FACTORING: MGA PAMAMARAAN AT HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang factorization ay isang pamamaraan kung saan ang isang polynomial ay ipinahayag bilang mga kadahilanan ng pagpaparami, na maaaring bilang o mga titik o pareho. Sa kadahilanan, ang mga kadahilanan na karaniwang sa mga term ay pinagsama-sama, at sa ganitong paraan ang polynomial ay nabulok sa maraming mga polynomial.

Kaya, kapag ang mga kadahilanan ay pinarami nang magkasama, ang resulta ay ang orihinal na polynomial. Ang Factoring ay isang napaka-kapaki-pakinabang na pamamaraan kapag mayroon kang algebraic expression, dahil maaari itong ma-convert sa pagpaparami ng maraming mga simpleng term; halimbawa: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Mayroong mga kaso na kung saan ang isang polynomial ay hindi maaaring mapagtibay dahil walang karaniwang kadahilanan sa pagitan ng mga termino; sa gayon, ang mga expression na algebraic na ito ay nahahati lamang sa kanilang sarili at sa pamamagitan ng 1. Halimbawa: x + y + z.

Sa isang expression ng algebraic, ang karaniwang kadahilanan ay ang pinakadakilang karaniwang tagapaghati ng mga termino na bumubuo nito.

Mga pamamaraan ng pagsasanay

Mayroong maraming mga pamamaraan ng factoring, na inilalapat depende sa kaso. Ang ilan sa mga ito ay ang mga sumusunod:

Pagsusulit sa pamamagitan ng karaniwang kadahilanan

Sa pamamaraang ito ang mga salik na pangkaraniwan ay natukoy; iyon ay, ang mga paulit-ulit sa mga tuntunin ng expression. Pagkatapos ay inilalapat ang namamahagi na pag-aari, kinuha ang pinakadakilang pangkaraniwang naghahati, at natapos ang factoring.

Sa madaling salita, ang karaniwang kadahilanan ng ekspresyon ay natukoy at ang bawat term ay nahahati nito; Ang mga nagreresultang termino ay paparami ng pinakadakilang pangkaraniwang naghahati upang maipahayag ang factorization.

Halimbawa 1

Factor (b ² x) + (b ² y).

Solusyon

Una mong nahanap ang karaniwang kadahilanan ng bawat term, na sa kasong ito ay b ² , at pagkatapos ay hatiin ang mga term sa pamamagitan ng karaniwang kadahilanan tulad ng sumusunod:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

Ang factorization ay ipinahayag, pinararami ang karaniwang kadahilanan sa pamamagitan ng mga nagresultang termino:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

Halimbawa 2

Factor (2a ² b ³ ) + (3ab ² ).

Solusyon

Sa kasong ito mayroon kaming dalawang mga kadahilanan na paulit-ulit sa bawat term na "a" at "b", at naitaas sa isang kapangyarihan. Upang salikin ang mga ito, ang dalawang termino ay unang nabulok sa kanilang mahabang anyo:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Makikita na ang salik na "a" ay paulit-ulit lamang sa pangalawang termino, at ang kadahilanan na "b" ay paulit-ulit na inuulit sa ito; kaya sa unang term ay nananatili lamang ang 2, isang kadahilanan na "a" at isang kadahilanan "b"; habang sa pangalawang term ay 3 na lamang ang nalalabi.

Samakatuwid, ang mga oras na "a" at "b" ay paulit-ulit na isinulat at pinarami ng mga kadahilanan na naiwan mula sa bawat term, tulad ng ipinakita sa imahe:

Pagsasaayos ng pagsasamahan

Tulad ng hindi sa lahat ng mga kaso ang pinakadakilang pangkaraniwang tagapaghati ng isang polynomial ay malinaw na ipinahayag, kinakailangan na gumawa ng iba pang mga hakbang upang ma-rewrite ang polynomial at sa gayon kadahilanan.

Ang isa sa mga hakbang na iyon ay ang pag-grupo ng mga termino ng polynomial sa maraming mga grupo, at pagkatapos ay gamitin ang karaniwang pamamaraan ng kadahilanan.

Halimbawa 1

Factor ac + bc + ad + bd.

Solusyon

Mayroong 4 na mga kadahilanan kung saan ang dalawa ay karaniwan: sa unang term na ito ay «c» at sa pangalawa ito ay «d». Sa ganitong paraan ang dalawang termino ay pinagsama-sama at pinaghiwalay:

(ac + bc) + (ad + bd).

Ngayon posible na mag-aplay ang karaniwang paraan ng kadahilanan, na naghahati sa bawat term sa pamamagitan ng karaniwang kadahilanan nito at pagkatapos ay pagpaparami ng karaniwang salik sa pamamagitan ng mga nagreresultang termino, tulad nito:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Ngayon nakakakuha kami ng binomial na pangkaraniwan para sa parehong mga termino. Upang salikin ito, pinarami ito ng natitirang mga kadahilanan; sa paraang kailangan mong:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Pagpapatotoo sa inspeksyon

Ang pamamaraang ito ay ginagamit upang salikahin ang quadratic polynomial, na tinatawag ding trinomial; iyon ay, ang mga nakabalangkas bilang palakol ² ± bx + c, kung saan ang halaga ng "a" ay naiiba sa 1. Ang pamamaraan na ito ay ginagamit din kapag ang trinomial ay may form x ² ± bx + c at ang halaga ng "a" = 1.

Halimbawa 1

Factor x ² + 5x + 6.

Solusyon

Mayroon kaming isang quadratic trinomial ng form x ² ± bx + c. Upang salikin ito, kailangan mo munang makahanap ng dalawang numero na, kapag pinarami, bigyan bilang isang resulta ang halaga ng «c» (iyon ay, 6) at ang kanilang kabuuan ay pantay sa koepisyent «b», na kung saan ay 5. Ang mga bilang ay 2 at 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Sa ganitong paraan, ang expression ay pinasimple tulad nito:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Ang bawat term ay nakatiyak:

- Para sa (x ² + 2x) ang karaniwang termino ay nakuha: x (x + 2)

- Para sa (3x + 6) = 3 (x + 2)

Kaya, ang expression ay:

x (x +2) + 3 (x +2).

Dahil mayroon kaming isang binomial sa pangkaraniwan, upang mabawasan ang expression na pinarami natin ito sa mga natitirang termino at kailangan nating:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Halimbawa 2

Factor 4a ² + 12a + 9 = 0.

Solusyon

Mayroon kaming isang quadratic trinomial ng form ax ^{2 2} bx + cy upang salikin ito, dumami ang buong expression sa pamamagitan ng koepisyent ng x ² ; sa kasong ito, 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Ngayon dapat tayong makahanap ng dalawang numero na, kapag pinarami ng bawat isa, magbigay bilang isang resulta ng halaga ng "c" (na kung saan ay 36) at kung saan idinagdag nang magkasama bilang isang resulta ng koepisyent ng salitang "a", na kung saan ay 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Sa ganitong paraan ang pagsulat ay muling isinulat, isinasaalang-alang na 4 ² a ² = 4a _* 4a. Samakatuwid, ang pamamahagi ng pamamahagi ay nalalapat para sa bawat termino:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Sa wakas, ang expression ay nahahati sa pamamagitan ng koepisyent ng isang ² ; iyon ay, 4:

(Ika-4 na + 6) _* (4th + 6) / 4 = ((4th + 6) / 2) _* ((4th + 6) / 2).

Ang expression ay ang mga sumusunod:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Factoring na may mga kilalang produkto

Mayroong mga kaso kung saan, upang lubos na saliksikin ang mga polynomial na may mga pamamaraan sa itaas, ito ay nagiging isang napakahabang proseso.

Iyon ang dahilan kung bakit maaaring mabuo ang isang expression kasama ang mga pormula ng mga kamangha-manghang mga produkto at sa gayon ang proseso ay nagiging mas simple. Kabilang sa mga pinaka-malawak na ginagamit na mga kilalang produkto ay:

- Pagkakaiba ng dalawang parisukat: (a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

- Perpektong parisukat ng isang kabuuan: isang ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Perpektong parisukat ng isang pagkakaiba: isang ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Pagkakaiba ng dalawang cubes: a ³ - b ³ = (ab) _* (isang ² + ab + b ² )

- Kabuuan ng dalawang cubes: a ³ - b ³ = (a + b) _* (isang ² - ab + b ² )

Halimbawa 1

Factor (5 ² - x ² )

Solusyon

Sa kasong ito mayroong pagkakaiba sa dalawang mga parisukat; samakatuwid ang kahanga-hangang formula ng produkto ay nalalapat:

(isang ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ² ) = (5 - x) _* (5 + x)

Halimbawa 2

Factor 16x ² + 40x + 25 ²

Solusyon

Sa kasong ito, mayroon kang isang perpektong parisukat ng isang kabuuan, dahil maaari mong makilala ang dalawang term na parisukat, at ang term na nananatili ay bunga ng pagpaparami ng dalawa sa parisukat na ugat ng unang termino, sa pamamagitan ng parisukat na ugat ng pangalawang termino.

isang ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

Sa kadahilanan lamang ang mga parisukat na ugat ng una at pangatlong termino ay kinakalkula:

√ (16x ² ) = 4x

√ (25 ² ) = 5.

Pagkatapos ang dalawang mga nagreresultang termino ay ipinahayag na pinaghiwalay ng pag-sign ng operasyon, at ang buong polynomial ay parisukat:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ² .

Halimbawa 3

Factor 27a ³ - b ³

Solusyon

Ang expression ay kumakatawan sa isang pagbabawas kung saan ang dalawang mga kadahilanan ay cubed. Upang salikin ang mga ito, ang formula para sa mga kilalang produkto ng pagkakaiba ng mga cube ay inilalapat, na:

isang ³ - b ³ = (ab) _* (isang ² + ab + b ² )

Kaya, sa kadahilanan, ang cube root ng bawat term ng binomial ay kinuha at pinarami ng parisukat ng unang termino, kasama ang produkto ng una sa pangalawang term, kasama ang pangalawang term na parisukat.

27a ³ - b ³

³√ (27a ³ ) = 3a

³√ (-b ³ ) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ² )

Ang pakikipagtulungan sa panuntunan ni Ruffini

Ginagamit ang pamamaraang ito kapag mayroon kang isang polynomial na degree na mas malaki kaysa sa dalawa, upang gawing simple ang pagpapahayag sa ilang mga polynomial ng mas mababang degree.

Halimbawa 1

Factor Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Solusyon

Una ay hinahanap namin ang mga numero na naghahati ng 12, na kung saan ay ang malayang termino; Ito ang mga ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, at ± 12.

Pagkatapos ang x ay pinalitan ng mga halagang ito, mula sa pinakamababa hanggang sa pinakamataas, at sa gayon ay tinutukoy kung alin sa mga halaga ang mahahati ng dibisyon; iyon ay, ang nalabi ay dapat na 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

At iba pa para sa bawat naghahati. Sa kasong ito, ang mga kadahilanan na natagpuan ay para sa x = -1 at x = 2.

Ngayon ang pamamaraan ng Ruffini ay inilalapat, ayon sa kung saan ang mga koepisyent ng ekspresyon ay hahatiin ng mga kadahilanan na natagpuan upang ang paghahati ay eksaktong. Ang mga termino ng polynomial ay iniutos mula sa pinakamataas hanggang sa pinakamababang exponent; sa kaso na ang isang term na may susunod na degree ay nawawala sa pagkakasunud-sunod, isang 0 ay inilalagay sa lugar nito.

Ang mga coefficient ay matatagpuan sa isang scheme tulad ng ipinapakita sa sumusunod na imahe.

Ang unang koepisyent ay binabaan at pinarami ng naghahati. Sa kasong ito, ang unang dibisyon ay -1, at ang resulta ay inilalagay sa susunod na haligi. Pagkatapos ang halaga ng koepisyent na resulta na nakuha ay idinagdag nang patayo at ang resulta ay inilalagay sa ibaba. Sa ganitong paraan ang proseso ay paulit-ulit hanggang sa huling haligi.

Pagkatapos ang parehong pamamaraan ay naulit muli, ngunit sa pangalawang dibahagi (na kung saan ay 2) dahil ang expression ay maaari pa ring gawing pasimple.

Sa gayon, para sa bawat ugat na nakuha ang polynomial ay magkakaroon ng isang term (x - a), kung saan ang "a" ay ang halaga ng ugat:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Sa kabilang banda, ang mga terminong ito ay dapat na dumami sa pamamagitan ng nalalabi sa panuntunan ni Ruffini 1: 1 at -6, na mga kadahilanan na kumakatawan sa isang degree. Sa ganitong paraan ang expression na nabuo ay: (x ² + x - 6).

Pagkuha ng resulta ng factorization ng polynomial ng paraan ng Ruffini ay:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Sa wakas, ang polynomial ng degree 2 na lumilitaw sa nakaraang expression ay maaaring isulat muli bilang (x + 3) (x-2). Samakatuwid, ang pangwakas na kadahilanan ay:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Mga Sanggunian

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra at trigonometrya na may analytical geometry. Edukasyon sa Pearson.
2. J, V. (2014). Paano turuan ang mga bata tungkol sa Factoring isang Polynomial.
3. Manuel Morillo, AS (sf). Pangunahing Matematika Sa Mga Aplikasyon.
4. Roelse, PL (1997). Ang mga guhit na pamamaraan para sa polynomial factorization sa mga may hangganan na larangan: teorya at pagpapatupad. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Rings at Factorization.