PAG-ANDAR NG PANG-URI: ANO ITO, KUNG PAANO ITO NAGAWA, HALIMBAWA, PAGSASANAY - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang isang pag- andar ng isang pang-uri ay isang nakakatugon sa dobleng kondisyon ng pagiging pang- adhikain at pang-ayon . Iyon ay, ang lahat ng mga elemento ng domain ay may isang solong imahe sa codomain, at sa pagliko, ang codomain ay katumbas ng ranggo ng function ( R _f ).

Ito ay natutupad sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang ng isang-sa-isang relasyon sa pagitan ng mga elemento ng domain at codomain. Ang isang simpleng halimbawa ay ang pagpapaandar F: R → R na tinukoy ng linya F (x) = x

Pinagmulan: May-akda

Napapansin na para sa bawat halaga ng domain o panimulang set (magkatulad ang mga tuntunin na magkatulad) mayroong isang imahe sa codomain o set ng pagdating. Bilang karagdagan, walang elemento ng codomain maliban sa imahe.

Sa ganitong paraan F: R → R na tinukoy ng linya F (x) = x ay pang-uri

Paano ka makakagawa ng isang pag-andar ng isang pang-uri?

Upang masagot ito, kinakailangan na maging malinaw tungkol sa mga konsepto ng Injectivity at Overjectivity ng isang function , bilang karagdagan sa mga pamantayan para sa mga pag-andar sa pag-conditioning upang maiakma ang mga ito sa mga kinakailangan.

Injectivity ng isang function

Ang isang pag-andar ay walang katuturan kapag ang bawat isa sa mga elemento ng domain nito ay nauugnay sa isang solong elemento ng codomain. Ang isang elemento ng codomain ay maaari lamang ang imahe ng isang solong elemento ng domain, sa ganitong paraan ang mga halaga ng nakasalalay na variable ay hindi maaaring ulitin.

Upang isaalang-alang ng isang function injective , ang mga sumusunod ay dapat matugunan:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Ang pagiging epektibo ng isang function

Ang isang pag-andar ay inuri bilang pang- uugnay kung ang bawat elemento ng codomain nito ay isang imahe ng hindi bababa sa isang elemento ng domain.

Upang isaalang-alang ng isang function surjective , ang mga sumusunod ay dapat matupad:

Hayaan F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Ito ang algebraic na paraan upang maitaguyod na para sa bawat "b" na kabilang sa C _f mayroong isang "a" na kabilang sa D _f na ang pag-andar na nasuri sa "a" ay katumbas ng "b".

Pag-andar ng pag-andar

Minsan ang isang pag-andar na hindi pamantayan ay maaaring sumailalim sa ilang mga kundisyon. Ang mga bagong kundisyong ito ay maaaring gawin itong isang function na pang-uri. Ang lahat ng mga uri ng pagbabago sa domain at codomain ng pagpapaandar ay may bisa, kung saan ang layunin ay upang matupad ang mga katangian ng injectivity at surjectivity sa kaukulang relasyon.

Mga halimbawa: nalutas ang pagsasanay

Ehersisyo 1

Hayaan ang pagpapaandar F: R → R ay tinukoy ng linya F (x) = 5x +1

A:

Napansin na para sa bawat halaga ng domain mayroong isang imahe sa codomain. Ang imaheng ito ay natatangi na ginagawang F na isang function na pang-uri . Sa parehong paraan, napapansin natin na ang codomain ng pag-andar ay katumbas ng ranggo nito. Sa gayon tinutupad ang kondisyon ng surjectivity .

Ang pagiging pang-unawa at pang-ayon sa parehong oras maaari nating tapusin iyon

F: R → R na tinukoy ng linya F (x) = 5x +1 ay isang function na pang-uri.

Nalalapat ito sa lahat ng mga pag-andar sa linya (Mga Pag-andar na ang pinakamataas na antas ng variable ay isa).

Mag-ehersisyo 2

Hayaan ang pagpapaandar F: R → R ay tinukoy ng F (x) = 3x ² - 2

Kapag gumuhit ng isang pahalang na linya, napansin na ang graph ay matatagpuan sa higit sa isang okasyon. Dahil dito ang pag-andar F ay hindi pang-adhikain at samakatuwid hindi ito magiging pang- ulikal hangga't ito ay tinukoy sa R → R

Katulad nito, mayroong mga halaga ng codomain na hindi mga imahe ng anumang elemento ng domain. Dahil dito, ang pag-andar ay hindi pang-adhikain, na nararapat din na kundisyon ang pagdating set.

Nagpapatuloy kami upang kundisyon ang domain at codomain ng pag-andar

F: →

Kung saan napapansin na ang bagong domain ay sumasakop sa mga halaga mula sa zero hanggang sa positibong kawalang-hanggan. Pag-iwas sa pag-uulit ng mga halaga na nakakaapekto sa injectivity.

Gayundin, binago ang codomain, na binibilang mula sa "-2" hanggang sa positibong kawalang-hanggan, na tinatanggal mula sa codomain ang mga halagang hindi tumutugma sa anumang elemento ng domain

Sa ganitong paraan masisiguro na ang F : → tinukoy ng F (x) = 3x ² - 2

Ito ay talasalitaan

Mag-ehersisyo 3

Hayaan ang pagpapaandar F: R → R ay tinukoy ng F (x) = Sen (x)

Sa pagitan ng pag-andar ng sinus ay nag-iiba ang mga resulta nito sa pagitan ng zero at isa.

Pinagmulan: May-akda.

Ang function F ay hindi tumutugma sa pamantayan ng injectivity at surjectivity, dahil ang mga halaga ng umaasa variable ay paulit-ulit sa bawat pagitan ng π. Bukod dito, ang mga termino ng codomain sa labas ng agwat ay hindi isang imahe ng anumang elemento ng domain.

Kapag pinag-aaralan ang tsart ng pagpapaandar F (x) = Sen (x) , ang mga agwat ay sinusunod kung saan natutugunan ang pag-uugali ng curve sa pamantayan ng bijectivity . Tulad ng halimbawa ang agwat D _f = para sa domain. At C _f = para sa codomain.

Kung saan ang pag-andar ay nag-iiba ng mga resulta mula sa 1 hanggang -1, nang walang pag-uulit ng anumang halaga sa umaasang variable. At sa parehong oras ang codomain ay katumbas ng mga halagang pinagtibay ng expression Sen (x)

Sa gayon ang pagpapaandar F: → tinukoy ng F (x) = Sen (x). Ito ay talasalitaan

Ehersisyo 4

Sabihin ang mga kinakailangang kondisyon para sa D _f at C _f . Kaya ang expression

F (x) = -x ² ay maging talasalitaan.

Pinagmulan: May-akda

Ang pag-uulit ng mga resulta ay sinusunod kapag ang variable ay tumatagal ng kabaligtaran na halaga

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Nakondisyon ang domain, nililimitahan ito sa kanang bahagi ng totoong linya.

D _f =

Sa parehong paraan, napansin na ang saklaw ng pagpapaandar na ito ay ang agwat, na kapag kumikilos bilang isang codomain ay tinutupad ang mga kondisyon ng surjectivity.

Sa ganitong paraan maaari nating tapusin iyon

Ang ekspresyon F: → tinukoy ng F (x) = -x ² Ito ay ayon sa kaugalian

Ang mga iminungkahing ehersisyo

Suriin kung ang mga sumusunod na pag-andar ay binibigkas:

F: → R na tinukoy ni F (x) = 5ctg (x)

F: → R na tinukoy ng F (x) = Cos (x - 3)

F: R → R na tinukoy ng linya F (x) = -5x + 4

Mga Sanggunian

1. Panimula sa lohika at Kritikal na Pag-iisip. Merrilee H. Salmon. Unibersidad ng Pittsburgh
2. Mga problema sa Pagtatasa sa Matematika. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Unibersidad ng Wroclaw. Poland.
3. Mga Elemento ng Pagsusuri ng Abstract. Mícheál O'Searcoid PhD. Kagawaran ng matematika. Unibersidad sa kolehiyo Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Panimula sa Logic at ang Paraan ng Kaalamang Pang-agham. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford university press.
5. Mga prinsipyo ng pagsusuri sa matematika. Enrique Linés Escardó. Editoryal na Reverté S. A 1991. Barcelona Spain.