- Pormula
- Mga katangian ng normal na pamamahagi
- Mga agwat ng kumpiyansa
- Mga aplikasyon ng normal na pamamahagi
- Halimbawa
- Nalutas ang ehersisyo
- Mga Sanggunian
Ang normal na pamamahagi o pamamahagi ng Gaussian ay ang pamamahagi ng posibilidad sa isang tuluy-tuloy na variable, kung saan ang pag-andar ng posibilidad ng density ay inilarawan sa pamamagitan ng isang exponential function ng quadratic at negatibong argumento, na nagbibigay ng pagtaas sa isang hugis ng kampanilya.
Ang pangalan ng normal na pamamahagi ay nagmula sa katotohanan na ang pamamahagi na ito ay ang naaangkop sa pinakamalaking bilang ng mga sitwasyon kung saan ang ilang patuloy na random variable ay kasangkot sa isang naibigay na grupo o populasyon.
Larawan 1. Ang normal na pamamahagi N (x;,, σ) at ang density na density f (s;, σ). (Sariling pagsasaliksik)
Ang mga halimbawa kung saan inilalapat ang normal na pamamahagi ay: ang taas ng mga kalalakihan o kababaihan, mga pagkakaiba-iba sa sukatan ng ilang pisikal na kadakilaan o sa masusukat na sikolohikal o sosyolohikal na katangian tulad ng intelektwal na quientwal o ang mga gawi sa pagkonsumo ng isang tiyak na produkto.
Sa kabilang banda, tinawag itong pamamahagi ng Gaussian o Gaussian bell, sapagkat ito ang Aleman na matematika ng matematika na kinikilala sa kanyang natuklasan para sa paggamit na ibinigay niya upang ilarawan ang statistical error ng mga sukat ng astronomya noong taong 1800.
Gayunpaman, ipinapahayag na ang pamamahalang istatistika na ito ay dati nang nai-publish sa pamamagitan ng isa pang mahusay na matematiko ng Pranses na pinagmulan, tulad ng Abraham de Moivre, pabalik noong 1733.
Pormula
Ang normal na pag-andar ng pamamahagi sa patuloy na variable x, na may mga parameter σ at σ, ay ipinapahiwatig ng:
N (x; μ, σ)
at malinaw itong isinulat na tulad nito:
N (x; μ, σ) = ∫ -∞ x f (s; μ, σ) ds
kung saan ang f (u; μ, σ) ay ang function ng density density:
f (s; μ, σ) = (1 / (σ√ (2π)) Exp (- s 2 / (2σ 2 ))
Ang palagiang nagpapalawak ng pagpapaandar ng pagpaparami sa pagpapaandar ng posibilidad ng density ay tinatawag na pagiging regular na pare-pareho, at napili ito sa paraang:
N (+ ∞, μ, σ) = 1
Tinitiyak ng nakaraang expression na ang posibilidad na ang random variable x sa pagitan ng -∞ at + ∞ ay 1, iyon ay, 100% na posibilidad.
Ang parameter μ ay ang ibig sabihin ng aritmetika ng patuloy na random variable x at σ ang karaniwang paglihis o parisukat na ugat ng pagkakaiba-iba ng parehong variable. Sa kaso na μ = 0 at σ = 1 pagkatapos ay mayroon tayong pamantayang normal na pamamahagi o karaniwang normal na pamamahagi:
N (x; μ = 0, σ = 1)
Mga katangian ng normal na pamamahagi
1- Kung ang isang random na istatistika variable ay sumusunod sa isang normal na pamamahagi ng probabilidad density f (s;, σ), karamihan sa mga data ay pinagsama-sama sa paligid ng ibig sabihin ng halaga μ at nakakalat sa paligid nito sa isang paraan na kaunti pa kaysa sa Ang data ng data ay nasa pagitan ng μ - σ at μ + σ.
2- Ang karaniwang paglihis σ ay palaging positibo.
3- Ang hugis ng density function f ay katulad ng sa isang kampanilya, na kung bakit ang pagpapaandar na ito ay madalas na tinatawag na isang Gaussian bell o Gaussian function.
4- Sa isang pamamahagi ng Gaussian ang ibig sabihin, ang median at ang mode ay nag-tutugma.
5- Ang mga punto ng inflection ng function ng density density ay tiyak sa μ - σ at μ + σ.
6- Ang function f ay simetriko na may paggalang sa isang axis na dumadaan sa mean mean na μ at may asymptotically zero para sa x ⟶ + ∞ at x ⟶ -∞.
7- Ang mas mataas na halaga ng σ, mas malaki ang pagpapakalat, ingay o distansya ng data sa paligid ng ibig sabihin ng halaga. Sa madaling salita, ang mas mataas na hugis ng kampanilya ay mas bukas. Sa kabilang banda, ang maliit na nagpapahiwatig na ang dice ay malapit sa ibig sabihin at ang hugis ng kampanilya ay mas sarado o itinuro.
8- Ang pagpapaandar ng pamamahagi N (x; μ, σ) ay nagpapahiwatig ng posibilidad na ang random variable ay mas mababa o katumbas ng x. Halimbawa, sa Figure 1 (sa itaas) ang posibilidad na P na ang variable x ay mas mababa sa o katumbas ng 1.5 ay 84% at tumutugma sa lugar sa ilalim ng posibilidad ng density density f (x; μ, σ) mula sa -∞ hanggang x.
Mga agwat ng kumpiyansa
9- Kung ang data ay sumusunod sa isang normal na pamamahagi, kung gayon 68.26% ng mga ito ay nasa pagitan ng - σ at μ + σ.
10- 95.44% ng data na sumusunod sa isang normal na pamamahagi ay sa pagitan ng μ - 2σ at μ + 2σ.
11- 99.74% ng data na sumusunod sa isang normal na pamamahagi ay sa pagitan ng μ - 3σ at μ + 3σ.
12- Kung ang isang random variable x ay sumusunod sa isang pamamahagi N (x; μ, σ), kung gayon ang variable
Ang z = (x - μ) / σ ay sumusunod sa pamantayang normal na pamamahagi N (z; 0.1).
Ang pagbabago mula sa variable x hanggang z ay tinatawag na standardization o pag-type at napaka-kapaki-pakinabang kapag inilalapat ang mga talahanayan ng pamamahagi ng pamantayan sa data na sumusunod sa isang hindi pamantayang normal na pamamahagi.
Mga aplikasyon ng normal na pamamahagi
Upang mailapat ang normal na pamamahagi kinakailangan na dumaan sa pagkalkula ng integral ng density ng posibilidad, na mula sa analytical point of view ay hindi madali at hindi palaging isang computer program na nagbibigay-daan sa pagkalkula ng numero nito. Para sa layuning ito, ang mga talahanayan ng mga na-normalize o pamantayan na mga halaga ay ginagamit, na kung saan ay hindi hihigit sa normal na pamamahagi sa kaso μ = 0 at σ = 1.
Standardized normal na talahanayan ng pamamahagi (bahagi 1/2)
Standardized normal na pamamahagi ng talahanayan (bahagi 2/2)
Dapat pansinin na ang mga talahanayan na ito ay hindi kasama ang mga negatibong halaga. Gayunpaman, ang paggamit ng mga katangian ng simetrya ng Gaussian probability density function ay maaaring makuha. Ang nalutas na ehersisyo na ipinakita sa ibaba ay nagpapahiwatig ng paggamit ng talahanayan sa mga kasong ito.
Halimbawa
Ipagpalagay na mayroon kang isang hanay ng mga random na data x na sumusunod sa isang normal na pamamahagi ng ibig sabihin ng 10 at karaniwang paglihis 2. Hinihiling ka na makahanap ng posibilidad na:
a) Ang random variable x ay mas mababa sa o katumbas ng 8.
b) Ay mas mababa sa o katumbas ng 10.
c) Na ang variable x ay nasa ibaba 12.
d) Ang posibilidad na ang isang x-halaga ay sa pagitan ng 8 at 12.
Solusyon:
a) Upang sagutin ang unang tanong na kailangan mo lamang makalkula:
N (x; μ, σ)
Sa pamamagitan ng x = 8, μ = 10 at σ = 2. Napagtanto namin na ito ay isang integral na walang isang analytical solution sa elementarya na pag-andar, ngunit ang solusyon ay ipinahayag bilang isang function ng error function erf (x).
Sa kabilang banda, may posibilidad na malutas ang integral sa bilang ng form, na kung ano ang ginagawa ng maraming mga calculator, mga spreadsheet at mga programa sa computer tulad ng GeoGebra. Ang sumusunod na figure ay nagpapakita ng numerical solution na naaayon sa unang kaso:
Larawan 2. Ang posibilidad ng density f (x; μ, σ) Ang lilim na lugar ay kumakatawan sa P (x ≤ 8). (Sariling pagsasaliksik)
at ang sagot ay ang posibilidad na x sa ibaba 8 ay:
P (x ≤ 8) = N (x = 8; μ = 10, σ = 2) = 0.1587
b) Sa kasong ito, sinubukan nating hanapin ang posibilidad na ang random variable x ay nasa ibaba ng kahulugan, na sa kasong ito ay nagkakahalaga ng 10. Ang sagot ay hindi nangangailangan ng anumang pagkalkula, dahil alam natin na ang kalahati ng data ay nasa ibaba average at ang iba pang kalahati sa itaas average. Samakatuwid, ang sagot ay:
P (x ≤ 10) = N (x = 10; μ = 10, σ = 2) = 0.5
c) Upang masagot ang katanungang ito, dapat nating kalkulahin ang N (x = 12; = = 10, σ = 2), na maaaring gawin sa isang calculator na may mga pag-andar sa istatistika o sa pamamagitan ng software tulad ng GeoGebra:
Larawan 3. Ang posibilidad ng density f (x; μ, σ). Ang lilim na lugar ay kumakatawan sa P (x ≤ 12). (Sariling pagsasaliksik)
Ang sagot sa bahagi c ay makikita sa figure 3 at ito ay:
P (x ≤ 12) = N (x = 12; μ = 10, σ = 2) = 0.8413.
d) Upang mahanap ang posibilidad na ang random variable x sa pagitan ng 8 at 12 maaari naming gamitin ang mga resulta ng mga bahagi at c tulad ng sumusunod:
P (8 ≤ x ≤ 12) = P (x ≤ 12) - P (x ≤ 8) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826 = 68.26%.
Nalutas ang ehersisyo
Ang average na presyo ng stock ng isang kumpanya ay $ 25 na may isang karaniwang paglihis ng $ 4. Alamin ang posibilidad na:
a) Ang isang aksyon ay may gastos na mas mababa sa $ 20.
b) Iyon ay may gastos na mas malaki kaysa sa $ 30.
c) Ang presyo ay nasa pagitan ng $ 20 at $ 30.
Gamitin ang karaniwang normal na mga talahanayan ng pamamahagi upang mahanap ang mga sagot.
Solusyon:
Upang magamit ang mga talahanayan, kinakailangan upang maipasa sa normalize o nai-type na variable na z:
$ 20 sa normalized variable na katumbas ng z = ($ 20 - $ 25) / $ 4 = -5/4 = -1.25 at
Ang $ 30 sa normalized variable ay katumbas ng z = ($ 30 - $ 25) / $ 4 = +5/4 = +1.25.
a) $ 20 katumbas -1.25 sa normalized variable, ngunit ang talahanayan ay walang negatibong mga halaga, kaya inilalagay namin ang halaga +1.25 na nagbubunga ng halaga ng 0.8944.
Kung ang 0.5 ay ibinabawas mula sa halagang ito, ang magiging resulta sa pagitan ng 0 hanggang 1.25 na, sa pamamagitan ng paraan, ay magkapareho (sa pamamagitan ng simetrya) sa lugar sa pagitan ng -1.25 at 0. Ang resulta ng pagbabawas ay 0.8944 - 0.5 = 0.3944 na kung saan ay ang lugar sa pagitan ng -1.25 at 0.
Ngunit ang lugar mula -∞ hanggang -1.25 ay may interes, na magiging 0.5 - 0.3944 = 0.1056. Kaya't napagpasyahan na ang posibilidad na ang isang stock ay mas mababa sa $ 20 ay 10.56%.
b) $ 30 sa nai-type na variable z ay 1.25. Para sa halagang ito, ipinapakita ng talahanayan ang bilang na 0.8944, na tumutugma sa lugar mula -∞ hanggang +1.25. Ang lugar sa pagitan ng +1.25 at + ∞ ay (1 - 0.8944) = 0.1056. Sa madaling salita, ang posibilidad na ang isang bahagi ay nagkakahalaga ng higit sa $ 30 ay 10.56%.
c) Ang posibilidad na ang isang aksyon ay may gastos sa pagitan ng $ 20 at $ 30 ay kalkulahin tulad ng sumusunod:
100% -10.56% - 10.56% = 78.88%
Mga Sanggunian
- Istatistika at posibilidad. Normal na pamamahagi. Nabawi mula sa: projectdescartes.org
- Geogebra. Classical geogebra, calculus ng posibilidad. Nabawi mula sa geogebra.org
- MathWorks. Pamamahagi ng Gaussian Nabawi mula sa: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Mga Istatistika para sa Pamamahala at Pangkabuhayan. Ika-3. edisyon. Grupo ng Editorial Iberoamérica.
- Stat Trek. Turuan ang iyong sarili Mga Istatistika. Poisson Pamamahagi. Nabawi mula sa: stattrek.com,
- Triola, M. 2012. Elementong Istatistika. Ika-11. Edukasyong Pearson Ed.
- Unibersidad ng Vigo. Pangunahing patuloy na pamamahagi. Nabawi mula sa: anapg.webs.uvigo.es
- Wikipedia. Normal na pamamahagi. Nabawi mula sa: es.wikipedia.org