ENEAGON: MGA KATANGIAN, KUNG PAANO GUMAWA NG ISANG ENEAGON, MGA HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA

Ang isang enegon ay isang polygon na may siyam na panig at siyam na mga vertice, na maaaring o hindi maaaring maging regular. Ang pangalang eneágono ay nagmula sa Griyego at binubuo ng mga salitang Greek na ennea (siyam) at gonon (anggulo).

Ang isang alternatibong pangalan para sa siyam na panig na polygon ay nonagon, na nagmula sa salitang Latin na nonus (siyam) at gonon (vertex). Sa kabilang banda, kung ang mga panig o anggulo ng eneagon ay hindi pantay sa bawat isa, kung gayon mayroon kang isang hindi regular na eneagon. Kung, sa kabilang banda, ang lahat ng siyam na panig at siyam na anggulo ng eneagon ay pantay, kung gayon ito ay isang regular na eneagon.

Larawan 1. Regular eneagon at irregular eneagon. (Sariling pagsasaliksik)

Mga katangian ng eneagon

Para sa isang polygon na may n gilid ang kabuuan ng mga panloob na anggulo nito:

(n - 2) * 180º

Sa enegon ay magiging n = 9, kaya ang kabuuan ng mga panloob na anggulo nito ay:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

Sa anumang polygon, ang bilang ng mga diagonal ay:

D = n (n - 3) / 2 at sa kaso ng enegon, mula noong n = 9, mayroon tayong D = 27.

Regular na enegon

Sa regular na eneagon o nonagon ay mayroong siyam (9) panloob na anggulo ng pantay na panukala, samakatuwid ang bawat anggulo ay sumusukat sa isang-ikasiyam ng kabuuang kabuuan ng mga panloob na anggulo.

Ang sukat ng mga panloob na anggulo ng isang enegon ay pagkatapos ay 1260º / 9 = 140º.

Larawan 2. Apothem, radius, panig, anggulo, at mga vertice ng isang regular na eneagon. (Sariling pagsasaliksik)

Upang makuha ang formula para sa lugar ng isang regular na enegon na may panig d, ito ay maginhawa upang gumawa ng ilang mga pandiwang pantulong na konstruksyon, tulad ng ipinakita sa figure 2.

Ang sentro O ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagsubaybay sa mga bisectors ng dalawang katabing panig. Ang sentro O equidistant mula sa mga vertice.

Ang isang radius ng haba r ay ang segment mula sa sentro O hanggang sa isang vertex ng enegon. Ipinapakita ng Figure 2 ang radii OD at OE ng haba r.

Ang apothem ay ang segment na pupunta mula sa gitna hanggang sa kalagitnaan ng isang bahagi ng enegon. Halimbawa OJ ay isang apothem na ang haba ay a.

Ang lugar ng isang enegon na kilala ang panig at ang apothem

Isinasaalang-alang namin ang tatsulok na ODE sa figure 2. Ang lugar ng tatsulok na ito ay ang produkto ng base nito at ang taas na OJ na hinati ng 2:

ODE area = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

Dahil mayroong 9 tatsulok ng pantay na lugar sa enegon, napagpasyahan na ang lugar ng pareho ay:

Enegon area = (9/2) (d * a)

Lugar ng isang kilalang enegon sa gilid

Kung alam lamang ang haba d ng mga panig ng enegon, kinakailangan upang mahanap ang haba ng apothem upang mailapat ang pormula sa nakaraang seksyon.

Isinasaalang-alang namin ang tamang tatsulok na OJE sa J (tingnan ang figure 2). Kung ang ratio ng tangent trigonometric ay inilalapat, nakukuha namin:

tan (∡ OEJ) = OJ / EJ.

Ang anggulo ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, dahil ang EO ay ang bisector ng panloob na anggulo ng enegon.

Sa kabilang banda, ang OJ ang apotema ng haba a.

Pagkatapos, dahil ang J ang kalagitnaan ng ED, sinusunod nito na ang EJ = d / 2.

Pagsusulat ng mga nakaraang mga halaga sa nauugnay na relasyon na mayroon kami:

tan (70º) = a / (d / 2).

Ngayon nilinaw namin ang haba ng apothem:

isang = (d / 2) tan (70º).

Ang nakaraang resulta ay nahalili sa formula ng lugar upang makuha:

Lugar ng enegon = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) tan (70º)

Sa wakas, nakita namin ang pormula na nagbibigay-daan sa pagkuha ng lugar ng regular enegon kung tanging ang haba d ng mga panig nito ay kilala:

Lugar ng enegon = (9/4) d ² tan (70º) = 6.1818 d ²

Ang perimeter ng regular na enegon ay kilala ang tagiliran nito

Ang perimeter ng isang polygon ay ang kabuuan ng mga panig nito. Sa kaso ng enegon, dahil ang bawat isa sa bawat panig ay sumusukat sa haba d, ang perimeter nito ay magiging kabuuan ng siyam na beses d, iyon ay:

Perimeter = 9 d

Ang perimeter ng enegon ay kilala ang radius nito

Isinasaalang-alang ang tamang tatsulok na OJE sa J (tingnan ang figure 2), ang trigonometric cosine ratio ay inilalapat:

kos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Saan ito nakuha mula sa:

d = 2r cos (70º)

Pagsusulat ng resulta na ito, nakuha namin ang formula para sa perimeter bilang isang function ng radius ng enegon:

Perimeter = 9 d = 18 r cos (70º) = 6.1564 r

Paano gumawa ng isang regular na enegon

1- Upang makabuo ng isang regular na eneagon, na may isang namumuno at isang kumpas, magsimula mula sa circumference c na nagbubuklod sa eneagon. (tingnan ang figure 3)

2- Dalawang linya ng patayo ay iguguhit sa gitna O ng circumference. Pagkatapos ang mga interseksyon A at B ng isa sa mga linya ay minarkahan ng circumference.

3- Sa kumpas, nakasentro sa pangharang B at ang pagbubukas na katumbas ng radius BO, ang isang arko ay iginuhit na pumapasok sa orihinal na pag-ikot sa isang punto C.

Larawan 3. Mga hakbang upang makabuo ng isang regular na enegon. (Sariling pagsasaliksik)

4- Ang nakaraang hakbang ay paulit-ulit ngunit gumagawa ng isang sentro sa A at radius AO, ang isang arko ay iginuhit na pumipigil sa circumference c sa point E.

5- Sa pagbubukas ng AC at sentro sa A, ang isang arko ng circumference ay iguguhit. Katulad nito sa pagbubukas ng BE at center B isa pang arko ang iginuhit. Ang intersection ng dalawang arko na ito ay minarkahan bilang point G.

6- Ang pagsentro sa G at pagbubukas ng GA, ang isang arko ay iginuhit na pumapasok sa pangalawang axis (pahalang sa kasong ito) sa puntong H. Ang intersection ng pangalawang axis na may orihinal na circumference c ay minarkahan bilang I.

7- Ang haba ng segment IH ay katumbas ng haba d ng panig ng enegon.

8- Sa pagbubukas ng compass IH = d, ang mga arko ng center A radius AJ, center J radius AK, center K radius KL at center L radius LP ay sunud-sunod na iginuhit.

9- Katulad nito, simula sa A at mula sa kanang bahagi, ang mga arko ng radius IH = d ay iginuhit na mga marka ng M, N, C at Q sa orihinal na pag-iingat ng c.

10- Sa wakas ang mga segment ng AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ at sa wakas ay nakakuha ang PB.

Dapat pansinin na ang pamamaraan ng konstruksyon ay hindi ganap na eksaktong, dahil maaari itong mapatunayan na ang huling bahagi ng PB ay 0.7% na mas mahaba kaysa sa iba pang mga panig. Sa ngayon, walang kilalang pamamaraan ng konstruksiyon na may isang pinuno at kumpas na 100% tumpak.

Mga halimbawa

Narito ang ilang mga halimbawa ng nagtrabaho.

Halimbawa 1

Nais naming bumuo ng isang regular na enegon na ang mga panig ay sumusukat ng 2 cm. Ano ang radius ay dapat magkaroon ng circumference na nagbubuklod dito, upang sa pamamagitan ng paglalapat ng konstruksyon na inilarawan dati ang ninanais na resulta ay nakuha?

Sa isang nakaraang seksyon, ang pormula na may kaugnayan sa radius r ng bilog na bilog na may gilid d ng isang regular na enegon:

d = 2r cos (70º)

Paglutas para sa r mula sa nakaraang expression na mayroon kami:

r = d / (2 kos (70º)) = 1.4619 * d

Ang pagsulat ng halaga d = 2 cm sa nakaraang formula ay nagbibigay ng isang radius r na 2.92 cm.

Halimbawa 2

Ano ang lugar ng isang regular na enegon na may isang gilid na 2 cm?

Upang masagot ang tanong na ito, kailangan nating sumangguni sa pormula, na ipinakita nang una, na nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang lugar ng isang kilalang enegon sa haba ng bahagi nito: