ELLIPSOID: MGA KATANGIAN AT HALIMBAWA - ARTE - 2024

Ang ellipsoid ay isang ibabaw sa puwang na kabilang sa pangkat ng quadric na ibabaw at ang pangkalahatang equation ay pormularyo:

Ito ay katumbas ng three-dimensional na isang ellipse, na nailalarawan sa pamamagitan ng pagkakaroon ng elliptical at circular na mga bakas sa ilang mga espesyal na kaso. Ang mga bakas ay ang mga kurba na nakuha sa pamamagitan ng intersecting ang ellipsoid na may isang eroplano.

Larawan 1. Tatlong magkakaibang mga ellipsoid: sa tuktok ng isang globo kung saan ang tatlong semi-axes ay pantay, sa ilalim ng kaliwa ng isang spheroid, na may dalawang pantay na semi-axes at isang magkakaibang isa, at sa wakas sa kanang ibaba, isang triaxial spheroid, na may tatlong magkakaibang mga axes haba. Pinagmulan: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Bilang karagdagan sa ellipsoid, mayroong limang higit pang mga kuwadrante: isang-dahon at dalawang-dahon na hyperboloid, dalawang uri ng paraboloid (hyperbolic at elliptical) at ang elliptical kono. Ang mga bakas nito ay conical din.

Ang ellipsoid ay maaari ring ipahiwatig ng pamantayang equation sa mga coordinate ng Cartesian. Ang isang ellipsoid na nakasentro sa pinagmulan (0,0,0) at ipinahayag sa ganitong paraan, ay kahawig ng ellipse, ngunit may isang karagdagang termino:

Ang mga halaga ng a, b, at c ay tunay na mga numero na mas malaki sa 0 at kumakatawan sa tatlong semi-axes ng ellipsoid.

Mga katangian ng Ellipsoid

- Pamantayang pangwasto

Ang standard na equation sa Cartesian coordinates para sa ellipse na nakasentro sa punto (h, k, m) ay:

- Parametric equation ng ellipsoid

Sa mga spherical coordinates, ang ellipsoid ay maaaring inilarawan bilang mga sumusunod:

x = isang kasalanan θ. cos φ

y = b kasalanan θ. sen φ

z = c kos θ

Ang semi-axes ng ellipsoid ay nananatiling a, b at c, habang ang mga parameter ay ang mga anggulo θ at φ ng sumusunod na pigura:

Larawan 2. Ang sistema ng spherical coordinate. Ang ellipsoid ay maaaring ma-parameterize gamit ang ipinakita ang mga anggulo theta at phi bilang mga parameter. Pinagmulan: Wikimedia Commons. Andeggs / Pampublikong domain.

- Mga bakas ng ellipsoid

Ang pangkalahatang equation ng isang ibabaw sa kalawakan ay F (x, y, z) = 0 at ang mga bakas ng ibabaw ay ang mga curves:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

Sa kaso ng isang ellipsoid, ang mga naturang mga curve ay mga ellipses at kung minsan ay mga bilog.

- Dami

Ang dami V ng ellipsoid ay ibinibigay ng (4/3) π beses na produkto ng tatlong semi-axes:

V = (4/3) π. abc

Mga espesyal na kaso ng ellipsoid

-Ang isang ellipsoid ay nagiging isang globo kapag ang lahat ng mga semi-axes ay magkaparehong sukat: a = b = c ≠ 0. Ito ay makatuwiran, dahil ang ellipsoid ay tulad ng isang globo na naiiba na nakaunat sa bawat isa aksis.

-Ang spheroid ay isang ellipsoid kung saan ang dalawa sa mga semi-axes ay magkatulad at ang ikatlo ay magkakaiba, halimbawa maaari itong isang = b ≠ c.

Ang spheroid ay tinatawag ding ellipsoid ng rebolusyon, dahil maaari itong mabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng mga ellipses sa paligid ng isang axis.

Kung ang axis ng pag-ikot ay magkakasabay sa pangunahing axis, ang spheroid ay prolate, ngunit kung coincides ito sa menor de edad na axis, oblate ito:

Larawan 3. Ituro ang spheroid sa kaliwa at prolate spheroid sa kanan. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Ang sukatan ng pag-flatt ng spheroid (ellipticity) ay ibinibigay ng pagkakaiba-iba ng haba sa pagitan ng dalawang semi-axes, na ipinahayag sa fractional form, iyon ay, ito ang yunit ng pag-flattening, na ibinigay ng:

f = (a - b) / a

Sa equation na ito, isang kinatawan ang semi-major axis at b ang semi-minor axis, tandaan na ang ikatlong axis ay pantay sa isa sa mga ito para sa isang spheroid. Ang halaga ng f ay sa pagitan ng 0 at 1 at para sa isang spheroid kailangan itong maging mas malaki kaysa sa 0 (kung ito ay katumbas sa 0 magkakaroon lamang tayo ng isang globo).

Ang sanggunian ellipsoid

Ang mga planeta at ang mga bituin sa pangkalahatan, ay hindi perpektong perpektong spheres, dahil ang pag-ikot ng paggalaw sa paligid ng kanilang mga palakol ay bumabaluktot sa katawan sa mga poste at binulsa ito sa ekwador.

Iyon ang dahilan kung bakit ang Earth ay lumiliko na tulad ng isang oblate spheroid, kahit na hindi pinalaking tulad ng isa sa naunang pigura, at para sa bahagi nito ang higanteng gas na si Saturn ay ang pinakamataas na mga planeta sa solar system.

Kaya ang isang mas makatotohanang paraan upang kumatawan sa mga planeta ay upang ipalagay na sila ay tulad ng isang spheroid o ellipsoid ng rebolusyon, na ang semi-major axis ay ang equatorial radius at ang semi-minor axis ang polar radius.

Ang mga maingat na pagsukat na ginawa sa mundo ay posible upang maitaguyod ang sanggunian na ellipsoid ng Earth bilang ang pinaka-tumpak na paraan upang gumana ito sa matematika.

Ang mga bituin ay mayroon ding mga pag-ikot na paggalaw na nagbibigay sa kanila ng higit pa o mas kaunting mga hugis na pinahiran. Ang mabilis na bituin na Achernar, ang ikawalong pinakamaliwanag na bituin sa kalangitan ng gabi, sa timog na konstelasyon na si Eridanus ay napakaganda kung ihambing sa karamihan. Ito ay 144 na ilaw na taon mula sa amin.

Sa iba pang matinding, ilang taon na ang nakatagpo ng mga siyentipiko ang pinaka-spherical na bagay na natagpuan: ang bituin na Kepler 11145123, 5000 light years ang layo, dalawang beses ang laki ng aming Araw at isang pagkakaiba sa pagitan ng mga semi-axes na 3 km lamang. Tulad ng inaasahan, mas kumikot din ito.

Tulad ng para sa Daigdig, ito ay hindi isang perpektong spheroid alinman sa dahil sa masungit na ibabaw nito at mga lokal na pagkakaiba-iba sa grabidad. Para sa kadahilanang ito, mayroong higit sa isang sangguniang spheroid na magagamit at sa bawat site na pinaka naaangkop sa lokal na heograpiya.

Napakahalaga ng tulong ng mga satellite sa paglikha ng lalong tumpak na mga modelo ng hugis ng Earth, salamat sa kanila ito ay kilala, halimbawa, na ang timog na poste ay mas malapit sa ekwador kaysa sa north poste.

Larawan 4. Haumea, ang planong trans-Neptunian dwarf ay may hugis na ellipsoidal. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Halimbawa ng numero

Dahil sa pag-ikot ng Daigdig, ang isang puwersa ng sentripugal ay nabuo na nagbibigay sa hugis ng isang pahaba na ellipsoid, sa halip na isang globo. Ang equatorial radius ng Earth ay kilala na 3963 milya at ang polar radius ay 3942 milya.

Hanapin ang equation ng equatorial trace, na ng ellipsoid na ito at ang sukatan ng pag-flattening nito. Ihambing din ang pagkalastiko ng Saturn, kasama ang data na ibinigay sa ibaba:

-Saturn Equatorial Radius: 60,268 km

-Polar radius ng Saturn: 54,364 km

Solusyon

Kinakailangan ang isang coordinate system, na kung saan ay ipapalagay namin na nakasentro sa pinanggalingan (sentro ng Daigdig). Isasaalang-alang namin ang vertical z axis at ang bakas na tumutugma sa ekwador ay nakapatong sa xy eroplano, katumbas ng z = 0 eroplano.

Sa ekwador na eroplano ang semi-axes a at b ay pantay, samakatuwid ay isang = b = 3963 milya, habang c = 3942 milya. Ito ay isang espesyal na kaso: isang spheroid na nakasentro sa punto (0,0,0) tulad ng nabanggit sa itaas.

Ang equatorial trace ay isang bilog ng radius R = 3963 milya, na nakasentro sa pinanggalingan. Ito ay kinakalkula sa pamamagitan ng paggawa ng z = 0 sa karaniwang equation:

At ang pamantayang equation ng terrestrial ellipsoid ay:

f _Daigdig = (a - b) / a = (3963-3942) milya / 3963 milya = 0.0053

f _Saturn = (60268-54363) km / 60268 km = 0.0980

Tandaan na ang pagkalastiko f ay isang sukat na walang sukat.

Mga Sanggunian

1. ArcGIS para sa Desktop. Spheroids at spheres. Nabawi mula sa: desktop.arcgis.com.
2. BBC World. Ang misteryo ng pinaka spherical object na natuklasan sa Uniberso. Nabawi mula sa: bbc.com.
3. Larson, R. Calculus at Analytical Geometry. Ika-anim na edisyon. Dami 2. McGraw Hill.
4. Wikipedia. Ellipsoid. Nabawi mula sa: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Spheroid. Nabawi mula sa: en.wikipedia.org.