ARC (GEOMETRY): SUKATIN, URI NG MGA ARKO, HALIMBAWA - MGA MATEMATIKA - 2024

Ang arko , sa geometry, ay anumang curved line na nag-uugnay sa dalawang puntos. Ang isang hubog na linya, hindi tulad ng isang tuwid na linya, ay isa na ang direksyon ay naiiba sa bawat puntong ito. Ang kabaligtaran ng isang arko ay isang segment, dahil ito ay isang tuwid na seksyon na sumali sa dalawang puntos.

Ang arko na madalas na ginagamit sa geometry ay ang arc ng circumference. Ang iba pang mga arko na karaniwang ginagamit ay ang parabolic arch, elliptical arch at ang catenary arch. Ang arko form ay madalas na ginagamit sa arkitektura bilang isang pandekorasyon elemento at isang istruktura elemento. Ito ang kaso ng lintels ng mga pintuan at bintana, pati na rin ang mga tulay at aqueducts.

Larawan 1. Ang bahaghari ay isang hubog na linya na sumali sa dalawang puntos sa abot-tanaw. Pinagmulan: Pixabay

Ang arko at sukat nito

Ang sukat ng isang arko ay ang haba nito, na nakasalalay sa uri ng curve na nag-uugnay sa dalawang puntos at sa kanilang lokasyon.

Ang haba ng isang pabilog na arko ay isa sa pinakasimpleng kalkulahin, dahil ang haba ng kumpletong arko o perimeter ng isang circumference ay kilala.

Ang perimeter ng isang bilog ay dalawang pi beses na radius nito: p = 2 π R. Alam ito, kung nais naming kalkulahin ang haba s ng isang pabilog na arko ng anggulo α (sinusukat sa mga radian) at radius R, isang proporsyon ay inilalapat:

(s / p) = (α / 2 π)

Pagkatapos, ang pag-clear mula sa nakaraang expression at pagpapalit ng perimeter p para sa expression nito bilang isang function ng radius R, mayroon kami:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

Iyon ay, ang sukatan ng isang pabilog na arko ay ang produkto ng mga oras ng pagbukas nito ang radius ng pabilog na arko.

Para sa isang arko sa pangkalahatan, ang problema ay mas kumplikado, hanggang sa ang punto na ang dakilang mga nag-iisip ng unang panahon ay nagsabing ito ay isang imposible na gawain.

Ito ay hindi hanggang sa pagdating ng kaugalian at mahalagang calculus noong 1665 na ang problema sa pagsukat ng anumang arko ay kasiya-siyang nalutas.

Bago ang pag-imbento ng calculus ng kaugalian, ang mga solusyon ay matatagpuan lamang sa pamamagitan ng paggamit ng mga polygonal na linya o mga arko ng circumference na tinatayang ang totoong arko, ngunit ang mga solusyon na ito ay hindi eksaktong.

Mga uri ng mga busog

Mula sa punto ng view ng geometry, ang mga arko ay inuri ayon sa hubog na linya na sumali sa dalawang puntos sa eroplano. Mayroong iba pang mga pag-uuri ayon sa paggamit at form ng arkitektura.

Pabilog arko

Kapag ang linya na nagkokonekta sa dalawang puntos sa eroplano ay isang piraso ng circumference ng isang tiyak na radius, mayroon kaming isang pabilog na arko. Ipinapakita ng Figure 2 ang isang pabilog na arko c ng radius R pagkonekta ng mga puntos A at B.

Larawan 2. Pabilog na arko ng radius R na nag-uugnay sa mga puntos A at B. Elaborated ni Ricardo Pérez.

Parabolic arch

Ang parabola ay ang landas na sinusundan ng isang bagay na itinapon sa hangin. Kapag ang curve na sumali sa dalawang puntos ay isang parabola, pagkatapos ay mayroon kaming isang parabolic arc tulad ng ipinakita sa figure 3.

Larawan 3. Parabolic arc pagkonekta puntos A at B. Inilarawan ni Ricardo Pérez.

Ito ang hugis ng jet ng tubig na lumalabas sa isang hose na tumuturo paitaas. Ang parabolic arc ay maaaring sundin sa mga mapagkukunan ng tubig.

Figure 4. Parabolic arch na nabuo ng tubig mula sa isang bukal sa Dresden. Pinagmulan: Pixabay.

Catenary arch

Ang arch cataryary ay isa pang natural na arko. Ang catenary ay ang curve na likas na bumubuo kapag ang isang chain o lubid ay nakabitin nang maluwag mula sa dalawang magkakahiwalay na puntos.

Figure 5. Catenary arch at paghahambing sa parabolic arch. Inihanda ni Ricardo Pérez.

Ang catenary ay katulad ng parabola, ngunit hindi ito eksaktong katulad ng makikita sa figure 4.

Ang baligtad na arkenary arch ay ginagamit sa arkitektura bilang isang mataas na compressive na lakas na istruktura na elemento. Sa katunayan, maipakita ito na ang pinakamalakas na uri ng bow sa lahat ng posibleng mga hugis.

Upang makabuo ng isang solidong cat catalaryo, kopyahin lamang ang hugis ng isang nakabitin na lubid o kadena, kung gayon ang nakopyang hugis ay na-flip upang muling kopyahin ito sa pinto o lintel ng bintana.

Elliptical arch

Ang isang arko ay masalimuot kung ang curve na nag-uugnay sa dalawang puntos ay isang piraso ng ellipse. Ang ellipse ay tinukoy bilang ang lugar ng mga puntos na ang distansya sa dalawang naibigay na puntos ay palaging nagdaragdag ng isang palaging dami.

Ang ellipse ay isang curve na lumilitaw sa likas na katangian: ito ang curve ng tilapon ng mga planeta sa paligid ng Araw, tulad ng ipinakita ni Johannes Kepler noong 1609.

Sa pagsasagawa ng isang ellipse ay maaaring iguguhit sa pamamagitan ng pag-pin ng dalawang struts sa lupa o dalawang mga pin sa isang piraso ng papel at tinali ang isang string sa kanila. Ang lubid ay pagkatapos ay higpitan ng marker o lapis at ang kurba ay sinusubaybayan. Ang isang piraso ng ellipse ay isang elliptical arc. Ang sumusunod na animation ay naglalarawan kung paano iginuhit ang ellipse:

Larawan 5. Pagsubaybay ng isang ellipse gamit ang isang nakatali na lubid. Pinagmulan: Wikimedia Commons

Ipinapakita ng Figure 6 ang isang patas na mga punto ng pagkonekta ng G at H.

Larawan 6. Elliptical arch na nagkokonekta sa dalawang puntos. Inihanda ni Ricardo Pérez.

Mga halimbawa ng mga arko

Ang mga sumusunod na halimbawa ay tumutukoy sa kung paano makalkula ang perimeter ng ilang mga tiyak na arko.

Halimbawa 1

Ipinapakita ng Figure 7 ang isang window na natapos sa isang cut circular arc. Ang mga sukat na ipinapakita sa figure ay nasa mga paa. Hanapin ang haba ng arko.

Larawan 7. Pagkalkula ng haba ng pabilog na arko ng isang window. (Sariling mga anotasyon - imahe ng window sa Pixabay)

Upang makuha ang gitna at radius ng pabilog na arko ng window lintel, ang mga sumusunod na konstruksyon ay ginawa sa imahe:

-Ang segment KL ay iginuhit at ang bisector nito ay iguguhit.

-Nasa ang pinakamataas na punto ng lintel ay matatagpuan, na tinawag namin na M. Susunod, isinasaalang-alang ang segment ng KM at sinusubaybayan ang mediatrix nito.

Ang pangharang ng dalawang bisectors ay point N at ito rin ang sentro ng pabilog na arko.

-Ngayon dapat nating sukatin ang haba ng segment ng NM, na coincides sa radius R ng pabilog na arko: R = 2.8 talampakan.

-Upang malaman ang haba ng arko bilang karagdagan sa radius, kinakailangan upang malaman ang anggulo na ang mga arc form. Alin ang maaaring matukoy ng dalawang pamamaraan, alinman ito ay sinusukat gamit ang isang protraktor, o kahalili nito ay kinakalkula gamit ang trigonometrya.

Sa kaso na ipinakita, ang anggulo na nabuo ng arko ay 91.13º, na dapat na ma-convert sa mga radian:

91.13º = 91.13º * π / 180º = 1.59 radian

Sa wakas kinakalkula namin ang haba ng arko gamit ang pormula s = α R.

s = 1.59 * 2.8 paa = 4.45 talampakan

Halimbawa 2

Hanapin ang haba ng elliptical arc na ipinakita sa figure 8, alam ang semi-major axis r at ang semi-minor axis s ng ellipse.

Larawan 8. Elliptical arch sa pagitan ng GH. Inihanda ni Ricardo Pérez.

Ang paghahanap ng haba ng isang ellipse ay isa sa mga pinakamahirap na problema sa matematika sa mahabang panahon. Maaari kang makakuha ng mga solusyon na ipinahayag ng mga elliptical integral ngunit upang magkaroon ng isang numerical na halaga na mayroon ka upang mapalawak ang mga integral na ito sa power series. Ang isang eksaktong resulta ay mangangailangan ng walang katapusang mga tuntunin ng mga seryeng iyon.

Sa kabutihang palad, ang Hindu matematika henyo na si Ramanujan, na nanirahan sa pagitan ng 1887 at 1920, ay natagpuan ang isang pormula na napaka tumpak na tinatayang perimeter ng isang ellipse:

Ang perimeter ng isang ellipse na may r = 3 cm at s = 2.24 cm ay 16.55 cm. Gayunman, ang ipinakita na elliptical arc ay may kalahati ng halagang iyon:

Haba ng elliptical arch GH = 8.28 cm.

Mga Sanggunian

1. Clemens S. 2008. Geometry at Trigonometry. Edukasyon sa Pearson.
2. García F. Mga pamamaraan ng maraming numero sa Java. Haba ng isang ellipse. Nabawi mula sa: sc.ehu.es
3. Dinamikong geometry. Bows. Nabawi mula sa geometriadinamica.es
4. Piziadas. Mga Ellipses at parabolas sa paligid namin. Nabawi mula sa: piziadas.com
5. Wikipedia. Arch (geometry). Nabawi mula sa: es.wikipedia.com