TRANSCENDENT FUNCTION: MGA URI, KAHULUGAN, MGA KATANGIAN, HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga pangunahing function na transcendental ay ang eksponensyal, logarithmic, trigonometric, kabaligtaran na mga function ng trigonometric, hyperbolic at kabaligtaran na mga function ng hyperbolic. Iyon ay, ang mga ito ay hindi maipahayag sa pamamagitan ng isang polynomial, isang quotient of polynomial o mga ugat ng polynomial.

Ang mga di-elementarya na transcendent function ay kilala rin bilang mga espesyal na pag-andar at kasama sa mga ito ay maaaring mapangalanan ang function ng error. Ang mga algebraic function (polynomial, quotients ng polynomial at mga ugat ng polynomial) kasama ang mga pangunahing function na transcendental ay bumubuo kung ano ang kilala sa matematika bilang pangunahing mga pag-andar.

Ang mga function na Transcendent ay itinuturing din na mga resulta mula sa mga operasyon sa pagitan ng mga transcendent function o sa pagitan ng mga function na transcendent at algebraic. Ang mga operasyong ito ay: ang kabuuan at pagkakaiba ng mga pag-andar, produkto at quotient ng mga pag-andar, pati na rin ang komposisyon ng dalawa o higit pang mga pag-andar.

Kahulugan at pag-aari

Pag-andar ng pagpapaunlad

Ito ay isang tunay na pag-andar ng tunay na independiyenteng variable ng form:

f (x) = a ^ x = a ^x

kung saan ang isang ay isang nakapirming positibong tunay na numero (a> 0) na tinatawag na base. Ang circumflex o superscript ay ginagamit upang magpahiwatig ng potentiating operation.

Sabihin nating isang = 2 kung gayon ang hitsura ay tulad nito:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

Alin ang susuriin para sa ilang mga halaga ng independyenteng variable x:

Nasa ibaba ang isang graph kung saan ang exponential function ay kinakatawan para sa ilang mga halaga ng base, kabilang ang base e (Neper number e ≃ 2.72). Ang batayang e ay napakahalaga na sa pangkalahatan ay nagsasalita ng isang pagpapaunlad na pag-andar na iniisip natin na e ^ x, na kung saan ay tinutukoy din na exp (x).

Larawan 1. Natatalakay na pagpapaandar a ^ x, para sa iba't ibang mga halaga ng base a. (Sariling pagsasaliksik)

Mga katangian ng exponential function

Mula sa figure 1 mapapansin na ang domain ng exponential function ay ang tunay na mga numero (Dom f = R ) at ang saklaw o landas ay ang positibong reals (Ran f = R ⁺ ).

Sa kabilang banda, anuman ang halaga ng base a, lahat ng mga pagpapaandar ng exponential ay dumadaan sa punto (0, 1) at sa pamamagitan ng punto (1, a).

Kapag ang batayang isang> 1, pagkatapos ay ang pagpapaandar ay tumataas at kapag 0 <a <1 ang pag-andar ay bumababa.

Ang mga kurba ng y = a ^ x at y = (1 / a) ^ x ay simetriko tungkol sa Y axis.

Maliban sa kaso ng isang = 1, ang pagpaparami ng pag-andar ay may kahulugan, samakatuwid nga, sa bawat halaga ng imahe ay tumutugma sa isa at isa lamang na panimulang halaga.

Pag-andar ng Logarithmic

Ito ay isang tunay na pag-andar ng tunay na independiyenteng variable batay sa kahulugan ng logarithm ng isang numero. Ang logarithm batay sa isang numero ng x ay ang bilang y kung saan ang batayan ay dapat na itaas upang makuha ang argumento x:

mag-log _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

Iyon ay, ang pag-andar ng logarithm batay sa ay ang kabaligtaran na function ng exponential function na batay sa.

Halimbawa:

mag-log ₂ 1 = 0, mula sa 2 ^ 0 = 1

Ang isa pang kaso, mag-log ₂ 4 = 2, dahil ang 2 ^ 2 = 4

Ang root logarithm ng 2 ay log ₂ √2 = ½, dahil ang 2 ^ ½ = √2

mag-log ₂ ¼ = -2, mula noong 2 ^ (- 2) = ¼

Nasa ibaba ang isang graph ng pag-andar ng logarithm sa iba't ibang mga base.

Larawan 2. Natatalakay na pag-andar para sa iba't ibang mga halaga ng base. (Sariling pagsasaliksik)

Mga katangian ng pag-andar ng logarithm

Ang domain ng pag-andar ng logarithm y (x) = mag-log a (x) ay ang positibong tunay na mga numero R + . Ang travel hanay o ay tunay na numero R .

Anuman ang base, ang pag-andar ng logarithm ay palaging dumadaan sa punto (1,0) at ang punto (a, 1) ay kabilang sa graph ng pagpapaandar na iyon.

Sa kaso na ang base a ay mas malaki kaysa sa pagkakaisa (a> 1) ang pag-andar ng logarithm ay tumataas. Ngunit kung (0 <a <1) kung gayon ito ay isang pagbawas sa pag-andar.

Sine, Cosine, at Mga Pag-andar ng Tangent

Ang tine function ay nagtatalaga ng isang tunay na numero at sa bawat halaga ng x, kung saan ang x ay kumakatawan sa sukat ng isang anggulo sa mga radian. Upang makuha ang halaga ng Sen (x) ng isang anggulo, ang anggulo ay kinakatawan sa bilog ng yunit at ang projection ng sinabi na anggulo sa vertical axis ay ang sine na naaayon sa anggulong iyon.

Ang trigonometric na bilog at sine para sa iba't ibang mga halaga ng anggulo X1, X2, X3, at X4 ay ipinapakita sa ibaba (sa Larawan 3).

Larawan 3. Trigonometric bilog at ang sine ng iba't ibang mga anggulo. (Sariling pagsasaliksik)

Tinukoy sa paraang ito, ang maximum na halaga na maaaring magkaroon ng function na Sen (x) ay 1, na nangyayari kapag x = π / 2 + 2π n, kung saan n ay isang integer (0, ± 1, ± 2,). Ang pinakamababang halaga na maaaring gawin ng Sen (x) ay nangyayari kapag x = 3π / 2 + 2π n.

Ang kosine function y = Cos (x) ay tinukoy sa isang katulad na paraan, ngunit ang projection ng angular na mga posisyon P1, P2, atbp ay isinasagawa sa pahalang na axis ng trigonometric na bilog.

Sa kabilang banda, ang function y = Tan (x) ay ang quotient sa pagitan ng function ng sine at ang pag-andar ng kosine.

Nasa ibaba ang isang graph ng mga transcendent function na Sen (x), Cos (x) at Tan (x)

Larawan 4. Graph ng mga transcendent function, Sine, Cosine at Tangent. (Sariling pagsasaliksik)

Mga derivatibo at integral

Pinagmulan ng exponential function

Ang derivative y 'ng exponential function y = a ^ x ay ang function a ^ x pinarami ng natural logarithm ng base a:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

Sa partikular na kaso ng base e, ang hinango ng exponential function ay ang pag-andar ng eksponensial mismo.

Pagsasama ng exponential function

Ang hindi tiyak na integral ng isang ^ x ay ang pag-andar mismo na hinati ng natural na logarithm ng base.

Sa partikular na kaso ng base e, ang integral ng pagpapaandar ng pagpaparami ay ang pagpapaandar ng sarili.

Talahanayan ng mga derivatibo at integral ng mga transcendent function

Nasa ibaba ang isang talahanayan ng buod ng mga pangunahing pag-andar ng transendente, ang kanilang mga derivatives at hindi natukoy na integral (antiderivatives):

Ang talahanayan ng mga derivatibo at walang katiyakan integral para sa ilang mga transcendent function. (Sariling pagsasaliksik)

Mga halimbawa

Halimbawa 1

Hanapin ang pag-andar na nagreresulta mula sa komposisyon ng pagpapaandar f (x) = x ^ 3 kasama ang function g (x) = kos (x):

(ulap) (x) = f (g (x)) = kos ³ (x)

Ang derivative at ang hindi tiyak na integral nito ay:

Halimbawa 2

Hanapin ang komposisyon ng function g gamit ang function f, kung saan g at f ang mga function na tinukoy sa nakaraang halimbawa:

(gof) (x) = g (f (x)) = kos (x ³ )

Dapat pansinin na ang komposisyon ng mga pag-andar ay hindi isang commutative operation.

Ang derivative at ang walang katiyakan integral para sa pagpapaandar na ito ay ayon sa pagkakabanggit:

Ang integral ay naiwan na ipinahiwatig dahil hindi posible na isulat ang resulta bilang isang kumbinasyon ng mga elementong pag-andar nang eksakto.

Mga Sanggunian

1. Calculus ng isang Nag-iiba-iba. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Pag-aaral ng Cengage, Nov 10 2008
2. Ang Implicit Theorem Function: Kasaysayan, Teorya, at Aplikasyon. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, Nobyembre 9. 2012
3. Multivariable Pagsusuri. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, Dis 13. 2010
4. System Dynamics: Pagmomodelo, Simulation, at Control ng Mechatronic Systems. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, Mar 7 2012
5. Calculus: Matematika at Pagmomolde. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, Enero 1 1999
6. wikipedia. Transcendent function. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com