ISANG DIMENSIONAL NA ALON: EXPRESSION NG MATEMATIKA AT MGA HALIMBAWA - PISIKAL - 2025

Ang isang dimensional na alon ay ang mga kumakalat sa isang direksyon, anuman ang panginginig ng boses ay nangyayari sa parehong direksyon ng pagpapalaganap o hindi. Ang isang mabuting halimbawa nito ay ang alon na naglalakbay sa pamamagitan ng isang nakatali na string tulad ng isang gitara.

Sa isang nakahalang alon na eroplano, ang mga particle ay nag-vibrate sa isang patayong direksyon (tumaas sila at bumagsak, tingnan ang pulang arrow sa figure 1), ngunit ito ay isang dimensional dahil ang kaguluhan ay naglalakbay sa isang direksyon lamang, na sumusunod sa dilaw na arrow.

Larawan 1: Ang imahe ay kumakatawan sa isang one-dimensional na alon. Tandaan na ang mga tagaytay at lambak ay bumubuo ng mga linya na magkakatulad sa bawat isa at patayo sa direksyon ng pagpapalaganap. Pinagmulan: ginawa ng sarili.

Ang isang-dimensional na alon ay lumilitaw nang madalas sa pang-araw-araw na buhay. Sa sumusunod na seksyon ang ilang mga halimbawa ng mga ito at din ng mga alon na hindi isang-dimensional ay inilarawan, upang malinaw na maitaguyod ang mga pagkakaiba.

Mga halimbawa ng mga one-dimensional na alon at non-one-dimensional na alon

Isang dimensional na alon

Narito ang ilang mga halimbawa ng isang-dimensional na alon na madaling masunod:

- Isang tunog na pulso na naglalakbay sa isang tuwid na bar, dahil ito ay isang kaguluhan na kumakalat sa buong haba ng bar.

- Isang alon na bumibiyahe sa isang channel ng tubig, kahit na ang pag-alis ng tubig sa ibabaw ay hindi kahanay sa channel.

- Ang mga alon na kumalat sa isang ibabaw o sa pamamagitan ng three-dimensional na puwang ay maaari ding maging isang dimensional, hangga't ang mga alon ng mga alon ay mga planong kahanay sa bawat isa at paglalakbay sa isang direksyon lamang.

Mga di-dimensional na alon

Ang isang halimbawa ng isang non-one-dimensional na alon ay matatagpuan sa mga alon na bumubuo sa isang pa rin tubig na ibabaw kapag ang isang bato ay nahulog. Ito ay isang dalawang dimensional na alon na may isang cylindrical wavefront.

Larawan 2. Ang imahe ay kumakatawan sa isang halimbawa ng kung ano ang HINDI AY isang dimensional na alon. Tandaan na ang mga crests at lambak ay bumubuo ng mga lupon at ang direksyon ng pagpapalaganap ay radial palabas, pagkatapos ito ay isang pabilog na dalawang-dimensional na alon. Pinagmulan: Pixabay.

Ang isa pang halimbawa ng isang non-one-dimensional na alon ay ang tunog ng alon na binubuo ng isang paputok sa pamamagitan ng pagsabog sa isang tiyak na taas. Ito ay isang three-dimensional na alon na may mga spherical wave fronts.

Ang expression ng matematika ng isang one-dimensional na alon

Ang pinaka-pangkalahatang paraan ng pagpapahayag ng isang one-dimensional na alon na nagpapalaganap nang walang pagpapalambing sa positibong direksyon ng xy axis na may tulin v ay, matematika:

Sa expression na ito ay kumakatawan sa kaguluhan sa posisyon x sa oras t. Ang hugis ng alon ay ibinibigay ng pagpapaandar f. Halimbawa, ang pag-andar ng alon na ipinakita sa figure 1 ay: y (x, t) = kos (x - vt) at ang imahe ng alon ay tumutugma sa instant t = 0.

Ang isang alon na tulad nito, na inilarawan sa pamamagitan ng isang pag-andar ng kosine o ngin, ay tinatawag na isang harmonic wave. Bagaman hindi lamang ito ang pagbubuo ng alon na umiiral, ito ay pinakamahalaga, sapagkat ang anumang iba pang mga alon ay maaaring kinakatawan bilang isang superposition o kabuuan ng mga harmonic waves. Ito ang kilalang Fourier teorem, na malawak na ginagamit upang ilarawan ang mga senyas ng lahat ng uri.

Kapag ang alon ay naglalakbay sa negatibong direksyon ng x-axis, baguhin lamang ang v to -v sa argumento, iniwan:

Ipinapakita ng Figure 3 ang animation ng isang alon na naglalakbay sa kaliwa: ito ay isang form na tinatawag na function na Lorentzian at ang expression ng matematika nito ay:

Sa halimbawang ito ang bilis ng pagpapalaganap ay v = 1, -isang yunit ng puwang para sa bawat yunit ng oras-.

Larawan 3. Halimbawa ng isang alon ng Lorentzian na naglalakbay sa kaliwa na may bilis v = 1. Pinagmulan: Inihanda ni F. Zapata na may Geogebra.

Isang-dimensional na equation ng alon

Ang equation ng alon ay isang bahagyang pagkakapareho ng pagkakapareho, ang solusyon kung saan siyempre isang alon. Itinatag nito ang kaugnayan sa matematika sa pagitan ng spatial na bahagi at temporal na bahagi nito, at may form:

Nagawa na halimbawa

Ang sumusunod ay ang pangkalahatang pagpapahayag y (x, t) para sa isang maharmonya na alon:

a) Ilarawan ang pisikal na kahulugan ng mga parameter A, k, ω at θo.

b) Ano ang kahulugan ng mga palatandaan ng ± sa pagtatalo ng kosine?

c) Patunayan na ang ibinigay na expression ay talaga ang solusyon ng equation ng alon ng nakaraang seksyon at hanapin ang bilis ng v sa pagpapalaganap.

Solusyon sa)

Ang mga katangian ng alon ay matatagpuan sa mga sumusunod na mga parameter:

Pangalawang derivative na may paggalang sa t: ∂ ² at / 2t ² = -ω ² . Isang ⋅ kos (k ⋅ x ± ω ⋅ t + θo)

Ang mga resulta ay nahalili sa equation ng alon:

Parehong A at ang kosinilya ay pinasimple, dahil lumilitaw ang mga ito sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay at ang argumento ng kosine ay pareho, kaya't binabawasan ang expression sa:

Alin ang nagpapahintulot upang makakuha ng isang equation para sa v sa mga tuntunin ng ω at k:

Mga Sanggunian

1. E-edukasyon. Katumbas ng isang-dimensional na harmonikong alon. Nabawi mula sa: e-ducativa.catedu.es
2. Ang sulok ng Physics. Wave klase. Nabawi mula sa: fisicaparatontos.blogspot.com.
3. Figueroa, D. 2006. Mga Waves at Dulang Pangkulay. Serye: Physics para sa Science at Engineering. Na-edit ni Douglas Figueroa. Simon Bolivar University. Caracas Venezuela.
4. Physics Lab. Wave motion. Nabawi mula sa: fisicalab.com.
5. Peirce, A. Lecture 21: Ang isang dimensional na Equation Wave: Solusyon ni D'Alembert. Nabawi mula sa: ubc.ca.
6. Wastong equation. Nabawi mula sa: en.wikipedia.com