MULTIPLICATIVE PRINSIPYO: MGA PAMAMARAAN SA PAGBIBILANG AT MGA HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2024

Ang multiplikatibong prinsipyo ay isang pamamaraan na ginagamit upang malutas ang mga problema sa pagbibilang upang mahanap ang solusyon nang hindi kinakailangang ilista ang mga elemento nito. Kilala rin ito bilang pangunahing prinsipyo ng pagsusuri ng kombinatorial; batay ito sa sunud-sunod na pagdami upang matukoy kung paano maganap ang isang kaganapan.

Ang prinsipyong ito ay nagsasabi na, kung ang isang desisyon (d ₁ ) ay maaaring gawin sa mga paraan at ang isa pang desisyon (d ₂ ) ay maaaring gawin sa mga paraan, ang kabuuang bilang ng mga paraan kung saan ang mga pagpapasya d ₁ at d ₂ ay maaaring gawin ay magiging pantay upang dumami mula sa n _* m. Ayon sa prinsipyo, ang bawat pagpapasya ay ginawa nang isa-isa: bilang ng mga paraan = N _{1 *} N ₂ … _* N _{x mga} paraan.

Mga halimbawa

Halimbawa 1

Plano ni Paula na pumunta sa mga sine kasama ang kanyang mga kaibigan, at upang piliin ang mga damit na isusuot niya, pinaghiwalay ko ang 3 blusang at 2 palda. Gaano karaming mga paraan ang maaaring magbihis ni Paula?

Solusyon

Sa kasong ito, si Paula ay dapat gumawa ng dalawang pagpapasya:

d ₁ = Pumili sa pagitan ng 3 blusang = n

d ₂ = Pumili sa pagitan ng 2 skirts = m

Sa ganoong paraan Paula ay n _* pagpapasya m upang gumawa o iba't-ibang mga paraan ng dressing.

n _* m = 3 _* 2 = 6 mga pagpapasya.

Ang multiplikatibong prinsipyo ay ipinanganak mula sa pamamaraan ng diagram ng puno, na kung saan ay isang diagram na nauugnay ang lahat ng mga posibleng resulta, upang ang bawat isa ay maaaring maganap ng isang tiyak na bilang ng beses.

Halimbawa 2

Si Mario ay sobrang uhaw, kaya pumunta siya sa bakery upang bumili ng juice. Pinag-iingat siya ni Luis at sinabi sa kanya na dumating ito sa dalawang sukat: malaki at maliit; at apat na lasa: mansanas, orange, lemon at ubas. Gaano karaming mga paraan na mapili ni Mario ang juice?

Solusyon

Sa diagram makikita na ang Mario ay may 8 iba't ibang mga paraan upang pumili ng juice at iyon, tulad ng sa multiplikatibong prinsipyo, ang resulta ay nakuha sa pamamagitan ng pagpaparami n _* m. Ang pagkakaiba lamang ay sa pamamagitan ng diagram na ito makikita mo kung ano ang mga paraan kung saan ang pagpili ng Mario ay tulad ng.

Sa kabilang banda, kung ang bilang ng mga posibleng kinalabasan ay napakalaki, mas praktikal na gamitin ang prinsipyo ng dumarami.

Mga pamamaraan ng pagbibilang

Ang mga pamamaraan ng pagbibilang ay mga pamamaraan na ginamit upang makagawa ng isang direktang bilang, at sa gayon alam ang bilang ng mga posibleng pag-aayos na maaaring magkaroon ng mga elemento ng isang naibigay na set. Ang mga pamamaraan na ito ay batay sa ilang mga prinsipyo:

Ang prinsipyo ng pagdaragdag

Ang prinsipyong ito ay nagsasabi na, kung ang dalawang kaganapan m at n ay hindi maaaring mangyari sa parehong oras, ang bilang ng mga paraan kung saan maaaring mangyari ang una o pangalawang kaganapan ay ang kabuuan ng m + n:

Bilang ng mga hugis = m + n … + x iba't ibang mga hugis.

Halimbawa

Nais ni Antonio na maglakbay ngunit hindi magpasya kung aling patutunguhan; sa Southern Tourism Agency ay nag-aalok sila sa iyo ng isang promosyon upang maglakbay sa New York o Las Vegas, habang inirerekomenda ng Eastern Tourism Agency ang paglalakbay sa Pransya, Italya o Espanya. Gaano karaming iba't ibang mga kahaliling paglalakbay ang inaalok sa iyo ni Antonio?

Solusyon

Sa Southern Tourism Agency si Antonio ay may 2 na kahalili (New York o Las Vegas), habang kasama ang Eastern Tourism Agency ay mayroon siyang 3 mga pagpipilian (France, Italy o Spain). Ang bilang ng iba't ibang mga kahalili ay:

Bilang ng mga alternatibo = m + n = 2 + 3 = 5 mga kahalili.

Prinsipyo ng pagpapanggap

Ito ay tungkol sa partikular na pag-order ng lahat o ilan sa mga elemento na bumubuo ng isang set, upang mapadali ang pagbibilang ng lahat ng mga posibleng pag-aayos na maaaring gawin sa mga elemento.

Ang bilang ng mga pahintulot ng n iba't ibang mga elemento, na kinuha nang sabay-sabay, ay kinakatawan bilang:

_n P _n = n!

Halimbawa

Apat na kaibigan ang nais na kumuha ng larawan at nais na malaman kung gaano karaming mga iba't ibang mga paraan na maaari silang ayusin.

Solusyon

Nais mong malaman ang hanay ng lahat ng mga posibleng paraan kung saan ang posisyon ng 4 na tao ay maaaring nakaposisyon upang kumuha ng larawan. Kaya, kailangan mong:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 iba't ibang mga hugis.

Kung ang bilang ng mga pahintulot ng n magagamit na mga elemento ay kinuha ng mga bahagi ng isang set na binubuo ng mga elemento ng r, ito ay kinakatawan bilang:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Halimbawa

Sa isang silid-aralan mayroong 10 upuan. Kung ang 4 na mag-aaral ay dumalo sa klase, sa kung gaano karaming iba't ibang mga paraan na mapuno ng mga mag-aaral ang mga posisyon?

Solusyon

Mayroon kaming ang kabuuang bilang ng mga hanay ng mga upuan ay 10, at sa mga ito lamang ang 4 ay gagamitin.Ang ibinigay na pormula ay inilalapat upang matukoy ang bilang ng mga pahintulot:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 mga paraan ng pagpuno ng mga posisyon.

Mayroong mga kaso kung saan ang ilan sa mga magagamit na elemento ng isang set ay paulit-ulit (pareho sila). Upang makalkula ang bilang ng mga pagdadala na kumukuha ng lahat ng mga elemento nang sabay, ginagamit ang sumusunod na pormula:

_n P _r = n! ₁ n ₁ ! _* n ₂ ! … n _r !

Halimbawa

Gaano karaming iba't ibang mga apat na titik na salita ang maaaring mabuo mula sa salitang "lobo"?

Solusyon

Sa kasong ito mayroong 4 na elemento (titik) kung saan ang dalawa sa mga ito ay eksaktong pareho. Paglalapat ng ibinigay na pormula, kilala kung gaano karaming mga magkakaibang mga resulta ang mga resulta:

_n P _r = n! ₁ n ₁ ! _* n ₂ ! … n _r !

₄ P _{2, 1,1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ÷ 2 = 12 magkakaibang mga salita.

Prinsipyong pinagsama

Ito ay tungkol sa pag-aayos ng lahat o ilan sa mga elemento na bumubuo ng isang set nang walang isang tiyak na pagkakasunud-sunod. Halimbawa, kung mayroon kang isang pag-aayos ng XYZ, magkapareho ito sa pag-aayos ng ZXY, YZX, ZYX, bukod sa iba pa; ito ay dahil, sa kabila ng hindi pagkakapareho, ang mga elemento ng bawat pag-aayos ay pareho.

Kapag ang ilang mga elemento (r) ay kinuha mula sa set (n), ang prinsipyo ng kumbinasyon ay ibinibigay ng mga sumusunod na pormula:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

Halimbawa

Sa isang tindahan nagbebenta sila ng 5 iba't ibang uri ng tsokolate. Gaano karaming iba't ibang mga paraan na mapili ang 4 na tsokolate?

Solusyon

Sa kasong ito, 4 na tsokolate ang dapat mapili mula sa 5 uri na ibinebenta nila sa tindahan. Ang pagkakasunud-sunod kung saan sila napili ay hindi mahalaga at, bilang karagdagan, ang isang uri ng tsokolate ay maaaring mapili nang higit sa dalawang beses. Paglalapat ng pormula, kailangan mong:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 5 iba't ibang mga paraan upang pumili ng 4 na tsokolate.

Kapag ang lahat ng mga elemento (r) ng set (n) ay nakuha, ang prinsipyo ng kumbinasyon ay ibinigay ng mga sumusunod na pormula:

_n C _{n =} n!

Malutas na ehersisyo

Ehersisyo 1

Mayroong isang baseball team na may 14 na miyembro. Sa ilang mga paraan maaaring italaga ang 5 posisyon para sa isang laro?

Solusyon

Ang hanay ay binubuo ng 14 na elemento at nais mong magtalaga ng 5 tukoy na posisyon; iyon ay, order matter. Ang pormula ng permutation ay inilalapat kung saan n magagamit ang mga elemento ay kinuha ng mga bahagi ng isang set na nabuo ng r.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Kung saan n = 14 at r = 5. Ito ay nahalili sa pormula:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 mga paraan upang magtalaga ng 9 na posisyon sa laro.

Mag-ehersisyo 2

Kung ang isang pamilya na 9 ay bumibiyahe at binili ang kanilang mga tiket na may sunud-sunod na mga upuan, gaano karaming iba't ibang mga paraan na maaari silang maupo?

Solusyon

Ito ay tungkol sa 9 mga elemento na sumasakop sa 9 na upuan nang sunud-sunod.

P ₉ = 9!

P ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362 880 iba't ibang paraan ng pag-upo.

Mga Sanggunian

1. Hopkins, B. (2009). Mga mapagkukunan para sa Pagtuturo ng Dislic Mathematics: Mga Proyekto sa silid-aralan, Mga Module sa Kasaysayan, at Mga Artikulo.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Discrete matematika. Edukasyon sa Pearson ,.
3. Lutfiyya, LA (2012). Tapos na at Discrete Matapos ang Problema sa Solver Mga Editoryo ng Mga Pananaliksik at Edukasyon.
4. Padró, FC (2001). Discrete matematika. Politèc. ng Catalunya.
5. Steiner, E. (2005). Matematika para sa inilapat na agham. Reverte.