MAGKASUGPO SA PANLOOB AT PANLABAS NA ANGGULO: MGA HALIMBAWA, EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang mga anggulo ng mga anggulo ay ang mga naidagdag sa mga resulta na maging 360, anuman ang nasabing mga anggulo ay katabi o hindi. Dalawang anggulo ng conjugate ay ipinapakita sa Figure 1, na tinaguriang α at β.

Sa kasong ito, ang mga anggulo ng α at β sa figure ay may isang karaniwang vertex at ang kanilang mga panig ay karaniwan, samakatuwid sila ay katabi. Ang ugnayan sa pagitan nila ay ipinahayag tulad ng sumusunod:

α + β = 360º

Larawan 1. Dalawang conjugated central anggulo, kabuuan. Pinagmulan: Wikimedia Commons. Walang ibinigay na may-akda na nababasa ng makina. Ipinagpalagay ni Thiago R Ramos (batay sa mga paghahabol sa copyright). Ito ay isang pag-uuri ng mga anggulo ayon sa kanilang kabuuan. Ang iba pang mga mahahalagang kahulugan ay kasama ang mga pantulong na anggulo, na ang kabuuan ay 90º, at mga karagdagan na anggulo, na kabuuang 180º.

Sa kabilang banda, isaalang-alang natin ngayon ang dalawang magkaparehong linya na pinutol ng isang secant, na ang pag-aayos ay ipinapakita sa ibaba:

Larawan 2. Mga linya ng paralel na pinutol ng isang secant. Pinagmulan: F. Zapata.

Ang mga linya ng MN at PQ ay magkapareho, habang ang linya ng RS ay ligtas, na lumilitaw sa mga paralel sa dalawang puntos. Tulad ng nakikita, ang pagsasaayos na ito ay tumutukoy sa pagbuo ng 8 mga anggulo, na kung saan ay naihatid sa mga maliliit na titik.

Kaya, ayon sa kahulugan na ibinigay sa simula, ang mga anggulo a, b, c at d ay nagkatulad. At sa parehong paraan e, f, g at h ay, dahil ang parehong mga kaso ay totoo:

isang + b + c + d = 360º

AT

e + f + g + h = 360º

Para sa pagsasaayos na ito, ang dalawang anggulo ay pinagsama kung sila ay nasa parehong panig na may paggalang sa lihim na linya ng RS at pareho ang panloob o panlabas. Sa unang kaso nagsasalita kami ng mga panloob na anggulo ng conjugate, habang sa pangalawa, sila ay panlabas na mga anggulo ng conjugate.

Mga halimbawa

Sa figure 2, ang mga panlabas na anggulo ay ang mga nasa labas ng rehiyon na tinatanggal ng mga linya ng MN at PQ, sila ang mga anggulo A, B, G at H. Habang ang mga anggulo na namamalagi sa pagitan ng dalawang linya ay C, D, E at F.

Ngayon kinakailangan upang pag-aralan kung aling mga anggulo ang nasa kaliwa at kung saan sa kanan ng secant.

Sa kaliwa ng RS ay ang mga anggulo A, C, E, at G. At sa kanan ay mga anggulo B, D, F, at H.

Agad kaming nagpapatuloy upang matukoy ang mga pares ng anggulo ng conjugate, ayon sa kahulugan na ibinigay sa nakaraang seksyon:

-A at G, panlabas at sa kaliwa ng RS.

-D at F, panloob at sa kanan ng RS.

-B at H, panlabas at sa kanan ng RS.

-C at E, panloob at sa kaliwa ng RS.

Ari-arian ng mga nakakabit na anggulo sa pagitan ng mga magkakatulad na linya

Ang mga conjugated na anggulo sa pagitan ng mga kahanay na linya ay pandagdag, iyon ay, ang kanilang kabuuan ay katumbas ng 180º. Sa ganitong paraan, para sa figure 2 ang sumusunod ay totoo:

Isang + G = 180º

D + F = 180º

B + H = 180º

C + E = 180º

Ang mga pares ng kaukulang mga anggulo para sa mga kahanay na linya

Ang mga ito ay nasa parehong panig ng lihim na linya, hindi sila katabi at ang isa sa kanila ay panloob at ang iba ay panlabas. Mahalaga na mailarawan ang mga ito, dahil ang kanilang sukat ay pareho, dahil sila ay kabaligtaran ng mga anggulo ng vertex.

Sa pagbabalik sa figure 2, ang mga kaukulang pares ng mga anggulo ay nakilala bilang:

-A at E

-C at G

-B at F

-D at H

Panloob na mga anggulo ng isang kuwadrador

Ang mga quadrilateral ay 4-panig na mga polygons, kabilang sa mga ito ang parisukat, rektanggulo, trapezoid, paralelogram at rhombus, halimbawa. Anuman ang kanilang hugis, sa alinman sa mga ito ay totoo na ang kabuuan ng kanilang mga panloob na anggulo ay 360º, samakatuwid natutugunan nila ang kahulugan na ibinigay sa simula.

Tingnan natin ang ilang mga halimbawa ng quadrilateral at kung paano makalkula ang halaga ng kanilang mga panloob na anggulo ayon sa impormasyon sa mga naunang seksyon:

Mga halimbawa

a) Tatlo sa mga anggulo ng isang kuwadradrateral na sukat na 75º, 110º at 70º. Magkano ang dapat na natitirang sukat ng anggulo?

b) Hanapin ang halaga ng anggulo ∠Q sa figure 3 i.

c) Kalkulahin ang sukatan ng anggulo ∠A sa figure 3 ii.

Solusyon sa

Hayaan ang α ang nawawalang anggulo, nasiyahan na:

α + 75º + 110º + 70º = 360º → α = 105º

Solusyon b

Ang Figure 3i na ipinapakita ay isang trapezoid at dalawa sa mga panloob na anggulo nito ay tama, na minarkahan ng isang may kulay na parisukat sa mga sulok. Para sa quadrilateral na ito ang mga sumusunod ay napatunayan:

∠R + ∠S + ∠P + ∠Q = 360º; ∠S = ∠R = 90 °; ∠P = 60º

Kaya:

∠ Q = 2 x 90º + 60º = 240º

Solusyon c

Ang quadrilateral sa figure 3 ii ay isa ring trapezoid, kung saan ang sumusunod ay totoo:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360º

Kaya:

4x -5 + 3x + 10 +180 = 360

7x + 5 = 180

x = (180 - 5) / 7

x = 25

Upang matukoy ang anggulo na hiniling sa pahayag, ginamit na ∠A = 4x - 5. Pagsusulat ng dating kinakalkula na halaga ng x ay sumusunod na ∠A = (4 × 25) -5 = 95º

Pagsasanay

- Ehersisyo 1

Alam na ang isa sa mga anggulo na ipinakita ay 125º, hanapin ang mga panukala ng 7 natitirang mga anggulo sa sumusunod na tayahin at bigyang-katwiran ang mga sagot.

Larawan 4. Ang mga linya at anggulo ng ehersisyo 1. Pinagmulan: F. Zapata.

Solusyon

Ang anggulo 6 at anggulo 125º ay mga panloob na conjugates, na ang kabuuan ay 180º, ayon sa pag-aari ng mga anggulo ng conjugated, samakatuwid:

∠6 + 125º = 180º → ∠6 = 180º - 125º = 55º

Sa kabilang banda ang ∠6 at ∠8 ay kabaligtaran ng mga anggulo ng vertex, na ang sukat ay pareho. Samakatuwid ang ∠8 ay sumusukat sa 55º.

Ang anggulo ∠1 ay kabaligtaran din ng vertex sa 125º, kung gayon maaari nating kumpirmahin na ∠1 = 125º. Maaari rin tayong mag-apela sa katotohanan na ang mga kaukulang pares ng mga anggulo ay may parehong sukatan. Sa figure na ito ang mga anggulo ay:

∠7 = 125 º

∠2 = ∠6 = 55 º

∠1 = ∠5 = 125º

∠4 = ∠8 = 55 º

- Ehersisyo 2

Hanapin ang halaga ng x sa sumusunod na figure at ang mga halaga ng lahat ng mga anggulo:

Larawan 5. Mga linya at anggulo para sa ehersisyo 2. Pinagmulan: F. Zapata.

Solusyon

Dahil ang mga ito ay mga kaukulang pares, sinusunod na ang F = 73º. At sa kabilang banda ang kabuuan ng magkakasamang pares ay 180º, samakatuwid:

3x + 20º + 73º = 180º

3x = 180º - 73º -20º = 87

Sa wakas ang halaga ng x ay:

x = 87/3 = 29

Tulad ng para sa lahat ng mga anggulo, nakalista ang mga ito sa sumusunod na pigura:

Larawan 6. Mga anggulo na nagreresulta mula sa ehersisyo 2. Pinagmulan: F. Zapata.

Mga Sanggunian

1. Angle Mga Grupo. Kumpleto, Karagdagan at Paliwanag na Mga Paliwanag ng Mga Paliwanag. Nabawi mula sa: thisiget.com/
2. Baldor, A. 1983. Plano at Space Geometry at Trigonometry. Patria Cultural Group.
3. Corral, M. Matematika LibreTexts: Mga anggulo. Nabawi mula sa: matematika.libretexts.org.
4. Mathmania. Pag-uuri at pagbubuo ng mga anggulo sa pamamagitan ng kanilang pagsukat. Nabawi mula sa: mathemania.com/
5. Wentworth, G. Plane Geometry. Nabawi mula sa: gutenberg.org.
6. Wikipedia. Magkakabit ng mga anggulo. Nabawi mula sa: es.wikipedia.org.