MGA PERMUTASYON NANG WALANG PAG-UULIT: MGA PORMULA, PATUNAY, EHERSISYO, HALIMBAWA - DUDAS - 2025

Ang isang permutation na walang pag-uulit ng mga n elemento ay ang magkakaibang mga grupo ng iba't ibang mga elemento na maaaring makuha mula sa hindi pag-uulit ng anumang elemento, nag-iiba-iba lamang ng pagkakasunud-sunod ng paglalagay ng mga elemento.

Upang malaman ang bilang ng mga permutasyon nang walang pag-uulit, ginagamit ang sumusunod na pormula:

Pn = n!

Aling pinalawak ang Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) … (2) (1).

Kaya sa nakaraang praktikal na halimbawa ay mailalapat ang mga sumusunod:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 na magkakaibang 4-digit na numero.

Ang mga ito ay ang 24 na arrays sa kabuuan: 2468, 2486, 2648, 2684, 2846, 2864, 4268, 4286, 4628, 4682, 4826, 4862, 6248, 6284, 6428, 6482, 6824, 6842, 8246, 8264, 8426, 8462, 8624, 8642.

Tulad ng makikita, walang pag-uulit sa anumang kaso, ang pagiging 24 iba't ibang mga numero.

Demo at pormula

24 Mga Kinakailangan ng 4 na magkakaibang figure

Susubukan naming pag-aralan nang mas partikular ang halimbawa ng 24 na magkakaibang 4-digit na mga arrays na maaaring mabuo gamit ang mga numero ng numero 2468. Ang bilang ng mga arrays (24) ay maaaring kilala bilang mga sumusunod:

Mayroon kang 4 na pagpipilian upang piliin ang unang digit, na nag-iiwan ng 3 pagpipilian upang piliin ang pangalawa. Dalawang mga numero na naitakda at 2 mga pagpipilian ay mananatili para sa pagpili ng pangatlong digit. Ang huling numero ay may isang pagpipilian lamang sa pagpili.

Samakatuwid, ang bilang ng mga permutasyon, na tinukoy ng P4, ay nakuha sa pamamagitan ng produkto ng mga pagpipilian sa pagpili sa bawat posisyon:

P4 = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 na magkakaibang 4-digit na numero

Sa pangkalahatan, ang bilang ng iba't ibang mga pahintulot o pag-aayos na maaaring isagawa sa lahat ng mga n elemento ng isang naibigay na set ay:

Pn = n! = n (n - 1) (n - 2) … (2) (1)

Ang expression n! ito ay kilala bilang n factorial at nangangahulugang produkto ng lahat ng mga likas na numero na namamalagi sa pagitan ng numero n at ang numero uno, kabilang ang pareho.

12 Mga Kinakailangan ng 2 magkakaibang figure

Ipagpalagay na nais mong malaman ang bilang ng mga permutasyon o dalawang-digit na numero na maaaring mabuo kasama ang mga numero ng numero 2468.

Ito ay magiging 12 pag-aayos sa kabuuan: 24, 26, 28, 42, 46, 48, 62, 64, 68, 82, 84, 86

Mayroon kang 4 na pagpipilian upang piliin ang unang digit, na nag-iiwan ng 3 numero upang piliin ang pangalawa. Samakatuwid, ang bilang ng mga pahintulot ng 4 na numero na kinuha dalawa, dalawa, na tinukoy ng 4P2, ay nakuha sa pamamagitan ng produkto ng mga pagpipilian sa pagpili sa bawat posisyon:

4P2 = 4 * 3 = 12 magkakaibang 2-digit na numero

Sa pangkalahatan, ang bilang ng iba't ibang mga pahintulot o pag-aayos na maaaring isagawa sa mga elemento ng n sa kabuuan sa isang naibigay na hanay ay:

nPr = n (n - 1) (n - 2) …

Ang expression sa itaas ay truncated bago maglaro n !. Upang makumpleto n! mula rito dapat nating isulat:

n! = n (n - 1) (n - 2) … (n - r) … (2) (1)

Ang mga kadahilanan na idinadagdag namin, ay kumakatawan sa isang factorial:

(n - r) … (2) (1) = (n - r)!

Kaya,

n! = n (n - 1) (n - 2) … (n - r) … (2) (1) = n (n - 1) (n - 2) … (n - r)!

Mula rito

n! / (n - r)! = n (n - 1) (n - 2) … = nPr

Mga halimbawa

Halimbawa 1

Gaano karaming iba't ibang mga 5-titik na mga kumbinasyon ng mga titik ay maaaring itayo kasama ang mga titik ng salitang KEY?

Nais naming hanapin ang bilang ng iba't ibang mga kumbinasyon ng titik ng 5 titik na maaaring itayo kasama ang 5 titik ng salitang KEY; iyon ay, ang bilang ng 5-titik na mga arrays na kinasasangkutan ng lahat ng mga titik na magagamit sa salitang KEY.

N ° ng 5 titik na salita = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120 magkakaibang kombinasyon ng sulat na 5.

Ang mga ito ay: CLAVE, VELAC, LCAEV, VLEAC, ECVLAC … hanggang sa 120 iba't ibang mga kumbinasyon ng sulat sa kabuuan.

Halimbawa 2

Mayroon kang 15 bilang na mga bola at nais mong malaman Gaano karaming iba't ibang mga pangkat ng 3 bola ang maaaring itayo gamit ang 15 bilang na bola?

Nais mong hanapin ang bilang ng mga pangkat ng 3 bola na maaaring gawin gamit ang 15 bilang na bola.

N ° ng mga pangkat ng 3 bola = 15P3 = 15! / (15 - 3)!

N ° ng mga pangkat ng 3 bola = 15 * 14 * 13 = 2730 grupo ng 3 bola

Malutas na ehersisyo

Ehersisyo 1

Ang isang tindahan ng prutas ay may isang stand ng exhibition na binubuo ng isang hilera ng mga compartment na matatagpuan sa entrance hall sa lugar. Sa isang araw, ang greengrocer ay nakakakuha ng ibinebenta: mga dalandan, saging, pineapples, peras at mansanas.

a) Gaano karaming iba't ibang mga paraan na kailangan mong mag-order ng exhibition stand?

b) Gaano karaming iba't ibang mga paraan na kailangan mong mag-order ng paninindigan kung, bilang karagdagan sa mga prutas na nabanggit (5), natanggap mo sa araw na iyon: mangga, mga milokoton, strawberry at ubas (4)?

a) Nais naming mahanap ang bilang ng iba't ibang mga paraan upang mag-order ng lahat ng mga bunga sa hilera ng pagpapakita; iyon ay, ang bilang ng mga pagsasaayos ng 5 mga item ng prutas na nagsasangkot sa lahat ng mga prutas na magagamit para ibenta sa araw na iyon.

N ° ng pag-aayos ng stand = P5 = 5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° ng pag-aayos ng stand = 120 mga paraan upang maipakita ang kinatatayuan

b) Nais naming mahanap ang bilang ng iba't ibang mga paraan upang mag-order ng lahat ng mga bunga sa hilera ng pagpapakita kung 4 na karagdagang mga item ang naidagdag; iyon ay, ang bilang ng mga pagsasaayos ng 9 na mga item ng prutas na nagsasangkot sa lahat ng mga prutas na magagamit para ibenta sa araw na iyon.

N ° ng pag-aayos ng stand = P9 = 9! = 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

N ° ng pag-aayos ng stand = 362,880 mga paraan upang maipakita ang paninindigan

Mag-ehersisyo 2

Ang isang maliit na outlet ng pagkain ay may isang lagay ng lupa na may sapat na puwang upang iparada ang 6 na sasakyan.

a) Gaano karaming iba't ibang mga paraan ng pag-order ng mga sasakyan sa isang lagay ng lupa ang maaaring mapili?

b) Ipagpalagay na ang isang magkasalungat na balangkas ng lupa ay nakuha na ang mga sukat na nagpapahintulot sa 10 mga sasakyan na naka-park. Gaano karaming iba't ibang mga form ng pag-aayos ng sasakyan ang maaaring mapili ngayon?

a) Nais naming hanapin ang bilang ng iba't ibang mga paraan ng pag-order ng 6 na sasakyan na maaaring mailagay sa balangkas ng lupain.

Hindi. Ang pag-aayos ng 6 na sasakyan = P6 = 6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Bilang ng pag-aayos ng 6 na sasakyan = 720 iba't ibang paraan ng pag-order ng 6 na sasakyan sa balangkas ng lupain.

b) Nais naming hanapin ang bilang ng iba't ibang mga paraan ng pag-order ng 10 mga sasakyan na maaaring mailagay sa balangkas ng lupa pagkatapos ng pagpapalawak ng isang lagay ng lupa.

N ° ng pag-aayos ng 10 mga sasakyan = P10 = 10!

Hindi ng mga kaayusan ng sasakyan = 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1

Bilang ng mga pag-aayos ng 10 mga sasakyan = 3,628,800 iba't ibang paraan ng pag-order ng 10 mga sasakyan sa isang lagay ng lupa.

Mag-ehersisyo 3

Ang isang florist ay may mga bulaklak na 6 na magkakaibang kulay upang makagawa ng mga floral flag ng mga bansa na may 3 kulay lamang. Kung kilala na ang pagkakasunud-sunod ng mga kulay ay mahalaga sa mga bandila,

a) Gaano karaming iba't ibang mga bandila ng 3 kulay ang maaaring gawin gamit ang 6 na magagamit na mga kulay?

b) Bumili ang nagbebenta ng mga bulaklak ng 2 karagdagang mga kulay sa 6 na mayroon na siya, ngayon kung gaano karaming mga iba't ibang mga bandila ng 3 kulay ang maaaring gawin?

c) Dahil mayroon kang 8 mga kulay, nagpasya kang palawakin ang iyong saklaw ng mga bandila. Gaano karaming iba't ibang mga 4 na kulay na mga watawat ang maaari mong gawin?

d) Ilan sa 2 kulay?

a) Nais naming hanapin ang bilang ng iba't ibang mga flag ng 3 kulay na maaaring gawin sa pamamagitan ng pagpili mula sa 6 na magagamit na mga kulay.

N ° ng 3-kulay na mga watawat = 6P3 = 6! / (6 - 3)!

N ° ng 3-kulay na mga watawat = 6 * 5 * 4 = 120 na mga watawat

b) Nais mong hanapin ang bilang ng iba't ibang mga flag ng 3 kulay na maaaring gawin sa pamamagitan ng pagpili mula sa 8 magagamit na mga kulay.

N ° ng 3-kulay na mga watawat = 8P3 = 8! / (8 - 3)!

N ° ng 3-kulay na mga watawat = 8 * 7 * 6 = 336 na mga watawat

c) Ang bilang ng iba't ibang mga kulay ng 4 na kulay na maaaring gawin sa pamamagitan ng pagpili mula sa 8 magagamit na mga kulay ay dapat kalkulahin.

Bilang ng 4 na kulay na mga watawat = 8P4 = 8! / (8 - 4)!

Hindi. Ng 4 na kulay na mga watawat = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 na mga watawat

d) Nais mong matukoy ang bilang ng iba't ibang mga kulay na 2 na mga flag na maaaring gawin sa pamamagitan ng pagpili mula sa 8 magagamit na mga kulay.

N ° ng 2-kulay na mga watawat = 8P2 = 8! / (8 - 2)!

Hindi. Ng 2-kulay na mga watawat = 8 * 7 = 56 na mga watawat

Mga Sanggunian

1. Boada, A. (2017). Gumamit ng permutation na may pag-uulit bilang pagtuturo ng mga eksperimento. Vivat Academia Magazine. Nabawi mula sa researchgate.net.
2. Canavos, G. (1988). Posibilidad at istatistika. Mga aplikasyon at pamamaraan. McGraw-Hill / Interamericana de México SA de CV
3. Salamin, G.; Stanley, J. (1996). Mga pamamaraan ng istatistika na hindi inilalapat sa mga agham panlipunan. Prentice Hall Hispanoamericana SA
4. Spiegel, M .; Stephens, L. (2008). Mga Istatistika. Pang-apat na ed. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Walpole, R .; Myers, R .; Myers, S .; Ye, Ka. (2007). Posible & Statistics para sa mga inhinyero at siyentipiko. Walong ed. Internasyonal na Serbisyo ng Prentice ng Pearson Education.
6. Webster, A. (2000). Ang mga istatistika na inilalapat sa negosyo at ekonomiya. Pangatlong ed. McGraw-Hill / Interamericana SA
7. (2019). Permutation. Nabawi mula sa en.wikipedia.org.