MILETUS TALES TEOREMA: UNA, PANGALAWA AT MGA HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang una at pangalawang teorema ng Thales ng Miletus ay batay sa pagtukoy ng mga tatsulok mula sa mga katulad na (unang teorema) o mula sa mga bilog (pangalawang teorema). Sobrang kapaki-pakinabang ang mga ito sa iba't ibang lugar. Halimbawa, ang unang teorama ay lubhang kapaki-pakinabang para sa pagsukat ng malalaking istruktura kapag walang sopistikadong mga instrumento sa pagsukat.

Si Thales ng Miletus ay isang matematiko na matematiko na nagbigay ng mahusay na mga kontribusyon sa geometry, kung saan ang dalawang teoryang ito ay nakatayo (sa ilang mga teksto ay isinulat din siya bilang Thales) at ang kanilang mga kapaki-pakinabang na aplikasyon. Ang mga resulta na ito ay ginamit sa buong kasaysayan at naging posible upang malutas ang isang iba't ibang mga iba't ibang mga problema sa geometriko.

Thales ng Miletus

Unang Teorem ng Thales

Ang unang teorema ng Thales ay isang napaka-kapaki-pakinabang na tool na, bukod sa iba pang mga bagay, pinapayagan ang pagtatayo ng isang tatsulok na katulad ng isa pa, na dati nang kilala. Mula dito ang iba't ibang mga bersyon ng teorema ay nagmula na maaaring mailapat sa maraming mga konteksto.

Bago ibigay ang iyong pahayag, tandaan natin ang ilang mga paniwala ng pagkakapareho ng mga tatsulok. Mahalaga, ang dalawang tatsulok ay magkatulad kung ang kanilang mga anggulo ay kaparehong (mayroon silang parehong sukatan). Nagreresulta ito sa katotohanan na kung ang dalawang tatsulok ay magkatulad, ang kanilang katumbas (o homologous) na panig ay proporsyonal.

Ang unang teorema ni Thales ay nagsasaad na kung ang isang linya ay iguguhit kahanay sa alinman sa mga panig nito sa isang naibigay na tatsulok, ang bagong tatsulok na nakuha ay magiging katulad sa paunang tatsulok.

Ang isang relasyon ay nakuha din sa pagitan ng mga anggulo na nabuo, tulad ng ipinapakita sa sumusunod na pigura.

Application

Kabilang sa maraming mga aplikasyon nito, ang isa sa mga partikular na interes ay nakatayo at may kinalaman sa isa sa mga paraan kung saan ang mga sukat ay ginawa ng malalaking istruktura sa Antiquity, isang oras kung saan nanirahan si Thales at kung saan walang mga modernong aparato na pagsukat na umiiral sila ngayon.

Sinasabing ito ay kung paano pinamamahalaan ni Thales na masukat ang pinakamataas na piramide sa Egypt, Cheops. Para sa mga ito, inaakala ni Thales na ang mga pagmumuni-muni ng mga sinag ng solar ay tumama sa lupa na bumubuo ng mga magkakatulad na linya. Sa ilalim ng palagay na ito, ipinako niya ang isang patpat o tungkod nang patayo sa lupa.

Pagkatapos ay ginamit niya ang pagkakapareho ng dalawang nagreresultang mga tatsulok, na nabuo sa pamamagitan ng haba ng anino ng pyramid (na madaling kalkulahin) at ang taas ng pyramid (ang hindi kilalang), at ang iba pang nabuo ng mga haba ng anino at ang taas ng baras (na maaari ring madaling kalkulahin).

Gamit ang proporsyonalidad sa pagitan ng mga haba na ito, ang taas ng pyramid ay maaaring malutas at kilalanin.

Bagaman ang pamamaraang ito ng pagsukat ay maaaring magbigay ng isang makabuluhang error sa pag-ukol na may paggalang sa kawastuhan ng taas at nakasalalay sa paralelismo ng mga sinag ng solar (na siya namang nakasalalay sa isang tiyak na oras), dapat itong kilalanin na ito ay isang napaka mapanlikha ideya at ito ay nagbigay ng isang mahusay na alternatibong pagsukat para sa oras.

Mga halimbawa

Hanapin ang halaga ng x sa bawat kaso:

Pangalawang teorema ni Thales

Ang pangalawang teorema ng Thales ay tumutukoy ng isang tamang tatsulok na nakasulat sa isang bilog sa bawat puntong pareho.

Ang isang tatsulok na nakasulat sa isang circumference ay isang tatsulok na ang mga vertice ay nasa circumference, kaya't natitirang nakapaloob dito.

Partikular, ang ikalawang teorema ni Thales ay nagsasabi ng mga sumusunod: binigyan ng isang bilog na may gitnang O at diameter AC, ang bawat puntong B sa circumference (maliban sa A at C) ay tumutukoy ng isang tamang tatsulok na ABC, na may tamang anggulo

Sa pamamagitan ng pagbibigay-katwiran, tandaan natin na ang parehong OA at OB at OC ay tumutugma sa radius ng circumference; samakatuwid, ang kanilang mga sukat ay pareho. Mula dito sinusunod na ang mga tatsulok na OAB at OCB ay mga isosceles, kung saan

Ito ay kilala na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng 180º. Gamit ang tatsulok na ABC mayroon kami:

2b + 2a = 180º.

Patas, mayroon kaming b + a = 90º at b + a =

Tandaan na ang tamang tatsulok na ibinigay ng ikalawang teorema ni Thales ay tiyak na ang isa na ang hypotenuse ay katumbas ng diameter ng circumference. Samakatuwid, ito ay ganap na tinutukoy ng kalahating bilog na naglalaman ng mga puntos ng tatsulok; sa kasong ito, ang itaas na kalahating bilog.

Tandaan din natin na sa tamang tatsulok na nakuha sa pamamagitan ng ikalawang teorema ng Thales, ang hypotenuse ay nahahati sa dalawang pantay na bahagi ng OA at OC (ang radius). Kaugnay nito, ang panukalang ito ay pantay sa segment na OB (din ang radius), na tumutugma sa median ng tatsulok na ABC ni B.

Sa madaling salita, ang haba ng median ng tamang tatsulok na ABC na naaayon sa vertex B ay ganap na tinutukoy ng kalahating hypotenuse. Matatandaan na ang panggitna ng isang tatsulok ay ang segment mula sa isa sa mga vertices hanggang sa kalagitnaan ng kabaligtaran; sa kasong ito, ang segment ng BO.

Mga nakalawit na girth

Ang isa pang paraan ng pagtingin sa ikalawang teorema ni Thales ay sa pamamagitan ng isang pag-ikot na ikot sa isang tamang tatsulok.

Sa pangkalahatan, ang isang circumference na naka-iskedyul sa isang polygon ay binubuo ng circumference na dumadaan sa bawat isa sa mga vertices nito, sa tuwing posible itong gumuhit.

Gamit ang pangalawang teorema ni Thales, na binigyan ng isang tamang tatsulok, maaari naming palaging bumuo ng isang circumference na nakaayos sa ito, na may isang radius na katumbas sa kalahati ng hypotenuse at isang circumcenter (sa gitna ng circumference) na katumbas sa midpoint ng hypotenuse.

Application

Ang isang napakahalagang aplikasyon ng pangalawang teorema ng Thales, at marahil ang pinaka-malawak na ginagamit, ay upang mahanap ang mga linya ng padaplis sa isang naibigay na bilog, sa pamamagitan ng isang punto P panlabas dito (kilala).

Tandaan na binigyan ng isang bilog (iginuhit sa asul sa figure sa ibaba) at isang panlabas na point P, mayroong dalawang linya na padaplis sa bilog na dumaan sa P. Let T at T 'ay ang mga punto ng pag-unawa, r ang radius ng bilog, at O ang sentro.

Ito ay kilala na ang segment na napupunta mula sa gitna ng isang bilog hanggang sa isang punto ng pagkahinala ng pareho, ay patayo sa linya ng padaplis. Kaya tama ang anggulo ng OTP.

Mula sa nakita natin kanina sa unang teorema ng Thales at iba't ibang mga bersyon, nakikita namin na posible na isulat ang tatsulok na OTP sa isa pang bilog (na pula).

Katulad nito, nakuha na ang tatsulok na OT'P ay maaaring ma-inskripsyon sa loob ng parehong nakaraang pag-iingat.

Sa pamamagitan ng ikalawang teorema ni Thales nakuha din namin na ang diameter ng bagong circumference na ito ay tiyak na hypotenuse ng tatsulok na OTP (na kung saan ay katumbas ng hypotenuse ng tatsulok na OT'P), at ang sentro ay ang kalagitnaan ng hypotenuse na ito.

Upang makalkula ang sentro ng bagong circumference, pagkatapos ito ay sapat na upang makalkula ang kalagitnaan ng pagitan ng gitna - sabihin ang M - ng paunang sirkulasyon (na alam na natin) at ang punto P (na alam din natin). Pagkatapos ang radius ang magiging distansya sa pagitan ng puntong ito M at P.

Sa pamamagitan ng radius at gitna ng pulang bilog ay matatagpuan natin ang equation ng Cartesian, na natatandaan natin ay ibinigay ng (xh) ² + (yk) ² = c ² , kung saan c ang radius at ang punto (h, k) ay ang sentro ng circumference.

Alam ngayon ang mga equation ng parehong mga bilog, maaari nating intersect ang mga ito sa pamamagitan ng paglutas ng system ng mga equation na nabuo sa kanila, at sa gayon makuha ang mga punto ng tangency T at T '. Sa wakas, upang malaman ang ninanais na mga linya ng tangent, sapat na upang mahanap ang equation ng mga linya na dumaan sa T at P, at sa pamamagitan ng T 'at P.

Halimbawa

Isaalang-alang ang isang circumference ng diameter AC, center O, at radius 1 cm. Hayaan ang B ay isang punto sa circumference tulad ng AB = AC. Gaano kataas ang AB?

Solusyon

Sa pamamagitan ng ikalawang teorema ni Thales mayroon kami na ang tatsulok na ABC ay tama at ang hypotenuse ay tumutugma sa diameter, na sa kasong ito ay sumusukat sa 2 cm (ang radius ay 1 cm). Pagkatapos, sa pamamagitan ng teorema ng Pythagorean mayroon kami:

Mga Sanggunian

1. Ana Lira, PJ (2006). Geometry at trigonometrya. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
2. Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Algebra at trigonometrya na may analytical geometry. Edukasyon sa Pearson.
3. Gutiérrez, Á. TO. (2004). Pamamaraan at aplikasyon ng matematika sa ESO Ministry of Education.
4. IGER. (2014). Pangalawang Matematika ng Semester Zaculeu. Guatemala: IGER.
5. José Jiménez, LJ (2006). Matematika 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
6. M., S. (1997). Trigonometry at Analytical Geometry. Edukasyon sa Pearson.
7. Pérez, MA (2009). Isang Kasaysayan ng Matematika: Mga Hamon at Kwento Sa pamamagitan ng Mga Katangian nito. Ang Editorial Vision Libros.
8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Plane Analytical Geometry. Editoryal na Venezolana CA