- Mga halimbawa ng antas ng isang polynomial
- Talahanayan 1. Mga halimbawa ng mga polynomial at ang kanilang mga degree
- Pamamaraan para sa pagtatrabaho sa mga polynomial
- Pag-order, bawasan, at kumpletuhin ang isang polynomial
- Kahalagahan ng antas ng isang polynomial bilang karagdagan at pagbabawas
- Malutas na ehersisyo
- - Natapos ang ehersisyo 1
- Solusyon
- - Malutas ang ehersisyo 2
- Solusyon
- Mga Sanggunian
Ang antas ng isang polynomial sa isang variable ay ibinibigay ng term na may pinakamalaking exponent, at kung ang polynomial ay may dalawa o higit pang mga variable, kung gayon ang degree ay tinutukoy ng kabuuan ng mga exponents ng bawat term, ang mas malaking kabuuan ay ang degree ng polynomial.
Tingnan natin kung paano matukoy ang antas ng polynomial sa isang praktikal na paraan.
Larawan 1. Ang tanyag na equation ng Einstein para sa enerhiya E ay isang monopolyo ng ganap na degree 1 para sa variable na misa, na tinutukoy ng m, dahil ang bilis ng ilaw c ay itinuturing na pare-pareho. Pinagmulan: Mga Piqsel.
Ipagpalagay na ang polynomial P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2 . Ang polynomial na ito ay isang variable, sa kasong ito ito ang variable x. Ang polynomial na ito ay binubuo ng ilang mga termino, na ang mga sumusunod:
At ngayon ano ang exponent? Ang sagot ay 3. Samakatuwid ang P (x) ay isang polynomial ng degree 3.
Kung ang polynomial na pinag-uusapan ay may higit sa isang variable, kung gayon ang degree ay maaaring:
-Absolute
-Kung may kaugnayan sa isang variable
Ang ganap na degree ay matatagpuan tulad ng ipinaliwanag sa simula: pagdaragdag ng mga exponents ng bawat term at pagpili ng pinakamalaking.
Sa halip, ang antas ng polynomial na may paggalang sa isa sa mga variable o titik ay ang pinakamalaking halaga ng exponent na sinabi ng liham. Ang punto ay magiging mas malinaw sa mga halimbawa at malulutas na pagsasanay sa mga sumusunod na seksyon.
Mga halimbawa ng antas ng isang polynomial
Ang mga polynomials ay maaaring maiuri ayon sa degree, at maaaring maging unang degree, pangalawang degree, ikatlong degree at iba pa. Para sa halimbawa sa Figure 1, ang enerhiya ay isang first degree monomial para sa masa.
Mahalaga ring tandaan na ang bilang ng mga termino na mayroong isang polynomial ay katumbas ng degree plus 1. Kaya:
Ang mga polynomial sa unang antas ay mayroong 2 term: isang 1 x + a o
-Ang ikalawang degree na polynomial ay may 3 term: isang 2 x 2 + a 1 x + a o
-Ang pangatlong degree na polynomial ay may 4 na term: isang 3 x 3 + isang 2 x 2 + isang 1 x + a o
At iba pa. Napansin ng maingat na mambabasa na ang mga polynomial sa nakaraang mga halimbawa ay nakasulat sa pagbawas ng form, iyon ay, ang paglalagay ng term na may pinakadakilang degree.
Ang sumusunod na talahanayan ay nagpapakita ng iba't ibang mga polynomial, pareho ng isa at ng ilang mga variable at kani-kanilang mga ganap na degree:
Talahanayan 1. Mga halimbawa ng mga polynomial at ang kanilang mga degree
| Polynomial | Degree |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| x-1 | isa |
| x 5 -bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 at 5 + 5x 2 at 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
Ang huling dalawang polynomial ay may higit sa isang variable. Sa mga ito, ang term na may pinakamataas na ganap na degree ay na-highlight nang matapang, upang ang mambabasa ay maaaring mabilis na suriin ang degree. Mahalagang tandaan na kapag ang variable ay walang nakasulat na exponent, nauunawaan na ang sinabi ng exponent ay katumbas ng 1.
Halimbawa, sa naka-highlight na term ab 3 x 2 mayroong tatlong variable, lalo na: a, b at x. Sa term na ito, isang itinaas sa 1, iyon ay:
a = a 1
Samakatuwid ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
Dahil ang exponent ng b ay 3 at ang x ay 2, agad itong sumusunod na ang degree ng term na ito ay:
1 + 3 + 2 = 6
Y ang ganap na antas ng polynomial, dahil walang ibang term na may mas mataas na degree.
Pamamaraan para sa pagtatrabaho sa mga polynomial
Kapag nagtatrabaho sa mga polynomial, mahalagang bigyang pansin ang antas nito, dahil una at bago isagawa ang anumang operasyon, maginhawa na sundin ang mga hakbang na ito, kung saan ang degree ay nagbibigay ng napakahalagang impormasyon:
-Order ang polynomial ng kagustuhan sa pagbawas ng direksyon. Kaya, ang term na may pinakamataas na degree ay nasa kaliwa at ang term na may pinakamababang degree ay nasa kanan.
-Balikin tulad ng mga termino, isang pamamaraan na binubuo sa pagdaragdag ng algebraically lahat ng mga term ng parehong variable at degree na matatagpuan sa expression.
Kung kinakailangan, ang mga polynomial ay nakumpleto, ang pagpasok ng mga termino na ang koepisyent ay 0, kung sakaling may mga nawawalang term sa isang exponent.
Pag-order, bawasan, at kumpletuhin ang isang polynomial
Ibinigay ang polynomial P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12, hiniling na mag-order ito sa pababang pagkakasunud-sunod, bawasan ang mga katulad na term, kung mayroon man, at kumpletuhin ang nawawalang mga termino. kung tumpak.
Ang unang bagay na hahanapin ay ang term na may pinakamalaking exponent, na kung saan ay ang antas ng polynomial, na kung saan ay:
x 7
Samakatuwid ang P (x) ay nasa antas 7. Pagkatapos ay inutusan ang polynomial, na nagsisimula sa term na ito sa kaliwa:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7 -12
Ngayon ang mga katulad na termino ay nabawasan, na ang mga sumusunod: - 2x at 3x sa isang banda. At 7 at -12 sa kabilang. Upang mabawasan ang mga ito, ang mga koepisyentidad ay idinagdag algebraically at ang variable ay naiwan na hindi nagbabago (kung ang variable ay hindi lilitaw sa tabi ng koepisyent, tandaan na x 0 = 1):
-2x + 3x = x
7 -12 = -5
Palitan ang mga resulta na ito sa P (x):
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x -5
At sa wakas ang polynomial ay sinuri upang makita kung ang anumang exponent ay nawawala at sa katunayan, isang term na ang exponent ay 6 ay nawawala, kaya't nakumpleto ito sa mga zero na ganito:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x - 5
Ngayon ay napansin na ang polynomial ay naiwan na may 8 term, dahil tulad ng sinabi ng una, ang bilang ng mga termino ay katumbas ng degree + 1.
Kahalagahan ng antas ng isang polynomial bilang karagdagan at pagbabawas
Sa mga polynomial maaari kang magsagawa ng karagdagan at pagbabawas ng mga operasyon, kung saan tulad lamang ng mga term ay idinagdag o bawasin, na kung saan ay may parehong variable at parehong antas. Kung walang katulad na mga term, ang karagdagan o pagbabawas ay ipinahiwatig lamang.
Kapag ang pagdaragdag o pagbabawas ay isinasagawa, ang huli ay ang kabuuan ng kabaligtaran, ang antas ng nagreresultang polynomial ay palaging katumbas o mas mababa sa antas ng polynomial pagdaragdag ng pinakamataas na degree.
Malutas na ehersisyo
- Natapos ang ehersisyo 1
Hanapin ang sumusunod na kabuuan at alamin ang ganap na antas:
isang 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + isang 3 + 14ax 2 - x 3
Solusyon
Ito ay isang polynomial na may dalawang variable, kaya maginhawa upang mabawasan ang mga katulad na termino:
isang 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + isang 3 + 14ax 2 - x 3 =
= isang 3 + 3a 3 + a 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5a 3 - 2x 3
Ang parehong mga termino ay nasa degree 3 sa bawat variable. Samakatuwid ang ganap na antas ng polynomial ay 3.
- Malutas ang ehersisyo 2
Ipahayag ang lugar ng sumusunod na eroplano na geometriko ng eroplano bilang isang polynomial (figure 2 kaliwa). Ano ang antas ng nagreresultang polynomial?
Larawan 2 Sa kaliwa, ang figure para sa nalutas na ehersisyo 2 at sa kanan, ang parehong figure ay nabulok sa tatlong mga lugar na ang expression ay kilala. Pinagmulan: F. Zapata.
Solusyon
Dahil ito ay isang lugar, ang nagreresultang polynomial ay dapat na degree 2 sa variable x. Upang matukoy ang isang angkop na expression para sa lugar, ang figure ay nabulok sa mga kilalang lugar:
Ang lugar ng isang rektanggulo at isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit: base x taas at base x taas / 2
Isang 1 = x. 3x = 3x 2 ; Isang 2 = 5. x = 5x; Isang 3 = 5. (2x / 2) = 5x
Tandaan : ang batayan ng tatsulok ay 3x - x = 2x at ang taas nito ay 5.
Ngayon ang tatlong expression na nakuha na idinagdag, kasama nito ang lugar ng figure bilang isang function ng x:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
Mga Sanggunian
- Baldor, A. 1974. Elementong Algebra. Kultura Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Wikibooks. Polynomials. Nabawi mula sa: es. wikibooks.org.
- Wikipedia. Degree (polynomial). Nabawi mula sa: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Algebra at Trigonometry. Mac Graw Hill.