MGA PAGKAKAKILANLAN SA PYTHAGOREAN: PAGPAPAKITA, HALIMBAWA, PAGSASANAY - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga pagkakakilanlan ng Pythagorean ay lahat ng mga equation ng trigonometric na humahawak para sa anumang halaga ng anggulo at batay sa teorema ng Pythagorean. Ang pinakasikat sa mga pagkilala sa Pythagorean ay ang pangunahing identidad ng trigonometriko:

Kasalanan ² (α) + Cos ² (α) = 1

Larawan 1. Pythagorean trigonometric pagkakakilanlan.

Susunod sa kahalagahan at ginagamit ko ang Pythagorean na pagkakakilanlan ng tangent at lihim:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

At ang pagkakakilanlan ng Pythagorean trigonometric na kinasasangkutan ng cotangent at ang cosecant:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

Demonstrasyon

Ang trigonometric ratios sine at kosine ay kinakatawan sa isang bilog ng radius isa (1) na kilala bilang isang trigonometriko na bilog. Ang nasabing bilog ay nasa sentro nito sa pinagmulan ng mga coordinate O.

Ang mga anggulo ay sinusukat mula sa positibong semi-axis ng Xs, halimbawa ang anggulo α sa figure 2 (tingnan sa ibaba). Counterclockwise kung ang anggulo ay positibo, at sunud-sunod kung ito ay negatibong anggulo.

Ang ray na may pinagmulan O at anggulo α ay iguguhit, na kung saan ay nakasalalay sa bilog ng yunit sa puntong P. Point P ay inaasahang orthogonally sa pahalang na axis X na nagbibigay ng pagtaas C. Sa katulad na P ay inaasahang patayo sa patayong axis Y pagbibigay lugar upang ituro S.

Mayroon kaming tamang tatsulok na OCP sa C.

Sine at kosine

Dapat tandaan na ang trigonometric ratio sine ay tinukoy sa isang tamang tatsulok tulad ng sumusunod:

Ang sine ng isang anggulo ng tatsulok ay ang ratio o quient sa pagitan ng binti sa tapat ng anggulo at ang hypotenuse ng tatsulok.

Inilapat sa tatsulok na OCP ng figure 2 ay ganito ang hitsura:

Sen (α) = CP / OP

ngunit ang CP = OS at OP = 1, upang:

Sen (α) = OS

Na nangangahulugan na ang projection OS sa axis ng Y ay may halaga na katumbas ng sine ng ipinakitang anggulo. Dapat pansinin na ang maximum na halaga ng sine ng isang anggulo (+1) ay nangyayari kapag α = 90º at ang minimum (-1) kapag α = -90º o α = 270º.

Larawan 2. Trigonometric na bilog na nagpapakita ng ugnayan sa pagitan ng teorema ng Pythagorean at ang pangunahing identidad ng trigonometric. (Sariling pagsasaliksik)

Katulad nito, ang kosine ng isang anggulo ay ang quotient sa pagitan ng binti na katabi ng anggulo at hypotenuse ng tatsulok.

Inilapat sa tatsulok na OCP ng figure 2 ay ganito ang hitsura:

Cos (α) = OC / OP

ngunit ang OP = 1, upang:

Cos (α) = OC

Nangangahulugan ito na ang projection OC sa X axis ay may halaga na katumbas ng sine ng anggulo na ipinakita. Dapat pansinin na ang maximum na halaga ng kosine (+1) ay nangyayari kapag α = 0º o α = 360º, habang ang minimum na halaga ng kosine ay (-1) kapag α = 180º.

Ang pangunahing pagkakakilanlan

Para sa tamang tatsulok na OCP sa C, ang teyema ng Pythagorean ay inilalapat, na nagsasaad na ang kabuuan ng parisukat ng mga binti ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse:

CP ² + OC ² = OP ²

Ngunit nasabi na na ang CP = OS = Sen (α), na ang OC = Cos (α) at ​​ang OP = 1, kaya ang naunang ekspresyon ay maaaring maisulat muli bilang isang pag-andar ng sine at kosine ng anggulo:

Kasalanan ² (α) + Cos ² (α) = 1

Ang axis ng tangent

Tulad ng X axis sa trigonometric na bilog ay ang cosine axis at ang Y axis ang sine axis, sa parehong paraan ay mayroong tangent axis (tingnan ang figure 3) na tiyak ang tangent line sa yunit ng bilog sa punto B ng mga coordinate (1, 0).

Kung nais mong malaman ang halaga ng tangent ng isang anggulo, ang anggulo ay nakuha mula sa positibong semi-axis ng X, ang intersection ng anggulo na may axis ng tangent ay tumutukoy sa isang punto Q, ang haba ng segment na OQ ay ang tangent ng anggulo

Ito ay dahil sa pamamagitan ng kahulugan, ang tangent ng anggulo α ay ang kabaligtaran ng binti QB sa pagitan ng katabing binti ng OB. Iyon ay, Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

Larawan 3. Ang trigonometric na bilog na nagpapakita ng axis ng tangent at Pythagorean na pagkakakilanlan ng tangent. (Sariling pagsasaliksik)

Ang Pythagorean pagkakakilanlan ng tangent

Ang pagkakakilanlan ng Pythagorean ng tangent ay maaaring mapatunayan sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa tamang tatsulok na OBQ sa B (Larawan 3). Ang paglalapat ng teyema ng Pythagorean sa tatsulok na ito ay mayroon tayong BQ ² + OB ² = OQ ² . Ngunit nasabi na na ang BQ = Tan (α), na ang OB = 1 at ang OQ = Sec (α), kaya ang pagpapalit sa pagkakapantay-pantay sa Pythagorean para sa tamang tatsulok na OBQ na mayroon kami:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α).

Halimbawa

Suriin kung ang mga pagkakakilanlan ng Pythagorean ay natutupad sa kanang tatsulok ng mga binti AB = 4 at BC = 3.

Solusyon: Ang mga binti ay kilala, ang hypotenuse ay kailangang matukoy, na:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

Ang anggulo ∡BAC ay tatawaging α, ∡BAC = α. Ngayon ang mga trigonometriko ratios ay natutukoy:

Sen α = BC / AC = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

Kaya α = BC / AB = 3/4

Cotan α = AB / BC = 4/3

Sec α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

Nagsisimula ito sa pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometric:

Kasalanan ² (α) + Cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Napagpasyahan na natutupad ito.

- Ang susunod na pagkakakilanlan ng Pythagorean ay ang tangent:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

At napagpasyahan na ang pagkakakilanlan ng tangent ay napatunayan.

- Sa katulad na paraan ng cotangent:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Napagpasyahan na natutupad din ito, kung saan natapos ang gawain ng pagpapatunay ng mga pagkilala sa Pythagorean para sa ibinigay na tatsulok.

Malutas na ehersisyo

Patunayan ang mga sumusunod na pagkakakilanlan, batay sa mga kahulugan ng mga ratio ng trigonometriko at mga pagkakakilanlan sa Pythagorean.

Ehersisyo 1

Patunayan na ang Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Solusyon: Sa kanang bahagi ay nakikilala namin ang kamangha-manghang produkto ng pagpaparami ng isang binomial sa pamamagitan ng conjugate nito na, tulad ng alam natin, ay isang pagkakaiba-iba ng mga parisukat:

Cos ² x = 1 ² - Kasalanan ² x

Pagkatapos ang term na may sine sa kanang bahagi ay pumasa sa kaliwang bahagi ng palatandaan ay nagbago:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Napansin na naabot ang pangunahing identidad ng trigonometric, kaya napagpasyahan na ang ibinigay na ekspresyon ay isang pagkakakilanlan, samakatuwid nga, totoo ito para sa anumang halaga ng x.

Mag-ehersisyo 2

Simula mula sa pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometric at paggamit ng mga kahulugan ng mga ratio ng trigonometric, ipinakita ang Pythagorean na pagkakakilanlan ng kosecant.

Solusyon: Ang pangunahing pagkakakilanlan ay:

Kasalanan ² (x) + Cos ² (x) = 1

Ang parehong mga miyembro ay hinati ni Sen ² (x) at ang denominador ay ipinamamahagi sa unang miyembro:

Kasalanan ² (x) / Kasalanan ² (x) + Cos ² (x) / Kasalanan ² (x) = 1 / Kasalanan ² (x)

Ito ay pinasimple:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Ang Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) ay isang (non-Pythagorean) na pagkakakilanlan na napatunayan ng mismong kahulugan ng mga trigonometrikong ratios. Ang parehong nangyayari sa sumusunod na pagkakakilanlan: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Sa wakas kailangan mong:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

Mga Sanggunian

1. Baldor J. (1973). Plano at geometry ng espasyo na may isang pagpapakilala sa trigonometrya. Central American Cultural. AC
2. CEA (2003). Mga elemento ng geometry: may mga ehersisyo at geometry ng compass. Unibersidad ng Medellin.
3. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
4. IGER. (sf). Matematika Unang Semester Tacaná. IGER.
5. Geometry ng Jr. (2014). Polygons. Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heeren, & Hornsby. (2006). Matematika: Nangangatuwiran At Aplikasyon (Ikasampung Edisyon). Edukasyon sa Pearson.
7. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Editoryal ng Edukasyon.
8. Wikipedia. Mga pagkakakilanlan at formula ng Trigonometry. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com