MALING MGA LINYA: MGA KATANGIAN, EQUATION AT HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga pahilig na linya ay yaong mga hilig, alinman na may kaugnayan sa isang patag na ibabaw o iba pang linya na nagpapahiwatig ng isang partikular na address. Bilang halimbawa, isaalang-alang ang tatlong linya na iginuhit sa isang eroplano na lilitaw sa sumusunod na pigura.

Alam namin ang kani-kanilang mga kamag-anak na posisyon dahil inihambing namin ang mga ito sa isang linya ng sanggunian, na karaniwang ang x-axis na nagsasaad ng pahalang.

Larawan 1. Vertical, pahalang at pahilig na mga linya sa parehong eroplano. Pinagmulan: F. Zapata.

Sa ganitong paraan, ang pagpili ng pahalang bilang isang sanggunian, ang linya sa kaliwa ay patayo, ang isa sa gitna ay pahalang at ang isa sa kanan ay pahilig, dahil ito ay may kaugaliang paggalang sa pang-araw-araw na mga linya ng sanggunian.

Ngayon, ang mga linya na nasa parehong eroplano, tulad ng ibabaw ng papel o sa screen, ay sumasakop ng iba't ibang mga posisyon na may kaugnayan sa bawat isa, depende sa kung magkakali sila o hindi. Sa unang kaso sila ay mga lihim na linya, habang sa pangalawa, magkapareho sila.

Sa kabilang banda, ang mga lihim na linya ay maaaring maging pahilig na mga linya o patayo na linya. Sa parehong mga kaso, ang mga slope ng mga linya ay magkakaiba, ngunit ang mga pahilig na linya ay bumubuo ng mga anggulo ng α at β sa pagitan ng mga ito, naiiba mula sa 90º, habang ang mga anggulo na tinutukoy ng mga patayo na linya ay palaging 90º.

Ang sumusunod na pigura ay nagbubuod ng mga kahulugan na ito:

Larawan 2. Ang mga kaugnay na posisyon sa pagitan ng mga linya: kahanay, pahilig at patayo ay naiiba sa anggulo na kanilang nabubuo sa bawat isa. Pinagmulan: F. Zapata.

Pagkakapantay-pantay

Upang malaman ang mga kamag-anak na posisyon ng mga linya sa eroplano, kinakailangan na malaman ang anggulo sa pagitan nila. Tandaan na ang mga linya ay:

Paralel : kung mayroon silang magkatulad na dalisdis (magkatulad na direksyon) at hindi kailanman magkagulo, samakatuwid ang kanilang mga puntos ay pantay-pantay.

Ang mga coincident: kapag ang lahat ng mga punto nito ay nag-tutugma at samakatuwid ay may parehong libis, ngunit ang distansya sa pagitan ng mga puntos nito ay zero.

Ang mga dryers : kung ang kanilang mga slope ay magkakaiba, ang distansya sa pagitan ng kanilang mga puntos ay nag-iiba at ang intersection ay isang solong punto.

Kaya ang isang paraan upang malaman kung ang dalawang linya sa eroplano ay ligtas o kahanay ay sa pamamagitan ng kanilang dalisdis. Ang mga pamantayan ng paralelismo at perpendikularidad ng mga linya ay ang mga sumusunod:

Kung, alam ang mga dalisdis ng dalawang linya sa eroplano, wala sa mga pamantayan sa itaas ang natutugunan, tapusin namin na ang mga linya ay pahilig. Alam ang dalawang puntos sa isang linya, ang slope ay kinakalkula kaagad, tulad ng makikita natin sa susunod na seksyon.

Posible upang malaman kung ang dalawang linya ay lihim o kahanay sa pamamagitan ng paghahanap ng kanilang intersection, paglutas ng system ng mga equation na kanilang nabuo: kung may solusyon na sila ay mga lihim, kung walang solusyon ay magkapareho sila, ngunit kung ang mga solusyon ay walang hanggan, magkakasabay ang mga linya.

Gayunpaman, ang criterion na ito ay hindi ipagbigay-alam sa amin ang tungkol sa anggulo sa pagitan ng mga linyang ito, kahit na magkakaugnay sila.

Upang malaman ang anggulo sa pagitan ng mga linya, kailangan namin ng dalawang mga vectors u at v na kabilang sa bawat isa sa kanila. Kaya posible na malaman ang anggulo na kanilang nabuo sa pamamagitan ng produkto ng scalar ng mga vectors, na tinukoy sa ganitong paraan:

u • v = uvcos α

Katumbas ng linya sa eroplano

Ang isang linya sa eroplano ng Cartesian ay maaaring kinakatawan sa maraming mga paraan, tulad ng:

- Ang pormula na maiinterpresa: kung ang m ay ang slope ng linya at ang b ay ang intersection ng linya na may vertical axis, ang equation ng linya ay y = mx + b.

- Pangkalahatang equation ng linya : Ax + Sa pamamagitan ng + C = 0, kung saan m = A / B ang slope.

Sa eroplano ng Cartesian, ang mga vertical at pahalang na linya ay partikular na mga kaso ng equation ng linya.

- Mga linya ng Vertical : x = a

- Mga linya ng pahalang : y = k

Larawan 3. Sa kaliwa ang patayong linya x = 4 at ang pahalang na linya y = 6. Sa kanan sa isang halimbawa ng isang pahilig na linya. Pinagmulan: F. Zapata.

Sa mga halimbawa sa figure 3, ang vertical red line ay may equation x = 4, habang ang linya na kahanay sa x-axis (asul) ay may equation y = 6. Tulad ng sa linya sa kanan, nakikita natin na ito ay pahilig at upang mahanap ang equation nito ay ginagamit namin ang mga puntos na naka-highlight sa figure: (0,2) at (4,0) sa ganitong paraan:

Ang hiwa ng linyang ito gamit ang patayong axis ay y = 2, tulad ng makikita mula sa grap. Sa impormasyong ito:

Ang pagtukoy ng anggulo ng pagkahilig na may paggalang sa x-axis ay madali. Pakiramdam ko ay:

Samakatuwid ang positibong anggulo mula sa x axis hanggang sa linya ay: 180º - 26.6º = 153.4º

Mga halimbawa ng mga pahilig na linya

Larawan 4. Mga halimbawa ng mga pahilig na linya. Pinagmulan: fencers Ian Patterson. Nakasandal na tower ni Pisa. Pixabay.

Ang mga nakagagalit na linya ay lilitaw sa maraming mga lugar, bagay na bigyang-pansin upang mahanap ang mga ito sa arkitektura, palakasan, mga kable ng suplay ng kuryente, mga tubo at marami pang lugar. Sa likas na katangian ang mga nakatutuwang linya ay naroroon, tulad ng makikita natin sa ibaba:

Mga sinag ng ilaw

Ang paglalakbay sa araw ay naglalakbay sa isang tuwid na linya, ngunit ang bilog na hugis ng Earth ay nakakaapekto kung paano naaabot ang sikat ng araw sa ibabaw.

Sa larawan sa ibaba, malinaw nating makita na ang welga ng araw ay nag-iingat sa mga tropikal na rehiyon, ngunit sa halip ay maabot ang ibabaw nang labi sa mapagtimpi na mga rehiyon at sa mga poste.

Ito ang dahilan kung bakit naglalakbay ang mga sinag ng araw ng mas mahabang distansya sa paligid at ang init ay kumakalat sa isang mas malaking ibabaw (tingnan ang figure). Ang resulta ay ang mga lugar na malapit sa mga poste ay mas malamig.

Larawan 5. Ang mga sinag ng araw ay nahuhulog sa mapagtimpi na mga zone at mga poste, sa halip sila ay higit pa o hindi gaanong patayo sa mga tropiko. Pinagmulan: Wikimedia Commons.

Ang mga linya na wala sa parehong eroplano

Kung ang dalawang linya ay wala sa parehong eroplano, maaari pa rin silang maging pahilig o war war, tulad ng kilala rin sila. Sa kasong ito, ang kanilang mga vectors ng direktor ay hindi kahanay, ngunit dahil hindi sila kasali sa parehong eroplano, ang mga linya na ito ay hindi bumabagabag.

Halimbawa, ang mga linya sa figure 6 kanan ay malinaw sa iba't ibang mga eroplano. Kung titingnan mo ang mga ito mula sa itaas, maaari mong makita na sila ay bumalandra, ngunit wala silang isang pangkaraniwang punto. Sa kanan nakikita namin ang mga gulong ng bisikleta, na ang mga tagapagsalita ay tila tumatawid kapag tiningnan mula sa harapan.

Larawan 6. Maling mga linya na kabilang sa iba't ibang mga eroplano. Pinagmulan: kaliwa F. Zapata, kanang Pixabay.

Mga Sanggunian

1. Geometry. Direktor ng vector ng isang linya. Nabawi mula sa: juanbragado.es.
2. Larson, R. 2006. Calculus na may Analytical Geometry. Ika-8. Edisyon. McGraw Hill.
3. Ang matematika ay isang laro. Mga Linya at Mga anggulo. Nabawi mula sa: juntadeandalucia.es.
4. Mga tuwid na linya na bumalandra. Nabawi mula sa: profesoraltuna.com.
5. Villena, M. Analytical Geometry sa R3. Nabawi mula sa: dspace.espol.edu.ec.