MGA BAHAGYANG DERIVATIVES: NOTASYON, HALIMBAWA AT MALULUTAS NA EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang bahagyang derivatives ng isang function ng maraming variable ay yaong natutukoy ang rate ng pagbabago ng pag-andar kapag ang isa sa mga variable ay may infinitesimal na pagkakaiba-iba, habang ang iba pang mga variable ay nananatiling hindi nagbabago.

Upang gawing mas konkreto ang ideya, ipagpalagay na ang kaso ng isang function ng dalawang variable: z = f (x, y). Ang bahagyang derivative ng function f na may paggalang sa variable x ay kinakalkula bilang ordinaryong derivative na may paggalang sa x, ngunit ang pagkuha ng variable y na kung ito ay pare-pareho.

Larawan 1. Function f (x, y) at ang bahagyang derivatives nito ∂ _x f y ∂ _y f sa point P. (Elaborated ni R. Pérez na may geogebra)

Bahagyang dereksyon ng dereksyon

Ang bahagyang operasyon ng derivative ng function f (x, y) sa variable x ay ipinapahiwatig sa alinman sa mga sumusunod na paraan:

Sa bahagyang derivatives ang simbolo ∂ (isang uri ng bilugan na titik na tinatawag ding Jacobi's d) ay ginagamit, kumpara sa ordinaryong derivative para sa mga single-variable na pag-andar kung saan ang titik d ay ginagamit para sa derivative.

Sa pangkalahatang mga term, ang bahagyang derivative ng isang multivariate function, na may paggalang sa isa sa mga variable nito, ay nagreresulta sa isang bagong pag-andar sa parehong mga variable ng orihinal na pag-andar:

∂ _x f (x, y) = g (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y).

Pagkalkula at kahulugan ng bahagyang derivative

Upang matukoy ang rate ng pagbabago o slope ng pag-andar para sa isang tukoy na punto (x = a, y = b) sa direksyon na kahanay sa X axis:

1- Ang pag-andar ∂ _x f (x, y) = g (x, y) ay kinakalkula , ang pagkuha ng ordinaryong derivative sa variable x at iniiwan ang variable na naayos o palagi.

2- Pagkatapos ang halaga ng point x = a at y = b ay nahalili kung saan nais naming malaman ang rate ng pagbabago ng pag-andar sa x direksyon:

{Slope sa direksyon ng x sa puntong (a, b)} = ∂ _x f (a, b).

3- Upang makalkula ang rate ng pagbabago sa direksyon ng y sa coordinate point (a, b), kalkulahin muna ang ∂ _at f (x, y) = h (x, y).

4- Pagkatapos ang punto (x = a, y = b) ay nahalili sa nakaraang resulta upang makuha:

{Slope sa direksyon ng y sa puntong (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

Mga halimbawa ng bahagyang derivatives

Ang ilang mga halimbawa ng mga bahagyang derivatives ay ang mga sumusunod:

Halimbawa 1

Ibinigay ang pagpapaandar:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

Hanapin ang mga bahagyang derivatives ng function f na may paggalang sa variable x at variable na y.

Solusyon:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

Tandaan na upang makalkula ang bahagyang derivative ng function f na may paggalang sa variable x, ang ordinaryong derivative na may paggalang sa x ay isinasagawa, ngunit ang variable y ay kinuha bilang kung ito ay pare-pareho. Katulad nito, sa pagkalkula ng bahagyang derivative ng f na may paggalang sa y, ang variable x ay kinuha na parang isang pare-pareho.

Ang function f (x, y) ay isang ibabaw na tinatawag na isang paraboloid na ipinakita sa figure 1 sa kulay ng ocher.

Halimbawa 2

Hanapin ang rate ng pagbabago (o slope) ng pag-andar f (x, y) mula sa Halimbawa 1, sa direksyon ng X axis at ang Y axis para sa point (x = 1, y = 2).

Solusyon: Upang mahanap ang mga dalisdis sa mga direksyon ng x at y sa naibigay na punto, palitan lamang ang mga halaga ng punto sa pagpapaandar ng ∂ _x f (x, y) at sa pagpapaandar ng ∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _at f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

Ipinapakita ng Figure 1 ang linya ng tangent (sa pulang kulay) sa curve na tinutukoy ng intersection ng function f (x, y) kasama ang eroplano y = 2, ang slope ng linyang ito ay -2. Ipinapakita rin ng Figure 1 ang linya ng tangent (berde) sa curve na tumutukoy sa intersection ng function f sa eroplano x = 1; Ang linya na ito ay may slope -4.

Pagsasanay

Ehersisyo 1

Ang isang conical glass sa isang naibigay na oras ay naglalaman ng tubig upang ang ibabaw ng tubig ay may radius r at lalim h. Ngunit ang baso ay may isang maliit na butas sa ilalim kung saan ang tubig ay nawala sa isang rate ng C cubic sentimetro bawat segundo. Alamin ang rate ng paglusong mula sa ibabaw ng tubig sa sentimetro bawat segundo.

Solusyon:

Una sa lahat, kinakailangang tandaan na ang dami ng tubig sa ibinigay na instant ay:

Ang dami ay isang function ng dalawang variable, radius r at lalim h: V (r, h).

Kapag ang dami ng nagbabago sa pamamagitan ng isang infinitesimal na halaga dV, ang radius r ng tubig sa ibabaw at ang lalim ng tubig ay nagbabago rin ayon sa sumusunod na relasyon:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

Nagpapatuloy kami upang makalkula ang bahagyang derivatives ng V na may paggalang sa r at h ayon sa pagkakabanggit:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓ π r ^ 2 h) = ⅓ π r ^ 2

Bukod dito, ang radius r at ang lalim ay nakakatugon sa sumusunod na relasyon:

Pagbabahagi ng parehong mga kasapi sa pamamagitan ng oras na kaugalian ay nagbibigay sa:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

Ngunit ang dV / dt ay ang dami ng tubig na nawala sa bawat yunit ng oras na kilala na C sentimetro bawat segundo, habang ang dh / dt ay ang rate ng paglusong ng libreng ibabaw ng tubig, na tatawagin v. Iyon ay, ang ibabaw ng tubig sa naibigay na agarang pagbaba sa isang bilis v (sa cm / s) na ibinigay ni:

v = C / (π r ^ 2).

Bilang isang numerical application, ipagpalagay na r = 3 cm, h = 4 cm, at ang tumagas na rate C ay 3 cm ^ 3 / s. Pagkatapos ang bilis ng paglusong ng ibabaw sa instant na iyon ay:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0.11 cm / s = 1.1 mm / s.

Mag-ehersisyo 2

Ang Clairaut - Schwarz teorem ay nagsasaad na kung ang isang pag-andar ay tuluy-tuloy sa mga independiyenteng variable nito at ang bahagyang derivatives na may paggalang sa mga independyenteng variable ay nagpapatuloy din, kung gayon ang pangalawang-order na halo-halong derivatives ay maaaring mapalitan. Suriin ang teorem na ito para sa pagpapaandar

f (x, y) = x ^ 2 y, iyon ay, dapat itong totoo na f _xy f = ∂ _yx f.

Solusyon:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) habang ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

Ang teorem ng Schwarz ay napatunayan na hawakan, dahil ang pagpapaandar ng f at ang bahagyang derivatives ay patuloy para sa lahat ng mga tunay na numero.

Mga Sanggunian

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (2000). Pagkalkula 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Ang pagkalkula gamit ang analytic geometry. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Pagkalkula. Mexico: Edukasyon sa Pearson.
4. Saenz, J. (2005). Diferential calculus. Hypotenuse.
5. Saenz, J. (2006). Integral calculus. Hypotenuse.
6. Wikipedia. Bahagyang dereksyon. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com