EULER NUMBER O E NUMBER: MAGKANO ANG HALAGA, PAG-AARI, APLIKASYON - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang Euler na numero o numero e ay isang kilalang pare-pareho ng matematika na madalas na lilitaw sa maraming mga pang-agham at pang-ekonomiyang aplikasyon, kasama ang bilang π at iba pang mahahalagang numero sa matematika.

Ibinabalik ng isang calculator pang-agham ang sumusunod na halaga para sa bilang e:

Larawan 1. Ang bilang ng Euler ay madalas na lumilitaw sa Science. Pinagmulan: F. Zapata.

e = 2.718281828 …

Ngunit maraming mga decimals ang kilala, halimbawa:

e = 2.71828182845904523536…

At ang mga modernong computer ay natagpuan ang mga trilyon ng mga lugar na desimal para sa bilang e.

Ito ay isang hindi makatwiran na numero, na nangangahulugang mayroon itong isang walang hanggan bilang ng mga lugar ng desimal nang walang pag-uulit na pattern (ang pagkakasunud-sunod ng 1828 ay lilitaw nang dalawang beses sa simula at hindi na inuulit).

At nangangahulugan din ito na ang bilang e ay hindi maaaring makuha bilang isang quotient ng dalawang buong numero.

Kasaysayan

Ang bilang e ay kinilala ng siyentipiko na si Jacques Bernoulli noong 1683 nang siya ay nag-aaral ng problema ng tambalang interes, ngunit bago ito lumitaw nang hindi direkta sa mga gawa ng Scottish matematika na si John Napier, na nag-imbento ng mga logarithms sa paligid ng 1618.

Gayunpaman, ito ay Leonhard Euler noong 1727 na nagbigay nito ng numero ng pangalan e at masinsinang pinag-aralan ang mga katangian nito. Ito ang dahilan kung bakit kilala rin ito bilang bilang Euler at din bilang isang likas na batayan para sa mga natural na logarithms (isang exponent) na kasalukuyang ginagamit.

Magkano ang halaga e?

Ang bilang e ay nagkakahalaga:

e = 2.71828182845904523536…

Ang ellipsis ay nangangahulugan na mayroong isang walang hanggan bilang ng mga lugar ng desimal at sa katunayan, kasama ang mga computer ngayon, milyon-milyon sa kanila ang kilala.

Mga kinatawan ng bilang e

Mayroong maraming mga paraan upang tukuyin na inilalarawan natin sa ibaba:

Ang bilang e bilang isang limitasyon

Ang isa sa iba't ibang paraan kung saan ipinahayag ang bilang e ay ang natagpuan ng siyentipiko na si Bernoulli sa kanyang mga gawa sa tambalang interes:

Sa kung saan kailangan mong gawin ang halaga n isang napakalaking bilang.

Madaling suriin, sa tulong ng isang calculator, na kapag napakalaking n, ang nakaraang expression ay may kaugaliang halaga ng e na ibinigay sa itaas.

Siyempre maaari nating tanungin ang ating sarili kung paano maaaring magawa ang malaki n, kaya subukan natin ang mga numero ng bilog, tulad nito halimbawa:

n = 1000; 10,000 o 100,000

Sa unang kaso nakukuha namin e = 2.7169239…. Sa pangalawang e = 2.7181459… at sa pangatlo mas malapit ito sa halaga ng e: 2.7182682. Maaari nating isipin na sa n = 1,000,000 o mas malaki, ang mas malapit ay magiging mas mahusay.

Sa wikang matematika, ang pamamaraan ng paggawa n lumapit at mas malapit sa isang napakalaking halaga ay tinatawag na limitasyon sa kawalang-hanggan at ito ay ipinapahiwatig tulad nito:

Upang ipahiwatig ang kawalang-hanggan ang simbolo na "∞" ay ginagamit.

Ang bilang e bilang isang kabuuan

Posible ring tukuyin ang bilang e sa pamamagitan ng operasyon na ito:

Ang mga figure na lumilitaw sa denominator: 1, 2, 6, 24, 120 … tumutugma sa operasyon n !, kung saan:

At sa pamamagitan ng kahulugan 0! = 1.

Madaling suriin na ang mga dagdag na idinagdag, mas tiyak na ang bilang e ay naabot.

Magsagawa tayo ng ilang mga pagsubok sa calculator, pagdaragdag ng higit pa at higit pang mga pagdaragdag:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2.71806

Ang mas maraming mga term na idinagdag sa kabuuan, mas ang resulta ay kahawig e.

Ang mga matematiko ay naglikha ng isang compact notation para sa mga kabuuan na kinasasangkutan ng maraming mga term, gamit ang sagisag ng summit

Ang expression na ito ay binabasa bilang "sum mula n = 0 hanggang sa kawalang-hanggan ng 1 sa pagitan ng n factorial".

Ang bilang e mula sa geometric point of view

Ang bilang e ay may isang representasyong grapikal na nauugnay sa lugar sa ilalim ng grap ng curve:

y = 1 / x

Kung ang mga halaga ng x ay nasa pagitan ng 1 at e, ang lugar na ito ay katumbas ng 1, tulad ng nakalarawan sa sumusunod na pigura:

Larawan 2. Graphic na representasyon ng bilang e: ang lugar sa ilalim ng curve ng 1 / x, sa pagitan ng x = 1 at x = e nagkakahalaga ng 1. Pinagmulan: F. Zapata.

Mga katangian ng bilang e

Ang ilan sa mga katangian ng bilang e ay:

- Ito ay hindi makatwiran, sa madaling salita, hindi ito maaaring makuha sa pamamagitan lamang ng paghahati ng dalawang buong numero.

-Ang bilang e ay din bilang isang transendaryo na numero, na nangangahulugang ang e ay hindi isang solusyon sa anumang pagkakapareho ng polynomial.

Ito ay nauugnay sa apat na iba pang mga sikat na numero sa larangan ng matematika, lalo na: π, i, 1 at 0, sa pamamagitan ng Euler pagkakakilanlan:

-Ang tinatawag na kumplikadong mga numero ay maipahayag sa pamamagitan ng e.

Ito ay bumubuo ng batayan ng natural o natural na mga logarithms ng kasalukuyang oras (ang orihinal na kahulugan ng John Napier ay naiiba ng kaunti).

-Ito ang nag-iisang bilang na ang natural na logarithm ay katumbas ng 1, iyon ay:

Aplikasyon

Mga Istatistika

Ang bilang e ay madalas na lilitaw sa larangan ng posibilidad at mga istatistika, na lilitaw sa iba't ibang mga pamamahagi, tulad ng normal o Gaussian, Poisson at iba pa.

Engineering

Sa engineering madalas, dahil ang pagpaparami ng pag-andar y = e ^x ay naroroon sa mga mekanika at electromagnetism, halimbawa. Kabilang sa maraming mga application na maaari nating banggitin:

-Ang cable o chain na hang na gaganapin ng mga dulo, ay nagpatibay sa hugis ng curve na ibinigay ng:

y = (e ^x + e ^-x ) / 2

-An una ay naglabas ng kapasitor C, na konektado sa serye sa isang risistor R at isang boltahe na mapagkukunan ng V upang singilin, ay makakakuha ng isang tiyak na singil Q bilang isang function ng oras t na ibinigay ng:

Q (t) = CV (1-e ^{-t / RC} )

biyolohiya

Ang exponential function y = Ae ^Bx , na may pare-pareho ng A at B, ay ginagamit upang modelo ng paglaki ng cell at paglaki ng bakterya.

Pisikal

Sa nuclear physics, radioaktif pagkabulok at pagtukoy ng edad ay na-modelo ng pakikipag-date sa radiocarbon.

Ekonomiya

Sa pagkalkula ng tambalang interes ang bilang at natural na lumitaw.

Ipagpalagay na mayroon kang isang tiyak na halaga ng pera P _o upang mamuhunan sa isang rate ng interes ng i% bawat taon.

Kung iniwan mo ang pera sa loob ng 1 taon, pagkatapos ng oras na iyon ay magkakaroon ka:

Matapos ang isa pang taon nang hindi hawakan ito, magkakaroon ka:

At nagpapatuloy sa ganitong paraan para sa mga taon:

Ngayon tandaan natin ang isa sa mga kahulugan ng e:

Mukhang medyo ang expression para sa P, kaya dapat mayroong isang relasyon.

Kami ay ipamamahagi ang nominal na rate ng interes sa mga tagal ng panahon, sa ganitong paraan ang rate ng interest interest ay i / n:

Ang expression na ito ay mukhang medyo katulad ng aming limitasyon, ngunit hindi pa rin ito eksaktong pareho.

Gayunpaman, pagkatapos ng ilang mga algebraic manipulasyon ay maipakita na sa pamamagitan ng paggawa ng pagbabagong ito ng variable:

Ang aming pera P ay nagiging:

At kung ano ang nasa pagitan ng mga tirante, kahit na nakasulat sa sulat h, ay katumbas ng argumento ng limitasyon na tumutukoy sa bilang e, nawawala lamang ang limitasyon.

Gawin natin ang h → ∞, at kung ano ang nasa pagitan ng mga tirante ay nagiging bilang e. Hindi ito nangangahulugan na kailangan nating maghintay ng walang hanggan na oras upang bawiin ang ating pera.

Kung titingnan natin nang mabuti, sa pamamagitan ng paggawa ng h = n / i at tending sa ∞, kung ano talaga ang ginawa namin ay kumalat ang rate ng interes sa napakaliit, napakaliit na panahon:

i = n / h

Ito ay tinatawag na patuloy na pagsasama-sama. Sa ganitong kaso ang halaga ng pera ay madaling kinakalkula tulad nito:

Kung saan ako ang taunang rate ng interes. Halimbawa, kapag nagdeposito ng € 12 sa 9% bawat taon, sa pamamagitan ng tuluy-tuloy na capitalization, pagkatapos ng isang taon mayroon kang:

Sa kita ng € 1.13.

Mga Sanggunian

1. Masiyahan sa matematika. Compound interest: Panahon na komposisyon. Nabawi mula sa: enjoylasmatematicas.com.
2. Figuera, J. 2000. Ika-1 Matematika. Nag-iba-iba. Mga edisyon ng CO-BO.
3. García, M. Ang bilang e sa elementong calculus. Nabawi mula sa: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Larson, R. 2010. Pagkalkula ng isang variable. Ika-9. Edisyon. McGraw Hill.