- pagpaparami ng isang tunay na numero α sa pamamagitan ng isang vector v : α v pagbibigay ng isa pang vector at kabilang sa V .

Artistikong pananaw ng isang puwang ng vector. Pinagmulan: Pixabay

Upang magpahiwatig ng isang vector ay gumagamit kami ng naka-bold ( v ay isang vector), at para sa mga scalars o numero ng mga titik na Greek (α ay isang numero).

Axioms at mga katangian

Para sa isang puwang ng vector, ibibigay ang sumusunod na walong axioms:

1-commutability: u + v = v + u

2-Transitivity: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-Ang pagkakaroon ng null vector 0 tulad na 0 + v = v

4-Eksistensya ng kabaligtaran: ang kabaligtaran ng v ay (- v ), dahil v + (- v ) = 0

5-Pamamahagi ng produkto na may paggalang sa kabuuan ng vector: α ( u + v ) = α u + α v

6-Pamamahagi ng produkto na may kinalaman sa halaga ng scalar: (α + β) v = α v + β v

7-Kaakibat ng produkto ng scalar: α (β v ) = (α β) v

8-Ang bilang 1 ay ang neutral na elemento mula pa: 1 v = v

Mga halimbawa ng mga puwang ng vector

Halimbawa 1

Ang mga Vector sa eroplano (R²) ay isang halimbawa ng puwang ng vector. Ang isang vector sa eroplano ay isang geometric na bagay na may lakas at direksyon. Ito ay kinakatawan ng isang oriented na segment na kabilang sa nasabing eroplano at may sukat na sukat sa laki nito.

Ang kabuuan ng dalawang vectors sa eroplano ay maaaring matukoy bilang ang geometric na operasyon ng pagsasalin ng ikalawang vector pagkatapos ng una. Ang resulta ng kabuuan ay ang oriented na segment na nagsisimula mula sa pinagmulan ng una at umabot sa dulo ng pangalawa.

Sa pigura makikita na ang kabuuan sa R² ay commutative.

Larawan 2. Ang mga Vector sa eroplano ay bumubuo ng puwang ng vector. Pinagmulan: ginawa ng sarili.

Ang produkto ng isang numero ng α at isang vector ay tinukoy din. Kung ang numero ay positibo, ang direksyon ng orihinal na vector ay pinananatiling at ang laki ay α beses ang orihinal na vector. Kung ang numero ay negatibo, ang direksyon ay kabaligtaran, at ang laki ng nagresultang vector ay ang ganap na halaga ng numero.

Ang vector sa tapat ng anumang vector v ay - v = (- 1) v .

Ang null vector ay isang punto sa eroplano ng R², at ang bilang zero beses na ibinibigay ng isang vector ang null vector.

Ang lahat ng sinabi ay isinalarawan sa Figure 2.

Halimbawa 2

Ang set P ng lahat ng mga polynomial ng degree na mas mababa sa o katumbas ng dalawa, kabilang ang degree zero, ay bumubuo ng isang set na nasiyahan sa lahat ng mga axioms ng isang puwang ng vector.

Hayaan ang polynomial P (x) = isang x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

Ang kabuuan ng dalawang polynomial ay tinukoy: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Ang kabuuan ng mga polynomial na kabilang sa set P ay commutative at transitive.

Ang null polynomial na kabilang sa set P ay isa na mayroong lahat ng mga koepisyent na katumbas ng zero:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Ang kabuuan ng isang scalar α sa pamamagitan ng isang polynomial ay tinukoy bilang: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Ang kabaligtaran ng polynomial ng P (x) ay -P (x) = (-1) P (x).

Mula sa lahat ng nasa itaas ay sumusunod na ang set P ng lahat ng mga polynomial ng degree na mas mababa sa o katumbas ng dalawa ay isang puwang ng vector.

Halimbawa 3

Ang set M ng lahat ng mga matrices ng mga hilera xn mga haligi na ang mga elemento ay mga tunay na numero ay bumubuo ng isang tunay na puwang ng vector, na may paggalang sa mga operasyon ng pagdaragdag ng mga matrice at produkto ng isang numero ng isang matrix.

Halimbawa 4

Ang set F ng tuluy-tuloy na pag-andar ng tunay na variable, bumubuo ng isang puwang ng vector, dahil posible na tukuyin ang kabuuan ng dalawang pag-andar, ang pagpaparami ng isang scalar sa pamamagitan ng isang function, ang null function at ang symmetric function. Natutupad din nila ang mga axiom na nagpapakilala sa isang puwang ng vector.

Base at sukat ng isang puwang ng vector

Base

Ang batayan ng isang puwang ng vector ay tinukoy bilang isang hanay ng mga gulong na independiyenteng mga vector na mula sa isang magkakasamang kumbinasyon ng mga ito ng anumang vector ng puwang na vector ay maaaring mabuo.

Ang magkakasabay na pagsasama ng dalawa o higit pang mga vectors ay binubuo ng pagpaparami ng mga vektor sa pamamagitan ng ilang scalar at pagkatapos ay pagdaragdag sa kanila ng vectorially.

Halimbawa, sa puwang ng vector ng mga vector sa tatlong sukat na nabuo ng R³, ang batayang kanonikal na tinukoy ng mga yunit ng vector (ng magnitude 1) i , j , k ay ginagamit .

Kung saan i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Ito ang mga Cartesian o canonical vectors.

Ang anumang vector V na kabilang sa R³ ay nakasulat bilang V = a i + b j + c k , na kung saan ay isang gupit na kombinasyon ng mga base vectors i , j , k . Ang isang skeilar o numero a, b, c ay kilala bilang Cartesian ng mga bahagi ng V .

Sinasabi rin na ang mga base vector ng isang puwang ng vector ay bumubuo ng isang set ng generator ng espasyo ng vector.

Ang sukat

Ang sukat ng isang puwang ng vector ay ang cardinal na numero ng isang vector na batayan para sa puwang na iyon; iyon ay, ang bilang ng mga vectors na bumubuo sa sinabi na base.

Ang kardinal na ito ay ang maximum na bilang ng mga linearly independiyenteng mga vector ng puwang ng vector na iyon, at sa parehong oras ang minimum na bilang ng mga vectors na bumubuo ng isang set ng generator ng puwang na iyon.

Ang mga batayan ng isang puwang ng vector ay hindi natatangi, ngunit ang lahat ng mga batayan ng parehong puwang ng vector ay may parehong sukat.

Subspace ng Vector

Ang isang vector subspace S ng isang vector space V ay isang subset ng V kung saan ang parehong mga operasyon ay tinukoy bilang sa V at natutupad ang lahat ng mga vector space axioms. Samakatuwid, ang subspace S ay magiging isang puwang ng vector.

Halimbawa ng vector subspace ay ang mga vectors na kabilang sa XY plane. Ang subspace na ito ay isang subset ng isang puwang ng vector na dimensionality na mas malaki kaysa sa hanay ng mga vectors na kabilang sa three-dimensional space XYZ.

Ang isa pang halimbawa ng isang vector subspace S1 ng vector space S na nabuo ng lahat ng 2 × 2 matrice na may tunay na mga elemento ay tinukoy sa ibaba:

Sa kabilang banda, ang tinukoy ng S2 sa ibaba, bagaman ito ay isang subset ng S, ay hindi bumubuo ng isang subspace ng vector:

Malutas na ehersisyo

-Ehersisyo 1

Hayaan ang mga vectors V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) at V3 = (0, 0, 3) sa R³.

a) Ipakita na ang mga ito ay linearly independente.

b) Ipakita na sila ay bumubuo ng isang batayan sa R³, dahil ang anumang triple (x, y, z) ay maaaring isulat bilang isang guhit na kumbinasyon ng V1, V2, V3.

c) Hanapin ang mga sangkap ng triple V = (-3,5,4) sa batayang V1 , V2 , V3 .

Solusyon

Ang criterion upang ipakita ang linear na kalayaan ay binubuo sa pagtatag ng sumusunod na hanay ng mga equation sa α, α at γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

Kung sakaling ang tanging solusyon sa sistemang ito ay α = β = γ = 0 kung gayon ang mga vectors ay magkatulad na independyente, kung hindi man ay hindi.

Upang makuha ang mga halaga ng α, β at γ ipinapanukala namin ang sumusunod na sistema ng mga equation:

∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Ang una ay humahantong sa α = 0, ang pangalawang α = -2 ∙ β ngunit mula noong α = 0 pagkatapos ay β = 0. Ang pangatlong equation ay nagpapahiwatig na γ = (- 1/3) β, ngunit mula noong β = 0 pagkatapos ay γ = 0.

Sagot sa

Napagpasyahan na ito ay isang hanay ng mga linearly independiyenteng mga vector sa R³.

Sagot b

Ngayon isulat natin ang triple (x, y, z) bilang isang guhit na kumbinasyon ng V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Nasaan ka:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Ang una ay nagpapahiwatig ng α = x, ang pangalawa β = (yx) / 2 at ang pangatlong γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. Sa ganitong paraan nahanap namin ang mga generator ng α, β at γ ng anumang triple ng R³

Sagot c

Lumipat tayo upang mahanap ang mga sangkap ng triple V = (-3,5,4) sa batayang V1 , V2 , V3 .

Pinalitan namin ang mga kaukulang halaga sa mga expression na matatagpuan sa itaas para sa mga generator.

Sa kasong ito mayroon kami: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Yan ay:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Sa huli:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Napagpasyahan namin na ang V1, V2, V3 ay bumubuo ng isang batayan sa puwang ng vector R dim ng sukat 3.

-Exercise 2

Ipahayag ang polynomial P (t) = t² + 4t -3 bilang isang linear na kombinasyon ng P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t at P3 (t) = t + 3.

Solusyon

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

kung saan ang mga numero x, y, z ay dapat matukoy.

Sa pamamagitan ng pagpaparami at pagpapangkat ng mga term na may parehong degree sa t, nakukuha namin:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Aling humahantong sa amin sa sumusunod na sistema ng mga equation:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Ang mga solusyon ng sistemang ito ng mga equation ay:

x = -3, y = 2, z = 4.

Yan ay:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Exercise 3

Ipakita na ang mga vectors v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) at v3 = (2, 1, -1, 1) ng R⁴ ay magkakasunod na independyente.

Solusyon

Kami ay magkakasamang pinagsama ang tatlong vectors v1 , v2 , v3 at hiniling na ang kumbinasyon ay nagdaragdag ng null element ng R⁴

isang v1 + b v2 + c v3 = 0

Na ibig sabihin,

isang (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Ito ang humahantong sa amin sa sumusunod na sistema ng mga equation:

isang + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Ang pagbabawas ng una at ika-apat na mayroon kami: -a + c = 0 na nagpapahiwatig ng isang = c.

Ngunit kung titingnan natin ang pangatlong equation, mayroon tayong isang = -c. Ang tanging paraan na hawak ng isang = c = (- c) ay para sa c maging 0 at samakatuwid ay magiging 0 din.

a = c = 0

Kung isasaksak namin ang resulta na ito sa unang equation pagkatapos ay tapusin namin na b = 0.

Sa wakas ang isang = b = c = 0, upang mapagtapos na ang mga vectors v1, v2 at v3 ay magkakasunod na independyente.

Mga Sanggunian

1. Lipschutz, S. 1993. Linear algebra. Ikalawang edisyon. McGraw-Hill. 167-198.