Ang additive na agnas ng isang positibong integer ay binubuo ng pagpapahayag nito bilang isang kabuuan ng dalawa o higit pang mga positibong integer. Sa gayon, mayroon kaming na ang bilang 5 ay maaaring maipahayag bilang 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 o 5 = 1 + 2 + 2. Ang bawat isa sa mga paraang ito ng pagsulat ng numero 5 ay ang tatawagin nating additive decomposition.

Kung bigyang-pansin natin makikita natin na ang mga expression 5 = 2 + 3 at 5 = 3 + 2 ay kumakatawan sa parehong komposisyon; pareho silang pareho ng mga numero. Gayunpaman, para lamang sa kaginhawaan, ang bawat isa sa mga pagdaragdag ay karaniwang nakasulat kasunod ng criterion mula sa pinakamababang hanggang sa pinakamataas.

Dagdag na agnas

Bilang isa pang halimbawa maaari nating kunin ang numero 27, na maipahayag natin bilang:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Ang additive na agnas ay isang napaka-kapaki-pakinabang na tool na nagbibigay-daan sa amin upang mapalakas ang aming kaalaman sa mga system numbering.

Canonical additive agnas

Kung mayroon kaming mga numero na may higit sa dalawang numero, ang isang partikular na paraan upang mabulok ang mga ito ay nasa mga multiple ng 10, 100, 1000, 10 000, atbp, na bumubuo. Ang ganitong paraan ng pagsulat ng anumang numero ay tinatawag na kanonical additive decomposition. Halimbawa, ang bilang na 1456 ay maaaring mabulok tulad ng sumusunod:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Kung mayroon tayong bilang 20 846 295, ang kanonical additive decomposition na ito ay:

20 846 295 = 20,000,000 + 800,000 + 40,000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Salamat sa agnas na ito, makikita natin na ang halaga ng isang naibigay na numero ay ibinibigay ng posisyon na nasasakop nito. Alamin natin ang mga numero 24 at 42 bilang isang halimbawa:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Dito makikita natin na sa 24 ang 2 ay may halaga ng 20 na yunit at ang 4 isang halaga ng 4 na yunit; sa kabilang banda, sa 42 ang 4 ay may halaga ng 40 yunit at ang 2 ng dalawang yunit. Kaya, kahit na ang parehong mga numero ay gumagamit ng parehong mga numero, ang kanilang mga halaga ay ganap na naiiba dahil sa posisyon na nasasakup nila.

Aplikasyon

Ang isa sa mga application na maibibigay namin sa dagdag na agnas ay sa ilang mga uri ng mga patunay, kung saan kapaki-pakinabang ito upang makita ang isang positibong integer bilang kabuuan ng iba.

Halimbawa ng teorema

Isagawa natin bilang isang halimbawa ang sumusunod na teorema na may kani-kanilang mga patunay.

- Hayaan ang Z ay isang 4-digit na integer, kung gayon ang Z ay nahahati sa 5 kung ang kaukulang figure nito sa mga yunit ay zero o lima.

Demonstrasyon

Tandaan natin kung ano ang pagkakaiba-iba. Kung mayroon kaming "a" at "b" integer, sinasabi namin na "isang" naghahati "b" kung mayroong isang integer "c" tulad na b = a * c.

Ang isa sa mga katangian ng pagkakaiba-iba ay nagsasabi sa amin na kung "a" at "b" ay nahahati sa pamamagitan ng "c", kung gayon ang pagbabawas "ab" ay nahahati din.

Hayaan ang Z ay isang 4-digit na integer; samakatuwid, maaari naming isulat ang Z bilang Z = ABCD.

Gamit ang canonical additive decomposition mayroon kami:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Malinaw na ang A * 1000 + B * 100 + C * 10 ay nahahati sa 5. Dahil dito mayroon tayong Z na nahahati sa 5 kung Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) ay nahahati sa 5.

Ngunit ang Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D at D ay isang solong numero ng numero, kaya ang tanging paraan para sa pagkakahiwalay ng 5 ay para ito ay maging 0 o 5.

Samakatuwid, ang Z ay nahahati sa 5 kung D = 0 o D = 5.

Tandaan na kung ang Z ay may mga numero ang patunay ay pareho, pareho lamang ang nagbabago na magsusulat tayo ngayon Z = A ₁ A ₂ … A _n at ang layunin ay patunayan na ang A _n ay zero o lima.

Mga Bahagi

Sinabi namin na ang isang pagkahati ng isang positibong integer ay isang paraan na maaari nating isulat ang isang bilang bilang isang kabuuan ng mga positibong integer.

Ang pagkakaiba sa pagitan ng isang additive agnas at isang pagkahati ay na, habang ang una ay hinahangad na hindi bababa sa maaari itong mabulok sa dalawang mga dagdag o higit pa, ang pagkahati ay hindi may paghihigpit na ito.

Kaya, mayroon kaming mga sumusunod:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Ang nasa itaas ay mga partisyon ng 5.

Iyon ay, mayroon kaming bawat pagdaragdag ng agnas ay isang pagkahati, ngunit hindi ang bawat pagkahati ay kinakailangan isang additive na agnas.

Sa teorya ng bilang, ang pangunahing teorema ng aritmetika ay ginagarantiyahan na ang bawat integer ay maaaring natatanging isinulat bilang isang produkto ng mga primes.

Kapag nag-aaral ng mga partisyon, ang layunin ay upang matukoy kung gaano karaming mga paraan ang isang positibong integer ay maaaring isulat bilang kabuuan ng iba pang mga integer. Samakatuwid, tinukoy namin ang pag-andar ng pagkahati tulad ng ipinakita sa ibaba.

Kahulugan

Ang partisyon function p (n) ay tinukoy bilang ang bilang ng mga paraan na ang isang positibong integer n ay maaaring isulat bilang isang kabuuan ng mga positibong integer.

Ang pagbabalik sa halimbawa ng 5, mayroon tayo na:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Sa gayon, p (5) = 7.

Mga graphic

Ang parehong mga partisyon at mga additive decompositions ng isang numero n ay maaaring kinakatawan geometrically. Ipagpalagay na mayroon kaming isang additive na agnas ng n. Sa agnas na ito ang mga pagdaragdag ay maaaring isagawa upang ang mga miyembro ng kabuuan ay iniutos mula sa hindi bababa sa pinakamalaki. Kaya, okay:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ + … + a _r kasama

sa ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤ … ≤ a _r .

Maaari naming i-graph ang agnas na ito sa sumusunod na paraan: sa isang unang hilera ay minarkahan namin ang _1- point, pagkatapos ay sa susunod na minarkahan namin ang _2- point, at iba pa hanggang sa makarating kami sa _r .

Isaalang-alang ang bilang 23 at ang mga sumusunod na agnas:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Nag-order kami ng agnas na ito at mayroon kami:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Ang kaukulang graph nito ay: