SYNTHETIC DIVISION: PAMAMARAAN AT MALULUTAS NA EHERSISYO - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang synthetic division ay isang simpleng paraan ng paghati sa isang polynomial P (x) alinman sa alinman sa form d (x) = x - c. Halimbawa, ang polynomial P (x) = (x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1) ay maaaring kinakatawan bilang ang pagdaragdag ng dalawang pinakasimpleng polynomial (x + 1) at (x ⁴ + 2x ³ ).

Ito ay isang napaka-kapaki-pakinabang na tool mula pa, bilang karagdagan sa pagpapahintulot sa amin na hatiin ang mga polynomial, pinapayagan din nito na suriin namin ang isang polynomial P (x) sa anumang numero c, na kung saan ay sasabihin sa amin nang tumpak kung ang sinabi ay isang zero ng polynomial o hindi.

Salamat sa algorithm ng paghahati, alam natin na kung mayroon tayong dalawang hindi pare-pareho na polynomial P (x) at d (x), mayroong mga natatanging polynomial q (x) at r (x) tulad na totoo na P (x) = q (x) d (x) + r (x), kung saan ang r (x) ay zero o mas mababa sa q (x). Ang mga polynomial na ito ay kilala bilang quotient at naiwan o naiwan na ayon sa pagkakabanggit.

Sa mga pagkakataong ang polynomial d (x) ay ng form x- c, ang synthetic division ay nagbibigay sa amin ng isang maikling paraan ng paghahanap kung sino ang q (x) at r (x).

Paraan ng pagbubuo ng sintetikong paraan

Hayaan ang P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + … + isang ₁ x + a ₀ ang polynomial na nais nating hatiin at d (x) = xc ang naghahati. Upang hatiin sa pamamagitan ng pamamaraang synthetic division ay nagpapatuloy kami tulad ng mga sumusunod:

1- Sinusulat namin ang mga koepisyent ng P (x) sa unang hilera. Kung ang anumang kapangyarihan ng X ay hindi lilitaw, inilalagay namin ang zero bilang koepisyent nito.

2- Sa pangalawang hilera, sa kaliwa ng isang _n inilalagay namin c, at gumuhit kami ng mga linya ng dibisyon tulad ng ipinapakita sa sumusunod na pigura:

3- Ibinababa namin ang nangungunang koepisyent sa ikatlong hilera.

Sa expression na ito b _n-1 = a _n

4 Dinami namin ang c sa pamamagitan ng nangungunang koepisyent b _n-1 at isusulat namin ang resulta sa pangalawang hilera, ngunit isang haligi sa kanan.

5- Nagdagdag kami ng haligi kung saan isinulat namin ang nakaraang resulta at inilalagay namin ang resulta sa ibaba na kabuuan; iyon ay, sa parehong haligi, pangatlong hilera.

Kapag nagdaragdag, mayroon kami bilang isang resulta _n-1 + c * b _n-1 , na para sa kaginhawaan tatawagin namin ang b _n-2

6- Dinami namin ang c sa nakaraang resulta at isulat ang resulta sa kanan nito sa pangalawang hilera.

7- Uulitin namin ang mga hakbang 5 at 6 hanggang sa maabot namin ang koepisyent sa ₀ .

8- Sinusulat namin ang sagot; iyon ay, ang quotient at ang natitira. Dahil naghahati kami ng isang polynomial ng degree n sa pamamagitan ng isang polynomial ng degree 1, mayroon kaming na ang quient ay magiging degree n-1.

Ang mga coefficient ng quient polynomial ay ang mga numero sa pangatlong hilera maliban sa huli, na magiging tira polynomial o ang nalalabi sa dibisyon.

Malutas na ehersisyo

- Halimbawa 1

Gawin ang sumusunod na dibisyon sa pamamagitan ng pamamaraang synthetic division:

(x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1): (x + 1).

Solusyon

Una naming isulat ang mga koepisyent ng dividend tulad ng sumusunod:

Pagkatapos ay sumulat kami ng c sa kaliwang bahagi, sa pangalawang hilera, kasama ang mga naghahati na linya. Sa halimbawang ito c = -1.

Binababa namin ang nangungunang koepisyent (sa kasong ito b _n-1 = 1) at dumami ito sa pamamagitan ng -1:

Isinulat namin ang resulta nito sa kanan sa pangalawang hilera, tulad ng ipinakita sa ibaba:

Nagdagdag kami ng mga numero sa pangalawang haligi:

Pinarami namin ang 2 by -1 at isulat ang resulta sa ikatlong haligi, pangalawang hilera:

Nagdagdag kami sa ikatlong haligi:

Nagpapatuloy kami sa parehong paraan hanggang sa maabot namin ang huling haligi:

Kaya, mayroon kaming ang huling bilang na nakuha ay ang natitirang bahagi ng dibisyon, at ang natitirang mga numero ay ang koepisyent ng quient polynomial. Ito ay nakasulat tulad ng sumusunod:

Kung nais nating patunayan na ang resulta ay tama, sapat na upang mapatunayan na ang sumusunod na equation ay totoo:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Kaya maaari nating suriin na ang resulta na nakuha ay tama.

- Halimbawa 2

Gawin ang sumusunod na dibisyon ng polynomial sa pamamagitan ng pamamaraan ng paghahati ng sintetiko

(7x ³ -x + 2): (x + 2)

Solusyon

Sa kasong ito mayroon kaming ang term na x ² ay hindi lilitaw, kaya susulat namin ang 0 bilang koepisyent nito. Sa gayon, ang polynomial ay magiging 7x ³ + 0x ² -x + 2.

Sumusulat kami ng kanilang mga koepisyente nang sunud-sunod, ito ay:

Isinulat namin ang halaga ng C = -2 sa kaliwang bahagi ng pangalawang hilera at iguhit ang mga linya ng dibisyon.

Binababa namin ang nangungunang koepisyent b _n-1 = 7 at pinarami ito ng -2, isinusulat ang resulta nito sa pangalawang hilera sa kanan.

Nagdaragdag kami at nagpapatuloy tulad ng naunang ipinaliwanag, hanggang sa maabot namin ang huling term:

Sa kasong ito, ang natitira ay r (x) = - 52 at ang nakuha na nakuha ay q (x) = 7x ² -14x + 27.

- Halimbawa 3

Ang isa pang paraan upang magamit ang paghahati ng sintetiko ay ang mga sumusunod: ipagpalagay na mayroon kaming isang polynomial P (x) ng degree n at nais naming malaman kung ano ang halaga sa pamamagitan ng pagsusuri nito sa x = c.

Sa pamamagitan ng algorithm ng dibisyon maaari nating isulat ang polynomial P (x) sa sumusunod na paraan:

Sa expression na ito q (x) at r (x) ay ang quotient at ang natitira, ayon sa pagkakabanggit. Ngayon, kung d (x) = x- c, kapag sinusuri ang c sa polynomial makuha namin ang sumusunod:

Samakatuwid, nananatili lamang ito upang makahanap ng ar (x), at magagawa natin ito salamat sa dibisyon ng sintetiko.

Halimbawa, mayroon tayong polynomial P (x) = x ⁷ -9x ⁶ + 19x ⁵ + 12x ⁴ -3x ³ + 19x ² -37x-37 at nais naming malaman kung ano ang halaga nito sa pamamagitan ng pagsusuri nito sa x = 5. Upang gawin ito isinasagawa namin ang paghahati sa pagitan ng P (x) at d (x) = x -5 sa pamamagitan ng pamamaraan ng paghahati ng sintetiko:

Kapag tapos na ang mga operasyon, alam namin na maaari naming isulat ang P (x) sa sumusunod na paraan:

P (x) = (x ⁶ -4x ⁵ –x ⁴ + 7x ³ + 32x ² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Samakatuwid, kapag sinusuri ito kailangan nating:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Tulad ng nakikita natin, posible na gumamit ng dibisyon ng sintetiko upang mahanap ang halaga ng isang polynomial sa pamamagitan ng pagsusuri nito sa c kaysa sa pagpapalit lamang ng c para sa x.

Kung sinubukan nating suriin ang P (5) sa tradisyunal na paraan, mapipilitan kaming magsagawa ng ilang mga kalkulasyon na madalas na nakakapagod.

- Halimbawa 4

Ang division algorithm para sa mga polynomial ay totoo rin para sa mga polynomial na may mga kumplikadong coefficients at, bilang isang kinahinatnan, mayroon kami na ang pamamaraan ng synthetic division ay gumagana din para sa naturang mga polynomial. Makakakita tayo ng isang halimbawa sa ibaba.

Gagamitin namin ang pamamaraan ng paghahati ng sintetiko upang ipakita na ang z = 1+ 2i ay isang zero ng polynomial P (x) = x ³ + (1 + i) x ² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); iyon ay, ang natitirang bahagi ng dibisyon P (x) ni d (x) = x - z ay katumbas ng zero.

Nagpapatuloy kami tulad ng dati: sa unang hilera isinulat namin ang mga koepisyent ng P (x), pagkatapos ay sa pangalawang isinulat namin ang z at iguhit ang mga linya ng paghahati.

Isinasagawa namin ang dibisyon tulad ng dati; ito ay:

Mapapansin natin na ang natitira ay zero; samakatuwid kami ay magtapos na ang z = 1+ 2i ay isang zero ng P (x).

Mga Sanggunian

1. Baldor Aurelio. Algebra Grupo Editorial Patria.
2. Demana, Naghihintay, Foley & Kennedy. Precalculus: Graphical, Numerical, Algebraic 7th Ed. Edukasyong Pearson.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra at Trigonometry na may Analytical Geometry. Prentice Hall
4. Michael Sullivan. Precalculus 4th Ed. Edukasyon sa Pearson.
5. Pula. Armando O. Algebra 1 Ika-6 Ed. Ang Athenaeum.