumbas sa lima at hindi makatwiran.

katangian

Ang mga equation ng polynomial ay mga expression na nabuo ng isang pagkakapantay-pantay sa pagitan ng dalawang polynomial; iyon ay, sa pamamagitan ng hangganan na mga kabuuan ng mga pagpaparami sa pagitan ng mga halaga na hindi alam (variable) at mga nakapirming numero (coefficients), kung saan ang mga variable ay maaaring magkaroon ng mga exponents, at ang kanilang halaga ay maaaring maging positibong integer, kabilang ang zero.

Ang mga exponents ay tumutukoy sa antas o uri ng equation. Ang termino sa expression na may pinakamataas na exponent ay kumakatawan sa ganap na antas ng polynomial.

Ang mga equation ng polynomial ay kilala rin bilang mga equation ng algebra, ang kanilang mga koepisyentidad ay maaaring maging tunay o kumplikadong mga numero at ang mga variable ay hindi alam na mga numero na kinakatawan ng isang liham, tulad ng: "x".

Kung ang pagpapalit ng isang halaga para sa variable na "x" sa P (x) ang resulta ay katumbas ng zero (0), kung gayon ang halagang iyon ay sinasabing upang masiyahan ang equation (ito ay isang solusyon), at ito ay karaniwang tinatawag na ugat ng polynomial.

Kapag nabuo ang isang equation ng polynomial na nais mong hanapin ang lahat ng mga ugat o solusyon.

Mga Uri

Mayroong ilang mga uri ng mga equation ng polynomial, na kung saan ay naiiba ayon sa bilang ng mga variable, at ayon din sa antas ng kanilang exponent.

Kaya, ang mga equation ng polynomial-kung saan ang unang termino nito ay isang polynomial na may isang hindi kilalang, isinasaalang-alang na ang degree nito ay maaaring maging anumang natural na numero (n) at ang pangalawang termino ay zero-, maaaring maipahayag bilang mga sumusunod:

isang _{n *} x ⁿ + isang _{n-1 *} x ^n-1 + … + isang _{1 *} x ¹ + isang _{0 *} x ₀ = 0

Kung saan:

- a _n, isang _n-1 at ₀ ay tunay na koepisyent (numero).

- isang _n ay naiiba sa zero.

- Ang exponent n ay isang positibong integer na kumakatawan sa antas ng equation.

- x ang variable o hindi kilalang mahahanap.

Ang ganap o mas mataas na antas ng isang paghahambing sa polynomial ay ang exponent na may pinakamataas na halaga sa lahat ng mga bumubuo sa polynomial; sa gayon, ang mga equation ay inuri bilang:

Unang baitang

Ang unang degree na mga equation ng polynomial, na kilala rin bilang linear equation, ay ang mga kung saan ang degree (ang pinakadakilang exponent) ay katumbas ng 1, ang polynomial ay pormula P (x) = 0; y ay binubuo ng isang linear term at isang independiyenteng. Ito ay nakasulat tulad ng sumusunod:

ax + b = 0.

Kung saan:

- a at b ay tunay na mga numero at isang ≠ 0.

- palakol ay ang linear term.

- b ay ang independiyenteng term.

Halimbawa, ang equation 13x - 18 = 4x.

Upang malutas ang mga magkatulad na mga equation, ang lahat ng mga term na naglalaman ng hindi kilalang x ay dapat na maipasa sa isang tabi ng pagkakapantay-pantay, at ang mga wala nito ay lumipat sila sa kabilang panig, upang malutas ito at makakuha ng isang solusyon:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Kaya, ang ibinigay na equation ay may isang solusyon o ugat, na kung saan ay x = 2.

Pangalawang baitang

Ang mga equation ng pangalawang degree na polynomial, na kilala rin bilang quadratic equation, ay ang mga kung saan ang degree (ang pinakamalaking exponent) ay katumbas ng 2, ang polynomial ay pormula P (x) = 0, at binubuo ng isang quadratic term , isang linear at isang independiyenteng. Ito ay ipinahayag tulad ng sumusunod:

palakol ² + bx + c = 0.

Kung saan:

- a, b at c ay tunay na mga numero at isang ≠ 0.

- ang ax ² ay ang salitang quadratic, at ang "a" ay ang koepisyent ng term quadratic term.

- Ang bx ay ang linear term, at ang "b" ay ang koepisyent ng linear term.

- c ay ang independiyenteng term.

Solvent

Kadalasan, ang solusyon sa ganitong uri ng mga equation ay ibinibigay sa pamamagitan ng pag-clear ng x mula sa equation, at ito ay bilang mga sumusunod, na tinatawag na resolvent:

Doon, ang (b ² - 4ac) ay tinawag na discriminant ng equation at ang expression na ito ay tumutukoy sa bilang ng mga solusyon na maaaring makuha ng equation:

- Kung (b ² - 4ac) = 0, ang equation ay magkakaroon ng isang solong solusyon na doble; iyon ay, magkakaroon ito ng dalawang pantay na solusyon.

- Kung (b ² - 4ac)> 0, ang equation ay magkakaroon ng dalawang magkakaibang totoong solusyon.

- Kung (b ² - 4ac) <0, ang equation ay walang solusyon (magkakaroon ito ng dalawang magkakaibang kumplikadong solusyon).

Halimbawa, mayroon kaming equation 4x ² + 10x - 6 = 0, upang malutas ito, kilalanin muna ang mga termino a, b at c, at pagkatapos ay palitan ito sa pormula:

isang = 4

b = 10

c = -6.

Mayroong mga kaso kung saan ang mga equation ng polymomial na pangalawang degree ay hindi lahat ng tatlong mga termino, at sa gayon ay kung bakit sila ay nalutas nang iba:

- Sa kaso na ang mga equation ng quadratic ay walang linear term (iyon ay, b = 0), ang equation ay ipinahayag bilang ax ² + c = 0. Upang malutas ito, malutas para sa x ² at ilapat ang mga ugat ng parisukat sa bawat miyembro , naalala na ang dalawang posibleng mga palatandaan na maaaring hindi alam ng hindi alam ay:

palakol ² + c = 0.

x ² = - c ÷ a

Halimbawa, 5 x ² - 20 = 0.

5 x ² = 20

x ² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x ₁ = 2.

x ₂ = -2.

- Kung ang equation ng quadratic ay walang independyenteng termino (iyon ay, c = 0), ang equation ay ipinahayag bilang ax ² + bx = 0. Upang malutas ito, ang karaniwang kadahilanan ng hindi kilalang x sa unang miyembro ay dapat gawin; Dahil ang ekwasyon ay pantay sa zero, totoo na kahit isa sa mga kadahilanan ay magiging katumbas sa 0:

palakol ² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Kaya, kailangan mong:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Halimbawa: mayroon kaming equation 5x ² + 30x = 0. Una na ang kadahilanan namin:

5x ² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Dalawang kadahilanan ang nabuo na kung saan ay xy (5x + 30). Itinuturing na ang isa sa mga ito ay magiging katumbas ng zero at ang iba pa ay nalulutas:

x ₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x ₂ = -6.

Pinakamataas na grado

Ang mga equation ng polynomial na mas mataas na degree ay ang mga mula sa ikatlong degree pataas, na maaaring ipahayag o malutas sa pangkalahatang equation ng polynomial para sa anumang degree:

isang _{n *} x ⁿ + isang _{n-1 *} x ^n-1 + … + isang _{1 *} x ¹ + isang _{0 *} x ₀ = 0

Ginagamit ito dahil ang isang equation na may isang degree na mas malaki kaysa sa dalawa ay ang resulta ng factoring isang polynomial; iyon ay, ipinahayag bilang ang pagdami ng mga polynomial na degree ng isa o mas malaki, ngunit walang tunay na ugat.

Ang solusyon ng mga uri ng mga equation ay direkta, dahil ang pagpaparami ng dalawang mga kadahilanan ay magiging pantay sa zero kung ang alinman sa mga kadahilanan ay null (0); samakatuwid, ang bawat isa sa mga equation ng polynomial na natagpuan ay dapat malutas, na itinatakda ang bawat isa sa kanilang mga kadahilanan na katumbas ng zero.

Halimbawa, mayroon kaming ikatlong degree equation (kubiko) x ³ + x ² + 4x + 4 = 0. Upang malutas ito, ang mga sumusunod na hakbang ay dapat sundin:

- Ang mga term ay pinagsama-sama:

x ³ + x ² + 4x + 4 = 0

(x ³ + x ² ) + (4x + 4) = 0.

- Ang mga miyembro ay nabulok upang makuha ang karaniwang kadahilanan ng hindi kilalang:

x ² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x ² + 4) _* (x + 1) = 0.

- Sa ganitong paraan, nakuha ang dalawang kadahilanan, na dapat na katumbas ng zero:

(x ² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Makikita na ang kadahilanan (x ² + 4) = 0 ay hindi magkakaroon ng isang tunay na solusyon, habang ang kadahilanan (x + 1) = 0 ay. Kaya ang solusyon ay:

(x + 1) = 0

x = -1.

Malutas na ehersisyo

Malutas ang mga sumusunod na equation:

Unang ehersisyo

(2x ² + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0.

Solusyon

Sa kasong ito ang equation ay ipinahayag bilang ang pagdami ng mga polynomial; iyon ay, ito ay factored. Upang malutas ito, ang bawat kadahilanan ay dapat itakda katumbas ng zero:

- 2x ² + 5 = 0, wala itong solusyon.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Kaya, ang ibinigay na equation ay may dalawang solusyon: x = 3 at x = -1.

Pangalawang ehersisyo

x ⁴ - 36 = 0.

Solusyon

Ang isang polynomial ay ibinigay, na maaaring isulat muli bilang isang pagkakaiba-iba ng mga parisukat na dumating sa isang mas mabilis na solusyon. Kaya, ang equation ay:

(x ² + 6) _* (x ² - 6) = 0.

Upang mahanap ang solusyon ng mga equation, ang parehong mga kadahilanan ay itinakda pantay sa zero:

(x ² + 6) = 0, wala itong solusyon.

(x ² - 6) = 0

x ² = 6

x = ± √6.

Kaya, ang paunang pagkakapareho ay may dalawang solusyon:

x = √6.

x = - √6.

Mga Sanggunian

1. Andres, T. (2010). Matematika na Olympiad Tresure. Springer. New York.
2. Anghel, AR (2007). Elementong Algebra. Edukasyon sa Pearson ,.
3. Baer, ​​R. (2012). Linear Algebra at Projective Geometry. Courier Corporation.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultura.
5. Castaño, HF (2005). Matematika bago ang pagkalkula. Unibersidad ng Medellin.
6. Cristóbal Sánchez, MR (2000). Manwal ng Olimpikong Paghahanda sa Olimpiko. Jaume I. Unibersidad
7. Kreemly Pérez, ML (1984). Mas mataas na Algebra I.
8. Massara, NC-L. (labing siyam na siyamnapu't lima). Matematika 3.