RECTANGULAR COORDINATES: MGA HALIMBAWA AT NALUTAS NA PAGSASANAY - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga hugis-parihaba na coordinate o Cartesian ay ang mga nakuha sa orthogonally projecting ang tatlong cartesian axes X, Y, Z isang punto na matatagpuan sa three - dimensional space.

Ang mga axes ng Cartesian ay magkakaugnay na mga linya na patayo sa bawat isa. Sa sistema ng coordinate ng Cartesian, ang bawat puntong nasa puwang ay itinalaga ng tatlong tunay na numero na kung saan ay ang mga hugis-parihaba na coordinate.

Larawan 1. Rectangular coordinates ng point P (Sariling pagpapaliwanag)

Ang isang eroplano ay isang subspace ng three-dimensional space. Sa kaso ng pagsasaalang-alang ng mga puntos sa isang eroplano, pagkatapos ay sapat na upang pumili ng isang pares ng patayo na axes X, Y bilang sistema ng Cartesian. Pagkatapos ang bawat punto sa eroplano ay itinalaga ng dalawang tunay na numero na mga hugis-parihaba na coordinate.

Pinagmulan ng mga hugis-parihaba na coordinate

Ang mga rekord ng Parectangular ay orihinal na iminungkahi ng Pranses na matematiko na si René Descartes (1596 at 1650), kung kaya't tinawag silang Cartesian.

Sa ideyang ito ni Descartes, ang mga puntos ng eroplano at puwang ay itinalaga ng mga numero, upang ang mga geometriko na numero ay may isang algebraic equation na nauugnay at ang klasikal na geometric theorems ay maaaring napatunayan algebraically. Sa mga coordinate ng Cartesian, ipinanganak ang analystical geometry.

Ang eroplano ng Cartesian

Kung sa isang eroplano dalawang linya ng patayo ang napili na bumalandra sa isang punto O; at kung, bilang karagdagan, ang bawat linya ay itinalaga ng isang direksyon at isang bilang ng sukat sa pagitan ng sunud-sunod na mga punto ng equidistant, kung gayon mayroong isang sistema o eroplano ng Cartesian kung saan ang bawat punto ng eroplano ay nauugnay sa isang iniutos na pares ng dalawang tunay na numero na kani-kanilang mga pag-asa ayon sa pagkakabanggit sa ang X at Y axes.

Ang mga puntos A = (3, 2); B = (- 2, 3); Ang C = (- 2, -3) at D = (3, -3) ay kinakatawan sa eroplano ng Cartesian tulad ng ipinakita sa ibaba:

Larawan 2. Mga puntos sa eroplano ng Cartesian. (Sariling pagsasaliksik)

Tandaan na ang dalawang axes X at Y ay naghahati ng eroplano sa apat na sektor na tinatawag na quadrant. Ang point A ay nasa unang kuwadrante, ang point B ay nasa pangalawang kuwadrante, ang point C ay nasa ikatlong kuwadrante, at ang point D ay nasa ikaapat na kuwadrante.

Distansya sa pagitan ng dalawang puntos

Ang distansya sa pagitan ng dalawang puntos A at B sa eroplano ng Cartesian ay ang haba ng segment na sumali sa kanila. Ang distansya na ito ay maaaring matalinong kinakalkula tulad ng sumusunod:

d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (Ni - Ay) ^ 2)

Ang pormula sa itaas ay nakuha sa pamamagitan ng pag-apply ng Pythagorean theorem.

Ang paglalapat ng formula na ito sa mga punto A, B sa figure 2 mayroon kami:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

Iyon ay, d (A, B) = 5.10 mga yunit. Tandaan na ang distansya ay nakuha nang walang pangangailangan upang masukat sa isang pinuno, isang ganap na algebraic na pamamaraan ang sinundan.

Analytical expression ng isang linya

Pinahihintulutan ng mga rekord ng rektanggulo ng analytical na representasyon ng mga pangunahing geometric na mga bagay tulad ng punto at linya. Dalawang puntos A at B ang tukuyin ang isang linya. Ang dalisdis ng linya ay tinukoy bilang ang quotient sa pagitan ng pagkakaiba ng Y coordinates ng point B minus A, na hinati sa pagkakaiba ng X coordinates ng point B minus A:

slope = (Ni - Ay) / (Bx - Ax)

Ang anumang point P ng mga coordinate (x, y) na kabilang sa linya (AB) ay dapat magkaroon ng parehong slope:

slope = (y - Ay) / (x - Ax)

Ang equation na nakuha sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay ng mga slope ay ang analitikal o algebraic na representasyon ng linya na dumadaan sa mga punto A at B:

(y - Ay) / (x - Ax) = (Ni - Ay) / (Bx - Ax).

Kung kukuha tayo para sa A at B ng hugis-parihaba na coordinate ng figure 2 mayroon kami:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(y - 2) / (x - 3) = -⅕

Sa partikular na kaso mayroon kaming isang linya na may negatibong slope -⅕, na nangangahulugang sa pamamagitan ng paghanap sa isang punto sa linya at pagdaragdag ng x-coordinate ng isang yunit, ang y-coordinate ay bumababa ng 0.2 na mga yunit.

Ang pinaka-karaniwang paraan upang isulat ang equation ng linya sa eroplano ay kasama ang y coordinate na na-clear bilang isang function ng variable x:

y = - (1/5) x + 13/5

Mga halimbawa

Halimbawa 1

Makuha sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng analitikal ang distansya sa pagitan ng mga puntos C at A, pagiging ang hugis-parihaba na coordinate ng C = (-2, -3) at ng mga A = (3,2).

Ang pormula para sa distansya ng Euclidean sa pagitan ng dalawang puntos na ito ay nakasulat na tulad nito:

d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

Pagsusulat ng kanilang mga kaukulang mga hugis-parihaba na coordinate na mayroon kami:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7.07

Halimbawa 2

Makuha ang equation ng linya na dumadaan sa point C ng mga coordinate (-2, -3) at point P ng mga coordinate (2, 0).

Una, ang slope ng linya ng CP ay nakuha:

slope = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

Ang anumang point Q ng mga pangkaraniwang hugis-parihaba na coordinate (x, y) na kabilang sa linya ng CP ay dapat magkaroon ng parehong slope:

slope = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

Sa madaling salita, ang equation ng line CP ay:

(y +3) / (x +2) = ¾

Ang isang alternatibong paraan upang isulat ang equation ng linya ng CP ay ang paglutas para sa y:

y = ¾ x - 3/2

Malutas na ehersisyo

Ehersisyo 1

Makuha ang mga hugis-parihaba na coordinate ng punto ng intersection sa pagitan ng mga linya y = - (1/5) x + 13/5 at ang linya y = ¾ x - 3/2.

Solusyon: Sa pamamagitan ng kahulugan, ang punto ng intersection ng dalawang linya ay nagbabahagi ng parehong mga hugis-parihaba na coordinate. Samakatuwid, ang mga y-coordinates sa punto ng intersection ay magkapareho para sa parehong mga linya:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

na humahantong sa sumusunod na expression:

(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

paglutas ng kabuuan ng mga praksiyong nakukuha namin:

19/20 x = 41/10

Paglutas para sa x:

x = 82/19 = 4.32

Upang makuha ang halaga ng y ng intersection, ang halaga ng x ay nakuha ay nahalili sa alinman sa mga linya:

y = ¾ 4.32 - 3/2 = 1.74

Nangangahulugan ito na ang mga ibinigay na linya ay bumabagay sa puntong ko ng mga coordinate I = (4.32, 1.74).

Mag-ehersisyo 2

Makuha ang equation ng circumference na dumadaan sa point R ng mga rectangular coordinates (3, 4) at mayroon itong sentro sa pinagmulan ng mga coordinate.

Solusyon: Ang radius R ay ang distansya mula sa point R hanggang sa pinagmulan O ng mga coordinate (0, 0).

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

Iyon ay, ito ay isang bilog ng radius 5 nakasentro sa (0,0).

Ang anumang point P (x, y) sa circumference ay dapat magkaroon ng parehong distansya 5 mula sa gitna (0, 0) upang maaari itong maisulat:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Na ibig sabihin:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Upang maalis ang parisukat na ugat, ang parehong mga miyembro ng pagkakapantay-pantay ay parisukat, nakakakuha:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Ano ang equation ng circumference.

Ang halimbawang ito ay naglalarawan ng kapangyarihan ng hugis-parihaba na coordinate system, na nagbibigay-daan upang matukoy ang mga geometric na bagay, tulad ng circumference, nang hindi kinakailangang gumamit ng papel, lapis at kumpas. Ang hiniling na circumference ay natutukoy lamang ng mga pamamaraan ng algebraic.

Mga Sanggunian

1. Arfken G at Weber H. (2012). Mga pamamaraan sa matematika para sa mga pisiko. Isang komprehensibong gabay. Ika-7 na edisyon. Akademikong Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Pagkalkula cc. Malutas ang mga problema ng mga hugis-parihaba na coordinate. Nabawi mula sa: calculo.cc
3. Weisstein, Eric W. "Mga Coordinates ng Cartesian." Mula sa MathWorld-Isang Wolfram Web. Nabawi mula sa: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Sistema ng coordinate ng Cartesian. Nabawi mula sa: en.wikipedia.com