MGA PAGBABAGONG ISOMETRIC: KOMPOSISYON, URI AT HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga pagbabagong isometric ay mga pagbabago ng posisyon o oryentasyon ng isang naibigay na figure na hindi binabago ang form o ang laki nito. Ang mga pagbabagong ito ay naiuri sa tatlong uri: pagsasalin, pag-ikot at pagmuni-muni (isometry). Sa pangkalahatan, pinapayagan ka ng mga geometric na pagbabagong-anyo upang lumikha ng isang bagong figure mula sa isang naibigay.

Ang pagbabagong-anyo sa isang geometric figure ay nangangahulugan na, sa ilang paraan, sumailalim ito sa ilang pagbabago; iyon ay, binago. Ayon sa kahulugan ng orihinal at katulad sa eroplano, ang mga pagbabagong-anyo ng geometriko ay maaaring maiuri sa tatlong uri: isometric, isomorphic at anamorphic.

katangian

Ang mga pagbabagong-anyo ng isometric ay nangyayari kapag ang mga magnitude ng mga segment at mga anggulo sa pagitan ng orihinal na pigura at ang nagbagong anyo ay napanatili.

Sa ganitong uri ng pagbabagong-anyo, ni ang hugis o ang laki ng pigura ay binago (sila ay kasabwat), ito ay pagbabago lamang sa posisyon nito, alinman sa oryentasyon o direksyon. Sa ganitong paraan, ang paunang at pangwakas na mga numero ay magkatulad at geometrically congruent.

Ang Isometry ay tumutukoy sa pagkakapantay-pantay; sa madaling salita, ang mga geometric na numero ay magiging isometric kung mayroon silang parehong hugis at sukat.

Sa isometric na mga pagbabagong-anyo, ang tanging bagay na maaaring sundin ay isang pagbabago ng posisyon sa eroplano, isang mahigpit na paggalaw ang nangyayari salamat sa kung saan ang figure ay mula sa isang paunang posisyon sa isang pangwakas. Ang figure na ito ay tinatawag na homologous (katulad) ng orihinal.

Mayroong tatlong uri ng mga paggalaw na nag-uuri ng isang pagbabagong isometric: pagsasalin, pag-ikot, at pagmuni-muni o simetrya.

Mga Uri

Sa pamamagitan ng pagsasalin

Ang mga ito ay mga isometries na nagpapahintulot sa lahat ng mga punto ng eroplano na ilipat sa isang tuwid na linya sa isang naibigay na direksyon at distansya.

Kapag ang isang figure ay binago sa pamamagitan ng pagsasalin, hindi nito binabago ang orientation na may kaugnayan sa paunang posisyon, at hindi rin nawawala ang panloob na mga panukala, ang mga panukala ng mga anggulo at panig nito. Ang ganitong uri ng paglilipat ay tinukoy ng tatlong mga parameter:

- Isang direksyon, na maaaring pahalang, patayo o pahilig.

- Isang direksyon, na maaaring maging sa kaliwa, kanan, pataas o pababa.

- Distansya o magnitude, na ang haba mula sa paunang posisyon hanggang sa dulo ng anumang punto na gumagalaw.

Para sa isang isometric na pagbabagong-anyo sa pamamagitan ng pagsasalin upang matupad, ang mga sumusunod na kondisyon ay dapat matugunan:

- Ang figure ay dapat palaging panatilihin ang lahat ng mga sukat nito, parehong linya at anggular.

- Ang figure ay hindi binabago ang posisyon nito na may paggalang sa pahalang na axis; iyon ay, ang anggulo nito ay hindi kailanman nag-iiba.

- Ang mga pagsalin ay palaging ibubuod sa isa, anuman ang bilang ng mga pagsasalin na ginawa.

Sa isang eroplano kung saan ang sentro ay isang punto O, na may mga coordinate (0,0), ang pagsasalin ay tinukoy ng isang vector T (a, b), na nagpapahiwatig ng pag-alis ng paunang punto. Na ibig sabihin:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Halimbawa, kung ang isang pagsasalin T (-4, 7) ay inilalapat sa coordinate point P (8, -2), nakukuha natin:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)

Sa sumusunod na imahe (kaliwa) makikita kung paano lumipat ang punto C upang magkatugma sa D. Ginawa ito sa isang patayong direksyon, ang direksyon ay paitaas at ang distansya o magnitude na CD ay 8 metro. Sa tamang imahe ang pagsasalin ng isang tatsulok ay sinusunod:

Sa pamamagitan ng pag-ikot

Ang mga ito ay mga isometries na nagpapahintulot sa figure na paikutin ang lahat ng mga punto ng isang eroplano. Ang bawat punto ay umiikot kasunod ng isang arko na may palaging anggulo at isang nakapirming punto (gitna ng pag-ikot).

Iyon ay, ang lahat ng pag-ikot ay tinukoy ng sentro ng pag-ikot at anggulo ng pag-ikot. Kapag ang isang figure ay binago sa pamamagitan ng pag-ikot, pinapanatili nito ang sukatan ng mga anggulo at panig nito.

Ang pag-ikot ay nangyayari sa isang tiyak na direksyon, ito ay positibo kapag ang pag-ikot ay counterclockwise (counterclockwise) at negatibo kapag ang pag-ikot nito ay sunud-sunod.

Kung ang isang punto (x, y) ay pinaikot na may paggalang sa pinanggalingan - iyon ay, ang sentro ng pag-ikot nito ay (0,0) -, sa isang anggulo ng 90 ^o 360 ^o ang mga coordinate ng mga puntos ay:

Sa kaso kung saan ang pag-ikot ay walang isang sentro sa pinagmulan, ang pinagmulan ng sistema ng coordinate ay dapat ilipat sa bagong ibinigay na pinagmulan, upang maikot ang pigura sa pinagmulan bilang sentro.

Halimbawa, kung ang punto ng P (-5,2) ay inilalapat ng isang pag-ikot ng 90 ^o , sa paligid ng pinagmulan at positibo ang mga bagong coordinate nito ay (-2.5).

Sa pamamagitan ng pagmuni-muni o simetrya

Ang mga ito ay ang mga pagbabagong ito na ibabalik ang mga puntos at pigura ng eroplano. Ang pag-iikot na ito ay maaaring may paggalang sa isang punto o maaari rin itong may paggalang sa isang linya.

Sa madaling salita, sa ganitong uri ng pagbabagong-anyo, ang bawat punto ng orihinal na pigura ay nauugnay sa isa pang punto (imahe) ng homologous figure, sa isang paraan na ang punto at imahe nito ay magkapareho mula sa isang linya na tinatawag na axis ng symmetry. .

Kaya, ang kaliwang bahagi ng pigura ay magiging salamin ng tamang bahagi, nang hindi binabago ang hugis o sukat nito. Ang simetrya ay nagbabago ng isang figure sa ibang pantay ngunit sa kabaligtaran ng direksyon, tulad ng makikita sa sumusunod na imahe:

Ang simetrya ay naroroon sa maraming mga aspeto, tulad ng sa ilang mga halaman (mga sunflower), mga hayop (peacock) at mga natural na phenomena (snowflakes). Sinasalamin ito ng tao sa kanyang mukha, na itinuturing na isang kadahilanan ng kagandahan. Ang pagmuni-muni o simetrya ay maaaring maging sa dalawang uri:

Gitnang simetrya

Ito ay ang pagbabagong-anyo na nangyayari na may paggalang sa isang punto, kung saan maaaring baguhin ng figure ang orientation nito. Ang bawat punto ng orihinal na pigura at imahe nito ay nasa parehong distansya mula sa isang punto O, na tinatawag na sentro ng simetrya. Ang sentimetriko ay sentral kapag:

- Parehong ang punto at ang imahe at sentro nito ay kabilang sa parehong linya.

- Sa pamamagitan ng isang pag-ikot ng 180 ^o ng center O, ang isang figure na katumbas ng orihinal ay nakuha.

- Ang mga linya ng paunang figure ay kahanay sa mga linya ng nabuo na pigura.

- Ang pakiramdam ng figure ay hindi nagbabago, ito ay palaging magiging sunud-sunod.

Komposisyon ng isang pag-ikot

Ang komposisyon ng dalawang liko na may parehong mga resulta ng sentro sa isa pang pagliko, na may parehong sentro at kung saan ang kalakhan ay magiging kabuuan ng mga amplitude ng dalawang liko.

Kung ang sentro ng mga liko ay may ibang sentro, ang pagputol ng bisector ng dalawang mga segment ng magkatulad na puntos ay magiging sentro ng pagliko.

Komposisyon ng isang simetrya

Sa kasong ito, ang komposisyon ay depende sa kung paano ito inilalapat:

- Kung ang parehong simetrya ay inilalapat nang dalawang beses, ang resulta ay magiging isang pagkakakilanlan.

- Kung ang dalawang simetrya ay inilalapat na may paggalang sa dalawang kahanay na ehe, ang magiging resulta ay isang pagsasalin, at ang pag-aalis nito ay dalawang beses ang distansya ng mga palakol:

- Kung ang dalawang simetrya ay inilalapat na may paggalang sa dalawang axes na pumapasok sa punto O (gitna), ang isang pag-ikot na may sentro sa O ay makuha at ang anggulo nito ay dalawang beses sa anggulo na nabuo ng mga ehe:

Mga Sanggunian

1. V Bourgeois, JF (1988). Mga materyales para sa pagtatayo ng geometry. Madrid: Sintesis.
2. Cesar Calavera, IJ (2013). Teknikal na Pagguhit II. Paraninfo SA: Mga Edisyon ng Tore.
3. Coxeter, H. (1971). Mga Batayan ng Geometry. Mexico: Limusa-Wiley.
4. Coxford, A. (1971). Geometry Isang Diskarte sa Pagbabago. USA: Mga kapatid sa Laidlaw.
5. Liliana Siñeriz, RS (2005). Induction at pormalisasyon sa pagtuturo ng mahigpit na pagbabagong-anyo sa kapaligiran ng CABRI.
6. , PJ (1996). Ang pangkat ng mga isometries ng eroplano. Madrid: Sintesis.
7. Suárez, AC (2010). Mga pagbabagong-anyo sa eroplano. Gurabo, Puerto Rico: AMCT.