PINAGMULAN NG COTANGENT: PAGKALKULA, PATUNAY, EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang derivative ng cotangent ay pantay sa tapat ng parisukat ng kosecant "-Csc ² ". Sinusunod ng formula na ito ang mga batas ng derivative sa pamamagitan ng kahulugan at ang pagkita ng mga pag-andar ng trigonometriko. Ito ay tinukoy bilang mga sumusunod:

d (ctg u) = -csc ² u. du

Kung saan ang "du" ay sumisimbolo ng expression na nagmula sa function ng argument, na may paggalang sa independyenteng variable.

Pinagmulan: Pixabay.com

Paano ito kinakalkula?

Ang pamamaraan upang mabuo ang mga derivatives na ito ay medyo simple. Ito ay sapat lamang upang matukoy nang tama ang argumento at ang uri ng pag-andar na kinakatawan nito.

Halimbawa, ang expression Ctg (f / g) ay may dibisyon sa argumento nito. Mangangailangan ito ng isang pagkita ng kaibahan patungkol sa U / V, matapos ang pagbuo ng derivative ng cotangent.

Ang cotangent ay katumbas ng tangent. Algebraically nangangahulugan ito na:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = Cos x / Sen x

Mali na sabihin na ang function ng cotangent ay ang "kabaligtaran" ng tangent. Ito ay dahil ang kabaligtaran na pag-andar ng tangent sa pamamagitan ng kahulugan ay arc tangent.

(Tg ^-1 x) = arctg x

Ayon sa Pythagorean trigonometry, ang cotangent ay kasangkot sa mga sumusunod na seksyon:

Ctg x = (cos x) / (kasalanan x)

Ctg ² x + 1 = Csc ² x

Ayon sa analytical trigonometry, tumutugon ito sa mga sumusunod na pagkakakilanlan:

Ctg (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)

Ctg (2a) = (1 - tg ² a) / (2TG a)

Mga katangian ng pag-andar ng cotangent

Kinakailangan upang pag-aralan ang iba't ibang mga katangian ng pag-andar f (x) = ctg x upang tukuyin ang mga aspeto na kinakailangan upang pag-aralan ang pagkakaiba-iba at aplikasyon.

Vertical asymptotes

Ang function ng cotangent ay hindi tinukoy sa mga halaga na gumagawa ng expression na "Senx" zero. Dahil sa katumbas nitong Ctg x = (cos x) / (kasalanan x), magkakaroon ito ng isang indeterminacy sa lahat ng "nπ" na may kasali sa mga integer.

Iyon ay, sa bawat isa sa mga halagang ito ng x = nπ magkakaroon ng isang vertical asymptote. Habang papalapit ka mula sa kaliwa ang halaga ng cotangent ay bababa nang mabilis, at habang lumapit ka mula sa kanan, ang function ay tataas nang walang hanggan.

Domain

Ang domain ng cotangent function ay ipinahayag ng set {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z}. Nabasa ito bilang "x na kabilang sa hanay ng mga tunay na numero tulad na ang x ay naiiba sa nπ, na may kasali sa hanay ng mga integer".

Ranggo

Ang saklaw ng cotangent function ay mula sa minus hanggang plus infinity. Samakatuwid, maaari itong tapusin na ang ranggo nito ay ang hanay ng mga tunay na numero ng R.

Dalas

Ang pag-andar ng cotangent ay pana-panahon at ang panahon nito ay katumbas ng π. Sa ganitong paraan, ang pagkakapantay-pantay na Ctg x = Ctg (x + nπ) ay natutupad, kung saan n kabilang sa Z.

Pag-uugali

Ito ay isang kakaibang pag-andar, dahil ang Ctg (-x) = - Ctg x. Sa ganitong paraan nalalaman na ang pagpapaandar ay nagtatanghal ng isang simetrya na may paggalang sa pinagmulan ng coordinate. Nagbibigay din ito ng isang pagbawas sa bawat agwat na matatagpuan sa pagitan ng 2 sunud-sunod na mga vertical asymptotes.

Wala itong maximum o minimum na mga halaga, dahil sa ang katunayan na ang mga pagkilala nito sa mga vertical asymptotes ay kasalukuyang mga pag-uugali kung saan ang pag-andar ay nagdaragdag o bumababa nang walang hanggan.

Ang mga zero o ugat ng cotangent function ay matatagpuan sa mga kakatwang multiple ng π / 2. Nangangahulugan ito na ang Ctg x = 0 ay humahawak para sa mga halaga ng form x = nπ / 2 na may kakaibang integer.

Demonstrasyon

Mayroong 2 mga paraan upang mapatunayan ang derivative ng cotangent function.

Ang patunay na pagkakaiba sa Trigonometric

Ang derivative ng cotangent function mula sa katumbas nito sa mga kasalanan at napatunayan ng mga cosine.

Ito ay itinuturing bilang ang hinango ng isang dibisyon ng mga pag-andar

Matapos makuha ang mga kadahilanan ay naka-pangkat at ang layunin ay upang tularan ang mga pagkakakilanlan sa Pythagorean

Pagsusulat ng mga pagkakakilanlan at paglalapat ng katumbas, ang expression

Patunay sa pamamagitan ng kahulugan ng hinango

Ang sumusunod na ekspresyon ay tumutugma sa pinagmulan sa pamamagitan ng kahulugan. Kung saan ang distansya sa pagitan ng 2 puntos ng pag-andar ay papalapit sa zero.

Pagsusulat para sa cotangent na mayroon kami:

Ang mga pagkakakilanlan ay inilalapat para sa kabuuan ng mga argumento at gantimpala

Ang maliit na bahagi ng numerator ay ayon sa kaugalian ay pinatatakbo

Tinatanggal ang mga kabaligtaran na elemento at pagkuha ng isang karaniwang kadahilanan, nakukuha namin

Ang paglalapat ng mga pagkakakilanlan ng Pythagorean at katumbas na mayroon tayo

Ang mga elemento na nasuri sa x ay patuloy na may paggalang sa limitasyon, samakatuwid maaari nilang iwanan ang argumento nito. Pagkatapos ay inilalapat ang mga katangian ng mga limitasyong trigonometriko.

Sinusuri ang limitasyon

Pagkatapos ito ay pinagtibay hanggang maabot ang ninanais na halaga

Ang hinango ng cotangent ay ipinakita bilang kabaligtaran ng parisukat ng kosecant.

Malutas na ehersisyo

Ehersisyo 1

Batay sa pagpapaandar f (x), tukuyin ang expression f '(x)

Ang kaukulang derivation ay inilapat na may paggalang sa panuntunan ng chain

Nagbibigay ng argumento

Minsan kinakailangan na mag-aplay ng mga pagkakakilanlan ng timpla o trigonometric upang maiakma ang mga solusyon.

Mag-ehersisyo 2

Tukuyin ang expression expression na naaayon sa F (x)

Ayon sa derivation formula at respeto ang chain rule

Ang argumento ay nagmula, habang ang natitira ay nananatiling pareho

Nagbibigay ng lahat ng mga elemento

Ang pagpapatakbo sa isang tradisyunal na paraan ang mga produkto ng parehong base

Ang pantay na mga elemento ay idinagdag at ang karaniwang kadahilanan ay nakuha

Ang mga palatandaan ay pinasimple at pinatatakbo. Nagbibigay ng paraan sa ganap na nagmula ng expression

Mga Sanggunian

1. Trigonometric Series, Dami ng 1. A. Zygmund. Cambridge University Press, 2002
2. Calculus ng isang Nag-iiba-iba. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Pag-aaral ng Cengage, Nov 10 2008
3. Calculus na may trigonometrya at analytic geometry. John H. Saxon, John Saxon, Frank Wang, Diana Harvey. Saxon Publisher, 1988
4. Multivariable Pagsusuri. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, Dis 13. 2010
5. System Dynamics: Pagmomodelo, Simulation, at Control ng Mechatronic Systems. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, Mar 7 2012
6. Calculus: Matematika at Pagmomolde. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, Enero 1 1999