PAGKALKULA NG MGA APPROXIMATIONS GAMIT ANG KAUGALIAN - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang isang pagtatantya sa matematika ay isang bilang na hindi eksaktong halaga ng isang bagay, ngunit napakalapit dito na ito ay itinuturing na kapaki-pakinabang bilang eksaktong halaga.

Kapag ang mga pagtatantya ay ginawa sa matematika, ito ay dahil manu-mano ito ay mahirap (o kung minsan imposible) upang malaman ang tumpak na halaga ng nais mo.

Ang pangunahing tool kapag nagtatrabaho sa mga approximations ay ang kaibahan ng isang function.

Ang pagkakaiba-iba ng isang function f, na tinukoy ng Δf (x), ay walang higit pa kaysa sa hinango ng function f beses ang pagbabago sa independyenteng variable, iyon ay, Δf (x) = f '(x) * Δx.

Minsan ang df at dx ay ginagamit sa halip na Δf at Δx.

Mga pagtataya gamit ang kaugalian

Ang pormula na inilalapat upang isagawa ang isang pagtatantya sa pamamagitan ng pagkakaiba-iba ay lilitaw nang tiyak mula sa kahulugan ng hinango ng isang function bilang isang limitasyon.

Ang pormula na ito ay ibinigay ng:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Narito nauunawaan na ang Δx = x-x0, samakatuwid x = x0 + Δx. Gamit ang formula na ito ay maaaring isulat muli bilang

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Dapat pansinin na ang "x0" ay hindi isang di-makatwirang halaga, ngunit ang isang halaga na tulad ng f (x0) ay madaling kilala; bukod dito, "f (x)" lamang ang halaga na nais naming tinatayang.

Mayroon bang mas mahusay na mga pagtatantya?

Ang sagot ay oo. Ang nasa itaas ay ang pinakasimpleng ng mga approximations na tinatawag na "linear approximation".

Para sa mas mahusay na mga pagtataya ng kalidad (ang error na ginawa ay mas mababa) polynomials na may higit pang mga derivatives na tinatawag na "Taylor polynomial" ay ginagamit, pati na rin ang iba pang mga bilang ng mga pamamaraan tulad ng Newton-Raphson na pamamaraan sa iba pa.

Diskarte

Ang diskarte na sundin ay:

- Pumili ng isang angkop na pag-andar f upang maisakatuparan at ang halaga «x» tulad ng f (x) ay ang halaga na tinatayang.

- Pumili ng isang halaga na "x0", malapit sa "x", tulad ng f (x0) na madaling makalkula.

- Kalkulahin ang Δx = x-x0.

- Kalkulahin ang derivative ng function y f '(x0).

- Palitin ang data sa formula.

Natutukoy ang mga pagsasanay sa pagtatantya

Sa kung ano ang nagpapatuloy mayroong isang serye ng mga pagsasanay kung saan ang mga pagtatantya ay ginawa gamit ang kaugalian.

Unang ehersisyo

Humigit-kumulang √3.

Solusyon

Kasunod ng diskarte, dapat na napili ang isang angkop na pag-andar. Sa kasong ito, makikita na ang pag-andar na pipiliin ay dapat f (x) = √x at ang halaga na tinatayang ay f (3) = √3.

Ngayon dapat tayong pumili ng isang halaga na "x0" na malapit sa "3" sa gayon na ang f (x0) ay madaling makalkula. Kung ang "x0 = 2" ay pinili, kung gayon ang "x0" ay malapit sa "3" ngunit f (x0) = f (2) = √2 ay hindi madaling makalkula.

Ang naaangkop na halaga ng "x0" ay "4", dahil ang "4" ay malapit sa "3" at din f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Kung ang "x = 3" at "x0 = 4", pagkatapos ay Δx = 3-4 = -1. Ngayon ay nagpapatuloy kami upang makalkula ang derivative ng f. Iyon ay, f '(x) = 1/2 * √x, kaya't f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Pagsusulat ng lahat ng mga halaga sa pormula na nakukuha mo:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Kung gumagamit ka ng isang calculator nakuha mo na ang √3≈1.73205 … Ipinapakita nito na ang nakaraang resulta ay isang mahusay na pagtatantya ng tunay na halaga.

Pangalawang ehersisyo

Humigit-kumulang na √10.

Solusyon

Tulad ng nauna, pumili kami bilang isang function f (x) = √xy sa kasong ito x = 10.

Ang halaga ng x0 upang piliin ang oras na ito ay "x0 = 9". Pagkatapos ay mayroon kaming Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 at f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Kapag nasusuri sa formula nakuha ito

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 …

Gamit ang isang calculator ay nakuha na √10 ≈ 3.1622776 … Dito makikita mo rin na nakuha ang isang mahusay na pagtataya.

Pangatlong ehersisyo

Tinatayang ³√10, kung saan ang ³√ ay nagsasaad ng cube root.

Solusyon

Malinaw ang pag-andar na gagamitin sa pagsasanay na ito ay f (x) = ³√x at ang halaga ng "x" ay dapat na "10".

Ang isang halaga na malapit sa "10" tulad na ang cube root ay kilala ay "x0 = 8". Kung gayon mayroon tayong Δx = 10-8 = 2 at f (x0) = f (8) = 2. Mayroon din tayong f '(x) = 1/3 * ³√x², at dahil dito f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Pagsusulat ng data sa formula, nakuha ito na:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666….

Sinabi ng calculator na ³√10 ≈ 2.15443469 … Samakatuwid, ang pagtataya na natagpuan ay mabuti.

Pang-apat na ehersisyo

Tinatayang ln (1.3), kung saan ang "ln" ay nagpapahiwatig ng natural na pag-andar ng logarithm.

Solusyon

Una pumili tayo bilang isang function f (x) = ln (x) at ang halaga ng "x" ay 1.3. Ngayon, alam ang kaunti tungkol sa pag-andar ng logarithm, malalaman natin na ang ln (1) = 0, at saka ang "1" ay malapit sa "1.3". Samakatuwid, ang "x0 = 1" ay pinili at sa gayon Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

Sa kabilang banda f '(x) = 1 / x, kaya't f' (1) = 1. Kapag sinusuri ang ibinigay na pormula mayroon tayo:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

Gamit ang isang calculator mayroon kami na ln (1.3) ≈ 0.262364 … Kaya ang pagtataya na ginawa ay mabuti.

Mga Sanggunian

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematika ng Precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Ang precalculus matematika: isang diskarte sa paglutas ng problema (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra at trigonometrya na may analytical geometry. Edukasyon sa Pearson.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 ed.). Pag-aaral ng Cengage.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Plane Analytical Geometry. Mérida - Venezuela: Editoryal na Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Pag-precalculation. Edukasyon sa Pearson.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calculus (Ikasiyam ed.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Pagkakaiba-iba Calculus na may maagang transcendent na pag-andar para sa Science at Engineering (Second Edition ed.). Hypotenuse.
9. Scott, CA (2009). Geograpiya ng Plano ng Cartesian, Bahagi: Analytical Conics (1907) (muling pag-print ng ed.). Pinagmulan ng Kidlat.
10. Sullivan, M. (1997). Pag-precalculation. Edukasyon sa Pearson.