- Ang kabaligtaran na pag-aari
- Ang hindi tiyak na integral
- Iba pang mga kahulugan ng patuloy na pagsasama
- Paano kinakalkula ang patuloy na pagsasama?
- Mga halimbawa
- Halimbawa 1
- Halimbawa 2
- Halimbawa 3
- Ang mga iminungkahing ehersisyo
- Ehersisyo 1
- Mag-ehersisyo 2
- Mag-ehersisyo 3
- Ehersisyo 4
- Mga Sanggunian
Ang patuloy na pagsasama ay isang dagdag na halaga sa pagkalkula ng mga antiderivatives o integral, nagsisilbi itong kumatawan sa mga solusyon na bumubuo sa primitive ng isang function. Nagpapahayag ito ng isang likas na kalabuan kung saan ang anumang pag-andar ay may isang walang katapusang bilang ng mga primitibo.
Halimbawa, kung kukuha tayo ng pagpapaandar: f (x) = 2x + 1 at makuha natin ang antiderivative nito:
∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C ; Kung saan ang C ay ang pare - pareho ng pagsasama at kumakatawan sa graphically ang patayong pagsasalin sa pagitan ng walang hanggan na posibilidad ng primitive. Tama na sabihin na (x 2 + x) ay isa sa mga primitibo ng f (x).
Pinagmulan: may-akda
Katulad nito maaari nating tukuyin (x 2 + x + C ) bilang primitive ng f (x).
Ang kabaligtaran na pag-aari
Mapapansin na kapag nakuha ang expression (x 2 + x) ang function f (x) = 2x + 1 ay nakuha.Ito ay dahil sa kabaligtaran na pag-aari na mayroon sa pagitan ng derivation at pagsasama ng mga pag-andar. Ang ari-arian na ito ay nagbibigay-daan upang makakuha ng mga formula ng pagsasama simula sa pagkita ng kaibahan. Alin ang nagpapahintulot sa pagpapatunay ng mga integral sa pamamagitan ng parehong derivatives.
Pinagmulan: may-akda
Gayunpaman (x 2 + x) ay hindi lamang pag-andar na ang hinango ay katumbas ng (2x + 1).
- d (x 2 + x) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 1) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 2) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 3) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + C ) / dx = 2x + 1
Kung saan ang 1, 2, 3 at 4 ay kumakatawan sa mga partikular na primitibo ng f (x) = 2x + 1. Habang ang 5 ay kumakatawan sa walang katiyakan o primitive na integral ng f (x) = 2x + 1.
Pinagmulan: may-akda
Ang mga primitibo ng isang function ay nakamit sa pamamagitan ng antiderivation o integral na proseso. Kung saan ang F ay magiging isang primitive ng f kung ang mga sumusunod ay totoo
- y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = pare-pareho ng pagsasama
- F '(x) = f (x)
Makikita na ang isang pag-andar ay may isang solong derivatibo, hindi katulad ng walang hanggan nitong primitibo na nagreresulta mula sa pagsasama.
Ang hindi tiyak na integral
∫ f (x) dx = F (x) + C
Ito ay tumutugma sa isang pamilya ng mga curves na may parehong pattern, na nakakaranas ng kawalang-hanggan sa halaga ng mga imahe ng bawat punto (x, y). Ang bawat pag-andar na tumutupad sa pattern na ito ay magiging isang indibidwal na primitive at ang hanay ng lahat ng mga function ay kilala bilang isang walang limitasyong integral.
Ang halaga ng palagiang pagsasama ay ang magiging pagkakaiba-iba ng bawat pag-andar.
Ang pare-pareho ng pagsasama ay nagmumungkahi ng isang vertical shift sa lahat ng mga graph na kumakatawan sa mga primitibo ng isang function. Kung saan ang pagkakatulad sa pagitan nila ay sinusunod, at ang katotohanan na ang C ang halaga ng pag-aalis.
Ayon sa karaniwang mga kasanayan, ang pare - pareho ng pagsasama ay minarkahan ng titik na "C" pagkatapos ng isang addend, bagaman sa pagsasagawa ito ay walang malasakit kung ang palagi ay idinagdag o ibawas. Ang tunay na halaga nito ay matatagpuan sa iba't ibang paraan sa ilalim ng iba't ibang mga paunang kondisyon .
Iba pang mga kahulugan ng patuloy na pagsasama
Napag-usapan na kung paano inilalapat ang patuloy na pagsasama sa sangay ng integral calculus ; Kinakatawan ang isang pamilya ng mga curves na tumutukoy sa hindi tiyak na integral. Ngunit maraming iba pang mga agham at sanga ay nagtalaga ng napaka kawili-wili at praktikal na mga halaga ng palagiang pagsasama, na pinadali ang pag-unlad ng maraming pag-aaral.
Sa pisika ang patuloy na pagsasama ay maaaring tumagal ng maraming mga halaga depende sa likas na katangian ng data. Ang isang pangkaraniwang halimbawa ay ang pag-alam sa pagpapaandar V (t) na kumakatawan sa bilis ng isang maliit na butil kumpara sa oras t. Ito ay kilala na kapag ang pagkalkula ng isang primitive ng V (t) ang function R (t) ay nakuha na kumakatawan sa posisyon ng tinga kumpara sa oras.
Ang palagiang pagsasama ay kumakatawan sa halaga ng paunang posisyon, iyon ay, sa oras t = 0.
Sa parehong paraan, kung ang pag-andar A (t) na kumakatawan sa pagpabilis ng tinga kumpara sa oras ay nalalaman. Ang primitive ng A (t) ay magreresulta sa pag-andar V (t), kung saan ang patuloy na pagsasama ay magiging halaga ng paunang bilis ng V 0 .
Sa ekonomiya , sa pamamagitan ng pagkuha sa pamamagitan ng pagsasama ng primitive ng isang function ng gastos. Ang pare-pareho ng pagsasama ay kumakatawan sa mga nakapirming gastos. At napakaraming iba pang mga application na nagkakahalaga ng kaugalian at integral calculus.
Paano kinakalkula ang patuloy na pagsasama?
Upang makalkula ang patuloy na pagsasama, palaging kinakailangan na malaman ang paunang mga kondisyon . Alin ang namamahala sa pagtukoy kung alin sa mga posibleng primitibo ang kaukulang.
Sa maraming mga aplikasyon ito ay itinuturing bilang isang independiyenteng variable sa oras (t), kung saan ang palaging C ay tumatagal ng mga halagang tumutukoy sa mga paunang kondisyon ng partikular na kaso.
Kung kukuha tayo ng paunang halimbawa: ∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C
Ang isang wastong paunang kondisyon ay maaaring maging kondisyon na ang graph ay dumadaan sa isang tiyak na coordinate. Halimbawa, alam natin na ang primitive (x 2 + x + C) ay dumaan sa punto (1, 2)
F (x) = x 2 + x + C; ito ang pangkalahatang solusyon
F (1) = 2
Kapalit namin ang pangkalahatang solusyon sa pagkakapantay-pantay na ito
F (1) = (1) 2 + (1) + C = 2
Mula sa kung saan madali itong sumusunod sa C = 0
Sa ganitong paraan ang kaukulang primitive para sa kasong ito ay F (x) = x 2 + x
Mayroong maraming mga uri ng mga pagsasanay sa numero na gumagana sa mga konstant ng pagsasama . Sa katunayan, ang kaugalian at integral calculus ay hindi titigil na mailapat sa kasalukuyang pagsisiyasat. Sa iba't ibang mga antas ng akademiko maaari silang mahahanap; mula sa paunang pagkalkula, sa pamamagitan ng pisika, kimika, biology, ekonomiya, bukod sa iba pa.
Pinahahalagahan din ito sa pag-aaral ng mga equation ng pagkakaiba-iba , kung saan ang pagsasama ng pare - pareho ay maaaring tumagal ng iba't ibang mga halaga at solusyon, dahil sa maraming derivation at pagsasama na ginawa sa bagay na ito.
Mga halimbawa
Halimbawa 1
- Ang isang kanyon na matatagpuan 30 metro mataas na apoy ang isang projectile na patayo pataas. Ang paunang bilis ng projectile ay kilala na 25 m / s. Magpasya:
- Ang pagpapaandar na tumutukoy sa posisyon ng projectile na may paggalang sa oras.
- Ang oras ng paglipad o agarang oras kapag ang tinga ay tumama sa lupa.
Ito ay kilala na sa isang rectilinear motion na magkatulad na nag-iiba-iba ang pabilis ay isang palaging halaga. Ito ang kaso ng paglulunsad ng projectile, kung saan ang pagpabilis ay magiging gravity
g = - 10 m / s 2
Ito ay kilala rin na ang pagpabilis ay ang pangalawang derivative ng posisyon, na nagpapahiwatig ng isang dobleng pagsasama sa paglutas ng ehersisyo, sa gayon nakakakuha ng dalawang constants integration.
A (t) = -10
V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C 1
Ang mga paunang kondisyon ng ehersisyo ay nagpapahiwatig na ang paunang bilis ay V 0 = 25 m / s. Ito ang bilis sa agarang oras t = 0. Sa ganitong paraan nasisiyahan na:
V (0) = 25 = -10 (0) + C 1 at C 1 = 25
Sa tinukoy na bilis ng pagpapaandar
V (t) = -10t + 25; Ang pagkakatulad ay maaaring sundin sa pormula ng MRUV (V f = V 0 + axt)
Sa isang homologous na paraan, nagpapatuloy kami upang maisama ang bilis ng pagpapaandar upang makuha ang expression na tumutukoy sa posisyon:
R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t 2 + 25t + C 2
R (t) = -5t 2 + 25t + C 2 (posisyon ng primitive)
Ang paunang posisyon R (0) = 30 m ay kilala. Pagkatapos ang partikular na primitive ng projectile ay kinakalkula.
R (0) = 30m = -5 (0) 2 + 25 (0) + C 2 . Kung saan C 2 = 30
Halimbawa 2
- Hanapin ang primitive f (x) na nasiyahan sa mga unang kondisyon
- f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7
Sa impormasyon ng pangalawang derivative f '' (x) = 4 nagsisimula ang proseso ng antiderivation
f '(x) = ∫f' '(x) dx
∫4 dx = 4x + C 1
Pagkatapos, alam ang kondisyon f '(2) = 2, nagpapatuloy kami:
4 (2) + C 1 = 2
C 1 = -6 at f '(x) = 4x - 8
Nagpapatuloy kami sa parehong paraan para sa pangalawang palagiang pagsasama
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x 2 - 8x + C 2
Ang paunang kondisyon f (0) = 7 ay kilala at magpatuloy kami:
2 (0) 2 - 8 (0) + C 2 = 7
C 2 = 7 at f (x) = 2x 2 - 8x + 7
- f '' (x) = x 2 ; f '(0) = 6; f (0) = 3
Sa isang katulad na paraan sa nakaraang problema, tinukoy namin ang mga unang derivatives at ang orihinal na pag-andar mula sa mga paunang kondisyon.
f '(x) = ∫f' '(x) dx
∫ (x 2 ) dx = (x 3 /3) + C 1
Sa kondisyon f '(0) = 6 nagpapatuloy kami:
(0 3/3 ) + C 1 = 6; Saan C 1 = 6 at f '(x) = (x 3 /3) + 6
Pagkatapos ang pangalawang pare-pareho ng pagsasama
f (x) = ∫f '(x) dx
∫ dx = (x 4 /12) + 6x + C 2
Ang paunang kondisyon f (0) = 3 ay kilala at magpatuloy kami:
+ 6 (0) + C 2 = 3; Kung saan C 2 = 3
Sa gayon nakukuha namin ang primitive na partikular
f (x) = (x 4 /12) + 6x + 3
Halimbawa 3
- Tukuyin ang mga primitive na pag-andar na ibinigay ng mga derivatives at isang punto sa graph:
- dy / dx = 2x - 2 na dumadaan sa punto (3, 2)
Mahalagang tandaan na ang mga derivatives ay tumutukoy sa dalisdis ng linya ng padaplis sa curve sa isang naibigay na punto. Kung saan hindi wasto upang ipalagay na ang graph ng derivative ay humipo sa ipinahiwatig na punto, dahil kabilang ito sa graph ng primitive function.
Sa ganitong paraan ipinapahiwatig namin ang kaugalian equation tulad ng sumusunod:
∫dy = ∫ (2x - 2) dx
Paglalapat ng paunang kondisyon:
2 = (3) 2 - 2 (3) + C
C = -1
Ito ay nakuha: f (x) = x 2 - 2x - 1
- dy / dx = 3x 2 - 1 na dumadaan sa punto (0, 2)
Ipinapahiwatig namin ang kaugalian equation tulad ng sumusunod:
Paglalapat ng paunang kondisyon:
2 = (0) 2 - 2 (0) + C
C = 2
Nakukuha namin: f (x) = x 3 - x + 2
Ang mga iminungkahing ehersisyo
Ehersisyo 1
- Hanapin ang primitive f (x) na nasiyahan sa mga unang kondisyon
- f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
- f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
- f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
- f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8
Mag-ehersisyo 2
- Ang isang lobo na umaakyat sa bilis na 16 ft / s ay bumaba ng isang bag ng buhangin mula sa taas na 64 piye sa itaas ng antas ng lupa.
- Tukuyin ang oras ng paglipad
- Ano ang magiging vector V f kapag ito ay tumama sa lupa?
Mag-ehersisyo 3
- Ipinapakita ng figure ang acceleration-time na graph ng isang kotse na gumagalaw sa positibong direksyon ng x-axis. Ang kotse ay naglalakbay sa isang palaging bilis na 54 km / h nang ang driver ay nag-apply ng preno upang huminto sa 10 segundo. Alamin:
- Ang paunang pagbilis ng sasakyan
- Ang bilis ng sasakyan sa t = 5s
- Ang pag-alis ng kotse sa panahon ng pagpepreno
Pinagmulan: may-akda
Ehersisyo 4
- Tukuyin ang mga primitive na pag-andar na ibinigay ng mga derivatives at isang punto sa graph:
- dy / dx = x na dumaan sa punto (-1, 4)
- dy / dx = -x 2 + 1 na dumadaan sa punto (0, 0)
- dy / dx = -x + 1 na dumadaan sa punto (-2, 2)
Mga Sanggunian
- Integral calculus. Ang hindi tiyak na integral na pamamaraan at pagsasama. Wilson, Velásquez Bastidas. Magdalena University 2014
- Stewart, J. (2001). Pagkalkula ng isang variable. Maagang transendendal. Mexico: Pag-aaral ng Thomson.
- Jiménez, R. (2011). Matematika VI. Integral calculus. Mexico: Edukasyon sa Pearson.
- Pisika I. burol ng Mc Graw