KARANIWANG KADAHILANAN SA PAMAMAGITAN NG PAGPAPANGKAT NG MGA TERM: HALIMBAWA, PAGSASANAY - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang karaniwang kadahilanan sa pamamagitan ng pagpapangkat ng mga term ay isang pamamaraan ng algebraic na nagbibigay-daan sa iyo upang sumulat ng ilang mga expression ng algebraic sa anyo ng mga kadahilanan. Upang makamit ang layuning ito, dapat mo munang pangkatin ang ekspresyon nang maayos at obserbahan na ang bawat pangkat na nabuo ay, sa katunayan, isang karaniwang kadahilanan.

Ang paglalapat ng pamamaraan nang tama ay nangangailangan ng ilang kasanayan, ngunit sa anumang oras ay pinagkadalubhasaan mo ito. Tingnan muna natin ang isang halimbawang halimbawa na inilarawan nang hakbang. Pagkatapos ay maaaring mailapat ng mambabasa ang kanilang natutunan sa bawat isa sa mga pagsasanay na lilitaw sa ibang pagkakataon.

Larawan 1. Ang pagkuha ng isang karaniwang kadahilanan sa pamamagitan ng mga termino ng pag-grupo ay ginagawang mas madali ang pagtatrabaho sa mga expression ng algebraic. Pinagmulan: Pixabay.

Halimbawa, ipagpalagay na kailangan mong saliksikin ang sumusunod na expression:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Ang expression na algebraic na ito ay binubuo ng 4 monomial o term, na pinaghiwalay ng + at - mga palatandaan, lalo na:

2x ² , 2xy, -3zx, -3zy

Masusing pagtingin, x ay karaniwan sa unang tatlo, ngunit hindi ang huli, habang ang y ay karaniwan sa pangalawa at ikaapat, at ang z ay karaniwan sa pangatlo at ikaapat.

Kaya sa prinsipyo walang karaniwang kadahilanan sa apat na mga termino nang sabay-sabay, ngunit kung sila ay pinagsama-sama ayon sa ipapakita sa susunod na seksyon, posible na ang isa ay lilitaw na makakatulong upang isulat ang ekspresyon bilang produkto ng dalawa o higit pa mga kadahilanan.

Mga halimbawa

Salik sa expression: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Hakbang 1 : Pangkat

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Hakbang 2: Hanapin ang karaniwang kadahilanan ng bawat pangkat

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

Mahalaga ako : ang negatibong tanda ay isa ring pangkaraniwang kadahilanan na dapat isaalang-alang.

Ngayon tandaan na ang mga panaklong (x + y) ay paulit-ulit sa dalawang term na nakuha sa pamamagitan ng pagpangkat. Iyon ang karaniwang kadahilanan na hinahanap.

Hakbang 3: Isulat ang buong expression

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

Sa nakaraang resulta, ang layunin ng factoring ay naabot, na kung saan ay walang iba kundi ang pagbabago ng isang expression ng algebraic batay sa mga pagdaragdag at pagbabawas ng mga termino, sa produkto ng dalawa o higit pang mga kadahilanan, sa aming halimbawa, ng: (x + y) at (2x - 3z).

Mahalagang mga katanungan tungkol sa karaniwang kadahilanan sa pamamagitan ng pagpangkat

Tanong 1 : Paano malalaman na tama ang resulta?

Sagot : Ang namamahagi ng pag-aari ay inilalapat sa resulta na nakuha at pagkatapos ng pagbabawas at pagpapagaan, ang expression na nakamit ay dapat tumugma sa orihinal, kung hindi, mayroong isang error.

Sa nakaraang halimbawa, gumagana ka nang baligtad sa resulta, upang masuri na tama ito:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Tulad ng pagkakasunud-sunod ng mga pagdaragdag ay hindi binabago ang kabuuan, pagkatapos mag-apply sa namamahagi ng ari-arian ang lahat ng mga orihinal na termino ay naibalik, kabilang ang mga palatandaan, kung gayon, ang factorization ay tama.

Tanong 2: Maaari ba itong maipangkat sa ibang paraan?

Sagot: May mga expression na algebraic na nagbibigay-daan sa higit sa isang anyo ng pagpapangkat at iba pa na hindi. Sa napiling halimbawa, ang mambabasa ay maaaring subukan ang iba pang mga posibilidad sa kanyang sarili, halimbawa pagsasama-sama ng mga sumusunod:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

At maaari mong suriin na ang resulta ay pareho tulad ng nakuha dito. Ang paghahanap ng pinakamainam na pagpangkat ay isang bagay na kasanayan.

Tanong 3: Bakit kinakailangan na kumuha ng isang karaniwang kadahilanan mula sa isang expression ng algebraic?

Sagot : Dahil may mga aplikasyon kung saan ang pinapabatid na expression ay ginagawang madali ang mga kalkulasyon. Halimbawa, ipagpalagay na nais mong itakda ang 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy na katumbas ng 0. Ano ang mga posibilidad?

Upang masagot ang katanungang ito, ang pinagtibay na bersyon ay mas kapaki-pakinabang kaysa sa orihinal na pag-unlad sa mga termino. Ito ay nakasaad tulad nito:

(x + y) (2x - 3z) = 0

Ang isang posibilidad na ang expression ay nagkakahalaga ng 0 ay ang x = -y, anuman ang halaga ng z. At ang iba pa ay ang x = (3/2) z, anuman ang halaga ng y.

Pagsasanay

- Ehersisyo 1

Kunin ang karaniwang kadahilanan ng sumusunod na expression sa pamamagitan ng pagpapangkat ng mga term:

ax + ay + bx + ni

Solusyon

Ang unang dalawa ay pinagsama-sama, kasama ang karaniwang kadahilanan "a" at ang huling dalawa na may karaniwang kadahilanan "b":

ax + ay + bx + ni = a (x + y) + b (x + y)

Kapag ito ay tapos na, isang bagong karaniwang kadahilanan ay ipinahayag, na kung saan ay (x + y), upang:

ax + ay + bx + ni = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Isa pang paraan sa pangkat

Ang expression na ito ay sumusuporta sa isa pang paraan ng pagpangkat. Tingnan natin kung ano ang mangyayari kung ang mga termino ay muling maiayos at isang pangkat ay ginawa kasama ang mga naglalaman ng x at isa pa kasama ang mga naglalaman ng y:

ax + ay + bx + ni = ax + bx + ay + ni = x (a + b) + y (a + b)

Sa ganitong paraan ang bagong karaniwang kadahilanan ay (a + b):

ax + ay + bx + ni = ax + bx + ay + ni = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Aling humahantong sa parehong resulta mula sa unang pagpangkat na nasubukan.

- Ehersisyo 2

Ang sumusunod na expression ng algebraic ay kinakailangan na isulat bilang produkto ng dalawang mga kadahilanan:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

Solusyon

Ang expression na ito ay naglalaman ng 6 na term. Subukan natin ang pagpapangkat sa una at ikaapat, pangalawa at pangatlo at sa wakas ikalima at ikaanim:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab-3b ² )

Ngayon ang bawat panaklong ay nakatiyak

= (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab -3b ² ) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)

Sa unang tingin ay tila kumplikado ang sitwasyon, ngunit ang mambabasa ay hindi dapat masiraan ng loob, dahil susulatin natin ang huling term:

isang ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Ang huling dalawang termino ngayon ay may isang karaniwang kadahilanan, na kung saan (3b-a), kaya maaari silang maging katunayan. Napakahalaga na huwag kalimutan ang unang termino ng isang ² (3a - 1), na dapat na patuloy na samahan ang lahat bilang isang karagdagan, kahit na hindi ka nagtatrabaho sa:

isang ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

Ang expression ay nabawasan sa dalawang term at ang isang bagong karaniwang kadahilanan ay natuklasan sa huling isa, na kung saan ay "b". Ngayon ay nananatili ito:

isang ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

Ang susunod na karaniwang kadahilanan na lilitaw ay 3a - 1:

isang ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

O kung gusto mo nang walang mga bracket:

(3a - 1) = (3a - 1) (isang ² -ab + 3b ² )

Maaari bang makahanap ang mambabasa ng isa pang paraan ng pagpangkat na humahantong sa parehong resulta?

Larawan 2. Ang mga iminungkahing pagsasanay sa factoring. Pinagmulan: F. Zapata.

Mga Sanggunian

1. Baldor, A. 1974. Elementong Algebra. Kultura Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Pangunahing mga kaso ng factoring. Nabawi mula sa: julioprofe.net.
4. UNAM. Pangunahing Matematika: Factorization sa pamamagitan ng pagpapangkat ng mga term. Faculty of Accounting at Pangangasiwaan.
5. Zill, D. 1984. Algebra at Trigonometry. MacGraw Hill.