PAG-ANDAR NG HOMOGRAPHIC: KUNG PAANO MAG-GRAPH, MALUTAS ANG MGA EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang function homographic o rational ng ay isang uri ng pag-andar ng matematika na binubuo ng polynomial division dalawang bahagi. Sinusunod nito ang form P (x) / Q (x), kung saan ang Q (x) ay hindi maaaring kumuha ng isang null form.

Halimbawa ang expression (2x - 1) / (x + 3) ay tumutugma sa isang homographic function na may P (x) = 2x - 1 at Q (x) = x + 3.

Pinagmulan: pixabay.com

Ang mga pag-andar sa homographic ay bumubuo ng isang seksyon ng pag-aaral ng mga pag-andar ng analitikal, na ginagamot mula sa pamamgitan ng graphing at mula sa pag-aaral ng domain at saklaw. Ito ay dahil sa mga paghihigpit at mga batayan na dapat mailapat para sa iyong mga resolusyon.

Ano ang isang homographic function?

Ang mga ito ay mga nakapangangatwiran na expression ng isang variable, bagaman hindi ito nangangahulugan na walang katulad na expression para sa dalawa o higit pang mga variable, kung saan magkakaroon ito ng pagkakaroon ng mga katawan sa espasyo na sumusunod sa parehong mga pattern tulad ng pag-andar ng homographic sa eroplano.

Mayroon silang mga tunay na ugat sa ilang mga kaso, ngunit ang pagkakaroon ng patayo at pahalang na asymptotes ay palaging pinapanatili, pati na rin ang agwat ng paglago at pagbaba. Karaniwan lamang ang isa sa mga uso na ito ay naroroon, ngunit may mga expression na may kakayahang ipakita kapwa sa kanilang pag-unlad.

Ang domain nito ay pinaghihigpitan ng mga ugat ng denominator, dahil walang paghahati sa pamamagitan ng zero ng mga tunay na numero.

Mixed na homographic function

Madalas ang mga ito sa pagkalkula, lalo na ang pagkakaiba-iba at integral, na kinakailangan upang kunin at anti-derivative sa ilalim ng mga partikular na formula. Ang ilan sa mga pinakakaraniwan ay nakalista sa ibaba.

Kahit na ang nth root ng homographic function

Ibukod ang lahat ng mga elemento ng domain na negatibo ang argumento. Ang mga ugat na naroroon sa bawat mga halaga ng ani ng polynomial ng zero kapag nasuri.

Ang mga halagang ito ay tinatanggap ng radikal, bagaman ang pangunahing paghihigpit ng pagpapaandar ng homographic ay dapat isaalang-alang. Kung saan ang Q (x) ay hindi makakatanggap ng mga null na halaga.

Ang mga solusyon ng mga agwat ay dapat na mapigil:

Upang makamit ang solusyon ng mga interseksyon, ang paraan ng pag-sign, bukod sa iba pa, ay maaaring magamit.

Logarithm ng pag-andar ng homographic

Karaniwan din ang paghahanap ng parehong mga expression sa isa, bukod sa iba pang mga posibleng kumbinasyon.

Paano mag-graph ng isang homographic function?

Ang mga pag-andar ng homographic ay tumutugma sa graph sa mga hyperbolas sa eroplano. Alin ang transported nang pahalang at patayo ayon sa mga halagang tumutukoy sa mga polynomial.

Mayroong maraming mga elemento na dapat nating tukuyin upang mag-graph ng isang pangangatwiran o homographic function.

Ari-arian

Ang una ay ang mga ugat o zero ng mga function P at Q.

Ang mga halaga na nakamit ay isasailalim sa x-axis ng graph. Ang pagpapahiwatig ng mga interseksyon ng graph na may axis.

Vertical asymptote

Nakaugnay ito sa mga linya ng patayo, na nagpapahiwatig ng graph ayon sa mga kalakaran na ipinakita nila. Hinawakan nila ang x-axis sa mga halagang ginagawang zero ang denominador at hindi kailanman maaantig ng graph ng homographic function.

Pahalang na asymptote

Kinakatawan ng isang pahalang na linya ng tahi, ito ay naghihiwalay ng isang limitasyon kung saan ang function ay hindi tinukoy sa eksaktong punto. Ang mga uso ay sinusunod bago at pagkatapos ng linyang ito.

Upang makalkula ito kailangan nating gumawa ng isang pamamaraan na katulad ng pamamaraan ni L'Hopital, na ginamit upang malutas ang mga limitasyon ng mga nakapangangatwiran na pag-andar na may posibilidad na walang hanggan. Dapat nating kunin ang mga koepisyent ng pinakamataas na kapangyarihan sa numerator at denominator ng pag-andar.

Halimbawa, ang sumusunod na expression ay may pahalang na asymptote sa y = 2/1 = 2.

Agwat ng paglago

Ang mga pagkakahalaga ng mga halaga ay magkakaroon ng mga marka na minarkahan sa graph dahil sa mga asymptotes. Sa kaso ng paglago, ang pagpapaandar ay tataas sa mga halaga dahil ang mga elemento ng domain ay nasuri mula sa kaliwa hanggang kanan.

Bawasan ang agwat

Ang mga halaga ng ordinate ay bababa habang ang mga elemento ng domain ay nasuri mula sa kaliwa hanggang kanan.

Ang mga jump na matatagpuan sa mga halaga ay hindi isasaalang-alang bilang pagtaas o pagbawas. Nangyayari ito kapag ang graph ay malapit sa isang patayo o pahalang na asymptote, kung saan ang mga halaga ay maaaring mag-iba mula sa kawalang-hanggan hanggang sa negatibong kawalang-hanggan at kabaligtaran.

Y intersection

Sa pamamagitan ng pagtatakda ng halaga ng x hanggang zero, nahanap namin ang pangharang sa ordinate axis. Ito ay napaka-kapaki-pakinabang na data para sa pagkuha ng grap ng rational function.

Mga halimbawa

Tukuyin ang graph ng mga sumusunod na expression, hanapin ang kanilang mga ugat, patayo at pahalang na mga asymptotes, agwat ng pagtaas at pagbaba at intersection kasama ang ordinate axis.

Ehersisyo 1

Ang ekspresyon ay walang mga ugat, sapagkat mayroon itong palagiang halaga sa numerator. Ang paghihigpit na mailalapat ay x naiiba sa zero. Sa pahalang na asymptote sa y = 0, at patayo na asymptote sa x = 0. Walang mga punto ng intersection kasama ang y-axis.

Napapansin na walang mga pagitan ng paglago kahit na may pagtalon mula sa minus hanggang sa kawalang-hanggan sa x = 0.

Ang pagbaba ng agwat ay

ID: (-∞; o) U (0, ∞)

Mag-ehersisyo 1.2

Ang 2 polynomial ay sinusunod tulad ng sa paunang kahulugan, kaya nagpapatuloy kami ayon sa itinatag na mga hakbang.

Ang ugat na natagpuan ay x = 7/2, na nagreresulta mula sa pagtatakda ng pagpapaandar na katumbas ng zero.

Ang patayo na asymptote ay nasa x = - 4, na kung saan ay ang halaga na ibinukod mula sa domain ng kondisyon ng pag-andar ng katuwiran.

Ang pahalang na asymptote ay nasa y = 2, pagkatapos nitong paghati sa 2/1, ang mga coefficient ng variable ng degree 1.

Mayroon itong y-intercept = - 7/4. Ang halaga na natagpuan pagkatapos ng paghahambing ng x hanggang zero.

Ang pagpapaandar ay patuloy na lumalaki, na may isang jump mula sa plus sa minus na kawalang-hanggan sa paligid ng ugat x = -4.

Ang agwat ng paglago nito ay (-∞, - 4) U (- 4, ∞).

Kapag ang halaga ng x ay lumalapit sa minus infinity, ang function ay tumatagal ng mga halaga na malapit sa 2. Ang parehong mangyayari kapag ang x ay lumalapit sa higit na kawalang-hanggan.

Lumapit ang expression kasama ang kawalang-hanggan kapag sinusuri ang - 4 mula sa kaliwa, at minus na kawalang-hanggan kapag sinusuri ang - 4 mula sa kanan.

Mag-ehersisyo 2

Ang graph ng sumusunod na homographic function ay sinusunod:

Ilarawan ang pag-uugali, ugat, patayo at pahalang na mga asymptotes, mga agwat ng paglaki at pagbaba at intersection kasama ang ordinate axis.

Ang denominator ng ekspresyon ay nagsasabi sa amin sa pamamagitan ng pagtukoy sa pagkakaiba-iba ng mga parisukat (x + 1) (x - 1) ang mga halaga ng mga ugat. Sa ganitong paraan, ang parehong mga vertical asymptotes ay maaaring tinukoy bilang:

x = -1 at x = 1

Ang pahalang na asymptote ay tumutugma sa abscissa axis dahil ang pinakamataas na kapangyarihan ay nasa denominator.

Ang ugat lamang nito ay tinukoy ng x = -1/3.

Ang expression ay palaging bumababa mula sa kaliwa hanggang kanan. Lumapit ito ng zero kapag papalapit sa kawalang-hanggan. Minus infinity habang papalapit ka -1 mula sa kaliwa. Ang isang kawalang-hanggan habang papalapit ito -1 mula sa kanan. Mas kaunting kawalang-hanggan kapag papalapit sa 1 mula sa kaliwa at higit na walang hanggan kapag papalapit sa 1 mula sa kanan.

Mga Sanggunian

1. Pagtataya sa Mga Pangangatwiran sa Pagganap. Donald J. Newman. American Mathematical Soc., Dis. 31. 1979
2. Orthogonal Rational Function. UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press, Peb. 13. 1999
3. Ang makatwiran na Pagtataya ng Tunay na Pag-andar. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, Mar 3. 2011
4. Mga function ng Algebraic. Gilbert Ames Bliss. Courier Corporation, Enero 1 2004
5. Journal of the Spanish Mathematical Society, Mga volume na 5-6. Lipunan ng Matematika sa Espanya, Madrid 1916