GITNANG SIMETRYA: MGA KATANGIAN, HALIMBAWA AT EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2024

Ang dalawang puntos A at A 'ay may sentral na simetrya na may paggalang sa isang punto O kapag ang segment na AA' ay dumaan dito at ito rin ang midpoint ng AA '. Ang point O ay tinatawag na sentro ng symmetry.

Ang gitnang simetriko ng isang tatsulok na ABC na may paggalang sa isang punto O, ay isa pang tatsulok na A'B'C 'na may mga sumusunod na katangian:

-Homologous na mga segment ay pantay na haba

-Ang mga kaukulang anggulo ay may parehong sukatan.

Larawan 1. Triangle ABC at symmetric A'B'C '. Pinagmulan: F. Zapata.

Ipinapakita ng Figure 1 ang isang tatsulok na ABC (pula) at ang gitnang symmetry A'B'C '(berde), na may paggalang sa gitna ng simetrya O.

Sa parehong figure na ito, ang isang matulungin na tagamasid ay mapagtanto na ang parehong resulta ay nakuha sa pamamagitan ng paglalapat ng isang pag-ikot ng orihinal na tatsulok, hangga't ito ay 180º at nakasentro sa O.

Samakatuwid, ang isang sentral na simetrya ay katumbas ng isang 180º pagliko na may paggalang sa gitna ng simetrya.

Mga katangian ng gitnang simetrya

Ang isang sentral na simetrya ay may mga sumusunod na katangian:

-Ang sentro ng simetrya ay ang midpoint ng segment na sumali sa isang punto kasama ang simetrya nito.

-Ametriko punto ng isa pa na matatagpuan sa gitna ng simetrya, coincides sa gitna ng simetrya.

-Ang gitnang simetriko ng isang tatsulok ay isang bumbay na tatsulok (pantay) sa orihinal.

-Ang imahe sa pamamagitan ng gitnang simetrya ng isang bilog ay isa pang bilog na pantay na radius.

-Ang circumference ay may gitnang simetrya na may paggalang sa sarili nitong sentro.

Larawan 2. Disenyo na may gitnang simetrya. Pinagmulan: Pixabay.

-Ang ellipse ay may sentral na simetrya na may paggalang sa sentro nito.

-Ang isang segment ay may gitnang simetrya na may paggalang sa kalagitnaan nito.

-Ang equilateral tatsulok ay walang gitnang simetrya na may paggalang sa sentro nito, dahil ang simetrya nito, bagaman nabuo sa una, ay nagbibigay ng isang pinaikot na equilateral tatsulok.

-Ang mga parisukat ay may sentimetriko na may respeto sa kanilang sentro.

-Ang pentagon ay walang gitnang simetrya na may paggalang sa sentro nito.

-Ang mga polygons na may polyeton ay may sentral na simetrya kapag mayroon silang kahit isang bilang ng mga panig.

Mga halimbawa

Ang mga pamantayan sa simetrya ay may maraming mga aplikasyon sa agham at engineering. Ang gitnang simetrya ay naroroon sa likas na katangian, halimbawa ng mga kristal na yelo at cobwebs ay may ganitong uri ng simetrya.

Bukod dito, maraming mga problema ang madaling malutas kapag sinasamantala ang pagkakaroon ng gitnang simetrya at iba pang mga uri ng simetrya. Samakatuwid, ito ay maginhawa upang mabilis na matukoy kung nangyari ito.

Larawan 3. Ang mga kristal ng yelo ay may sentimetriko ng sentral. Pinagmulan: Pixabay.

Halimbawa 1

Dahil sa isang punto P ng mga coordinate (a, b), dapat nating hanapin ang mga coordinate ng symmetric P 'na may paggalang sa pinanggalingan O ng mga coordinate (0, 0).

Ang unang bagay ay upang itayo ang point P ', kung saan ang isang linya ay iguguhit na dumadaan sa pinagmulan O at sa puntong P. Ang equation ng linyang ito ay y = (b / a) x.

Ngayon tawagan natin (a ', b') ang mga coordinate ng simetriko point P '. Ang point P 'ay dapat magsinungaling sa linya na dumadaan sa O at samakatuwid ito ay totoo: b' = (b / a) a '. Bukod dito, ang distansya ng OP ay dapat na katumbas ng OP ', na sa pormang pang-analytical ay isinulat na tulad nito:

√ (isang ² + b ² ) = √ (isang ' ² + b' ² )

Ang sumusunod ay upang mapalitan ang b '= sa nakaraang expression at parisukat na magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay upang maalis ang parisukat na ugat: (a ² + b ² ) =

Sa pamamagitan ng pagkuha ng karaniwang kadahilanan at pagpapagaan, nakukuha natin ang isang ' ² = a ² . Ang ekwasyong ito ay may dalawang totoong solusyon: a '= + a o isang' = -a.

Upang makakuha ng b ', muli naming ginagamit ang b' = (b / a) a '. Kung ang positibong solusyon ng isang 'ay kahalili, nakarating kami sa b' = b. At kapag ang negatibong solusyon ay nahalili, pagkatapos b '= -b.

Nagbibigay ang positibong solusyon para sa P 'ng parehong punto P, kaya itinapon ito. Ang negatibong solusyon ay talagang nagbibigay sa mga coordinate ng simetriko point:

P ': (-a, -b)

Halimbawa 2

Kinakailangan na ipakita na ang isang segment na AB at ang gitnang symmetric A'B 'ay may parehong haba.

Simula sa mga coordinate ng point A, na kung saan ay (Ax, Ay) at sa punto ng B: (Bx, By), ang haba ng segment na AB ay ibinibigay ng:

d (AB) = √ ((Bx - Ax) ² + (Ni - Ay) ² )

Sa pamamagitan ng pagkakatulad, ang simetriko na segment A'B 'ay magkakaroon ng haba na ibinigay ng:

d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') ² + (Ni' - Ay ') ² )

Ang mga coordinate ng simetriko point A 'ay Ax' = -Ax at Ay '= -Ay. Katulad din ng mga B 'ay Bx' = -Bx at By '= -By. Kung ang mga coordinate na ito ay nahalili sa equation ng distansya d (A'B ') mayroon tayo:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ² ) na katumbas ng:

√ ((Bx - Ax) ² + (Ni - Ay) ² ) = d (AB)

Sa gayon ipinapakita na ang parehong mga segment ay may parehong haba.

Malutas na ehersisyo

- Ehersisyo 1

Ipakita nang analytically na ang sentral na simetriko O ng isang bilog ng radius R at sentro O ay ang parehong orihinal na bilog.

Solusyon

Ang equation ng isang bilog na may radius R at center O (0,0) ay:

x ² + y ² = R ² (Katumbas ng circumference C)

Kung sa bawat punto P ng circumference y ng mga coordinate (x, y) ang symmetric P 'ng mga coordinates (x', y ') ay matatagpuan, ang pagkakapantay-pantay ng sirkulasyon ng simetriko ay:

x ' ² + y' ² = R ² (Katumbas ng simetriko C ')

Ngayon tinutukoy namin ang resulta ng halimbawa 1, kung saan napagpasyahan na ang mga coordinate ng isang point P ', simetriko sa P at kasama ang mga coordinate (a, b), ay (-a, -b).

Ngunit sa ehersisyo na ito, ang point P ay may mga coordinate (x, y), kaya ang simetriko na P 'ay magkakaroon ng mga coordinate x' = -xe y '= -y. Pagsusulat nito sa equation ng simetriko bilog na mayroon kami:

(-x) ² + (-y) ² = R ²

Alin ang katumbas ng: x ² + y ² = R ² , pagtatapos na ang gitnang simetriko ng isang bilog na may paggalang sa sentro nito ay ang bilog mismo.

- Ehersisyo 2

Ipakita sa geometric form na ang sentral na simetrya ay pinapanatili ang mga anggulo.

Solusyon

Larawan 4. Konstruksyon ng mga simetriko na puntos para sa ehersisyo 2. Pinagmulan: F. Zapata.

Mayroong tatlong puntos na A, B at C sa eroplano. Ang simetriko nito A ', B' at C 'ay itinayo na may paggalang sa gitna ng simetrya O, tulad ng ipinapakita sa figure 4.

Ngayon ay dapat nating ipakita na ang anggulo ∡ABC = β ay may parehong sukat ng anggulo ∡A'B'C '= β'.

Dahil ang C at C 'ay simetriko, kung gayon ang OC = OC'. Katulad din ng OB = OB 'at OA = OA'. Sa kabilang banda, ang anggulo ∡BOC = ∡B'OC 'dahil ang mga ito ay tutol sa pamamagitan ng vertex.

Samakatuwid ang mga tatsulok na BOC at B'OC 'ay batiin dahil mayroon silang pantay na anggulo sa pagitan ng dalawang pantay na panig.

Dahil ang BOC ay naiipon sa B'OC 'kung gayon ang mga anggulo γ at γ' ay pantay. Ngunit ang mga anggulo na ito, bilang karagdagan sa pagtupad ng γ = γ ', ay panloob na kahalili sa pagitan ng mga linya ng BC at B'C', na nagpapahiwatig na ang linya ng BC ay kahanay sa B'C '.

Katulad nito ang BOA ay naiipon sa B'OA 'mula sa kung saan sinusundan nito ang α = α'. Ngunit ang α at α 'ay mga kahaliling panloob na anggulo sa pagitan ng mga linya ng BA at B'A', kung saan napagpasyahan na ang linya ng BA ay kahanay sa B'A '.

Dahil ang anggulo ng ∡ABC = β ay may mga tagiliran na magkakatulad sa anggulo ∡A'B'C '= β' at pareho rin ang talamak, napagpasyahan na:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Ang pagsulong sa ganitong paraan, na ang gitnang symmetry ay pinangangalagaan ang sukatan ng mga anggulo.

Mga Sanggunian

1. Baldor, JA 1973. Plane at Space Geometry. Central American Cultural.
2. Mga batas at formula ng matematika. Mga sistema ng pagsukat ng anggulo. Nabawi mula sa: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Nabawi mula sa: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Gitnang simetrya. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Tagapayo. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Magtakas ng mga panloob at panlabas na anggulo. Nabawi mula sa: lifeder.com