EUCLIDEAN GEOMETRY: KASAYSAYAN, BATAYANG KONSEPTO, AT HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang Euclidean geometry ay tumutugma sa pag-aaral ng mga katangian ng mga geometric na puwang kung saan nasiyahan ang mga axiom ng Euclid. Kahit na ang term na ito ay kung minsan ay ginagamit upang masakop ang mga geometry na may mas mataas na sukat na may magkatulad na mga katangian, sa pangkalahatan ay magkasingkahulugan na may klasikal na geometry o geometry ng eroplano.

Sa siglo III a. C. Isinulat ni Euclides at ng kanyang mga alagad ang mga Elemento, isang akda na sumali sa kaalaman sa matematika ng oras na pinagkalooban ng isang lohikal na deduktibong istraktura. Simula noon, ang geometry ay naging isang agham, sa una upang malutas ang mga klasikal na problema at umunlad na maging isang formative science na tumutulong sa pangangatuwiran.

Kasaysayan

Upang pag-usapan ang kasaysayan ng geograpiya ng Euclidean, mahalaga na magsimula sa Euclid ng Alexandria at Elemento.

Nang naiwan ang Egypt sa kamay ni Ptolemy I, pagkamatay ni Alexander the Great, sinimulan niya ang kanyang proyekto sa isang paaralan sa Alexandria.

Kabilang sa mga matalino na nagtuturo sa paaralan ay si Euclid. Ipinagpalagay na ang mga petsa ng kanyang kapanganakan mula sa humigit-kumulang 325 BC. C. at ang kanyang pagkamatay ng 265 a. C. Malalaman natin nang may katiyakan na nagpunta siya sa paaralan ni Plato.

Para sa higit sa tatlumpung taon na itinuro ni Euclid sa Alexandria, na binuo ang mga sikat na elemento: sinimulan niyang magsulat ng isang kumpletong paglalarawan ng matematika ng kanyang oras. Ang mga turo ni Euclid ay gumawa ng mahusay na mga alagad, tulad nina Archimedes at Apollonius ng Perga.

Si Euclid ay namamahala sa pag-istruktura ng magkakaibang pagtuklas ng mga sinaunang Griyego sa Elemento, ngunit hindi katulad ng kanyang mga nauna ay hindi niya nililimitahan ang kanyang sarili sa pagtitiyak na ang isang teorema ay totoo; Nag-aalok ang Euclid ng isang demonstrasyon.

Ang Elemento ay isang kompendyo ng labing-tatlong aklat. Pagkatapos ng Bibliya, ito ang pinaka-nai-publish na libro, na may higit sa isang libong edisyon.

Mga Elemento ng Euclid

Ang Elemento ay obra maestra ni Euclid sa larangan ng geometry, at nag-aalok ng isang tiyak na paggamot ng geometry ng dalawang sukat (ang eroplano) at tatlong sukat (espasyo), ito ang pinagmulan ng kung ano ang alam natin ngayon bilang Euclidean geometry .

Mga pangunahing konsepto

Ang mga elemento ay binubuo ng mga kahulugan, karaniwang mga kuru-kuro at postulate (o axioms) na sinusundan ng mga teoryang, mga konstruksyon at patunay.

- Ang isang punto ay na kung saan ay walang mga bahagi.

- Ang isang linya ay isang haba na walang lapad.

- Ang isang tuwid na linya ay isa na namamalaging pantay na may kaugnayan sa mga puntong nasa loob nito.

- Kung ang dalawang linya ay pinutol upang ang mga katabing anggulo ay pantay, ang mga anggulo ay tinawag na tuwid na mga linya at ang mga linya ay tinatawag na patayo.

- Ang mga linya ng paralel ay ang mga iyon, na nasa iisang eroplano, ay hindi kailanman lumilitaw.

Matapos ang mga ito at iba pang mga kahulugan, ipinakita sa amin ng Euclid ang isang listahan ng limang postulate at limang mga paniwala.

Karaniwang mga paniwala

- Dalawang bagay na katumbas ng isang ikatlo ay katumbas sa bawat isa.

- Kung ang parehong mga bagay ay idinagdag sa parehong mga bagay, ang mga resulta ay pareho.

- Kung ang pantay na mga bagay ay ibabawas pantay na mga bagay, pantay ang mga resulta.

- Ang mga bagay na tumutugma sa bawat isa ay pantay-pantay sa bawat isa.

- Ang kabuuan ay mas malaki kaysa sa isang bahagi.

Nag-postulate o axioms

- Isa at isang linya lamang ang dumaan sa dalawang magkakaibang puntos.

- Ang mga tuwid na linya ay maaaring mapalawak nang walang hanggan.

- Maaari kang gumuhit ng isang bilog sa anumang sentro at anumang radius.

- Lahat ng mga tamang anggulo ay pantay.

- Kung ang isang tuwid na linya ay tumatawid ng dalawang tuwid na linya upang ang mga panloob na anggulo ng parehong panig ay magdagdag ng hanggang sa mas mababa sa dalawang tamang anggulo, kung gayon ang dalawang linya ay tatawid sa gilid na iyon.

Ang huling postulate na ito ay kilala bilang kahanay na postulate at na-reformulate sa sumusunod na paraan: "Para sa isang punto sa labas ng isang linya, ang isang solong kahanay sa ibinigay na linya ay maaaring iguguhit."

Mga halimbawa

Susunod, ang ilang mga theorems ng Elemento ay magsisilbi upang ipakita ang mga katangian ng mga geometric na puwang kung saan ang limang postulate ng Euclid ay natutupad; Bilang karagdagan, ilalarawan nila ang lohikal na deduktibong pangangatwiran na ginamit ng matematiko na ito.

Unang halimbawa

Panukala 1.4. (LAL)

Kung ang dalawang tatsulok ay may dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay pantay, kung gayon ang iba pang mga panig at ang iba pang mga anggulo ay pantay.

Demonstrasyon

Hayaan ang ABC at A'B'C 'ay maging dalawang tatsulok na may AB = A'B', AC = A'C 'at ang mga anggulo ng BAC at B'A'C'. Ilipat natin ang tatsulok na A'B'C 'upang ang A'B' ay sumasabay sa AB at ang anggulo na B'A'C 'ay magkakasabay sa anggulo BAC.

Kaya ang linya ng A'C 'ay nag-tutugma sa linya ng AC, upang ang C' ay nagkakasabay sa C. Pagkatapos, sa pamamagitan ng postulate 1, ang linya ng BC ay dapat na magkakasabay sa linya na B'C '. Samakatuwid ang dalawang tatsulok ay nag-tutugma at, dahil dito, ang kanilang mga anggulo at ang kanilang mga panig ay pantay.

Pangalawang halimbawa

Panukala 1.5. (

Ipagpalagay na ang tatsulok na ABC ay may pantay na panig ng AB at AC.

Kaya, ang mga tatsulok na ABD at ACD ay may dalawang pantay na panig at ang mga anggulo sa pagitan ng mga ito ay pantay. Sa gayon, sa Panukala 1.4, ang mga anggulo ng ABD at ACD ay pantay.

Pangatlong halimbawa

Panukala 1.31

Maaari kang magtayo ng isang linya na kahanay sa isang linya na ibinigay ng isang naibigay na punto.

Pagbuo

Ibinigay ng isang linya L at isang punto P, isang linya M ay iguguhit sa pamamagitan ng P at intersect L. Pagkatapos isang linya N ay iguguhit sa pamamagitan ng P na intersect L. Ngayon, isang linya N ay iguguhit sa pamamagitan ng P, na kung saan ay bumabalot sa M, na bumubuo ng isang anggulo na katumbas ng mga form na L kasama ni M.

Pagpapatibay

N ay kahanay ni L.

Demonstrasyon

Ipagpalagay na ang L at N ay hindi magkakatulad at bumalandra sa isang punto A. Hayaan ang B maging isang punto sa L lampas A. Isaalang-alang natin ang linya ng O na dumadaan sa B at P. Kung gayon, O intersect M sa mga anggulo na nagdaragdag ng mas kaunti kaysa sa dalawang tuwid.

Pagkatapos, sa pamamagitan ng 1.5 ang linya O ay dapat na intersect ang linya L sa kabilang panig ng M, kaya ang L at O ​​ay bumalandra sa dalawang puntos, na sumasalungat sa Mag-post 1. Samakatuwid, ang L at N ay dapat na magkatulad.

Mga Sanggunian

1. Mga Elemento ng Geometry. National Autonomous University of Mexico
2. Euclid. Ang unang anim na mga libro at ang ikalabing-isa at ikalabing dalawang bahagi ng mga elemento ng Euclid
3. Eugenio Filloy Yague. Didactics at kasaysayan ng geograpiya ng Euclidean, Grupo Editorial Iberoamericano
4. K. Ribnikov. Kasaysayan ng Matematika. Mir Editorial
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Plane Analytical Geometry. Editoryal na Venezolana CA