HEPTADECAGON: MGA KATANGIAN, DIAGONAL, PERIMETER, LUGAR - MGA MATEMATIKA - 2025

Ang heptadecagon ay isang regular na polygon na may 17 panig at 17 na mga vertice. Ang pagtatayo nito ay maaaring gawin sa estilo ng Euclidean, iyon ay, gamit lamang ang pinuno at kumpas. Ito ang mahusay na henyo sa matematika na si Carl Friedrich Gauss (1777-1855), halos 18 taong gulang, na natagpuan ang pamamaraan para sa pagtatayo nito noong 1796.

Sa malas, si Gauss ay palaging napaka-hilig sa geometric figure na ito, sa isang sukat na mula sa araw na natuklasan niya ang pagtatayo nito ay nagpasya siyang maging isang matematiko. Sinasabi rin na nais niya ang heptadecagon na maiukit sa kanyang lapida.

Larawan 1. Ang heptadecagon ay isang regular na polygon na may 17 panig at 17 na mga vertice. Pinagmulan: F. Zapata.

Natagpuan din ni Gauss ang pormula upang matukoy kung aling mga regular na polygons ang may posibilidad na itayo gamit ang pinuno at kumpas, dahil ang ilan ay walang eksaktong konstruksiyon ng Euclidean.

Mga katangian ng heptadecagon

Tulad ng para sa mga katangian nito, tulad ng anumang polygon, ang kabuuan ng mga panloob na anggulo nito ay mahalaga. Sa isang regular na polygon na may mga panig, ang kabuuan ay ibinibigay ng:

Ang kabuuan na ito, na ipinahayag sa mga radian, ganito ang hitsura:

Mula sa mga pormula sa itaas madali itong maibawas na ang bawat panloob na anggulo ng isang heptadecagon ay may eksaktong sukat na ibinigay ng:

Sinusundan nito na ang panloob na anggulo ay halos:

Mga diagonal at perimeter

Ang mga diagonal at perimeter ay iba pang mahahalagang aspeto. Sa anumang polygon ang bilang ng mga diagonals ay:

D = n (n - 3) / 2 at sa kaso ng heptadecagon, bilang n = 17, pagkatapos ay mayroon tayong D = 119 na mga diagonal.

Sa kabilang banda, kung ang haba ng bawat panig ng heptadecagon ay kilala, kung gayon ang perimeter ng regular na heptadecagon ay matatagpuan lamang sa pamamagitan ng pagdaragdag ng 17 beses na haba, o kung ano ang katumbas ng 17 beses ang haba d ng bawat panig:

P = 17 d

Perimeter ng heptadecagon

Minsan ang radius r ng heptadecagon lamang ang nalalaman, kaya kinakailangan na bumuo ng isang formula para sa kasong ito.

Hanggang dito, ipinakilala ang konsepto ng apothem. Ang apothem ay ang segment na pupunta mula sa gitna ng regular na polygon hanggang sa kalagitnaan ng isang panig. Ang apothem na may kaugnayan sa isang panig ay patayo sa gilid na iyon (tingnan ang figure 2).

Larawan 2. Ang mga bahagi ng isang regular na polygon na may radius r at ang apothem nito ay ipinapakita. (Sariling pagsasaliksik)

Bukod dito, ang apothem ay isang bisector ng anggulo na may gitnang vertex at panig sa dalawang magkakasunod na patayo ng polygon, pinapayagan kaming makahanap ng isang relasyon sa pagitan ng radius r at sa gilid d.

Kung ang gitnang anggulo na DOE ay tinawag na β at isinasaalang-alang na ang apothem OJ ay isang bisector, mayroon kaming EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), mula sa kung saan mayroon kaming isang relasyon upang mahanap ang haba d ng panig ng isang polygon kilala ang radius r at ang gitnang anggulo nito:

d = 2 r Sen (β / 2)

Sa kaso ng heptadecagon β = 360º / 17, mayroon kami:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0.3675 r

Sa wakas, ang formula para sa perimeter ng heptadecagon ay nakuha, na kilala ang radius nito:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6.2475 r

Ang perimeter ng isang heptadecagon ay malapit sa perimeter ng circumference na nakapaligid dito, ngunit ang halaga nito ay mas maliit, iyon ay, ang perimeter ng bilog na circuit ay Pcir = 2π r ≈ 6.2832 r.

Lugar

Upang matukoy ang lugar ng heptadecagon ay tinutukoy namin ang Larawan 2, na nagpapakita ng mga panig at apothem ng isang regular na polygon na may mga panig. Sa figure na ito ang tatsulok EOD ay may isang lugar na katumbas ng base d (gilid ng polygon) beses ang taas ng (apothem ng polygon) na hinati ng 2:

EOD area = (dxa) / 2

Kaya, sa pag-alam ng apothem ng isang heptadecagon at sa gilid d ng pareho, ang lugar nito ay:

Heptadecagon area = (17/2) (dxa)

Ibinigay ang lugar

Upang makakuha ng isang formula para sa lugar ng heptadecagon alam ang haba ng labing pitong panig nito, kinakailangan upang makakuha ng isang relasyon sa pagitan ng haba ng apothem a at sa gilid d.

Sa sanggunian sa figure 2, ang sumusunod na ugnayan ng trigonometriko ay nakuha:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, kung saan ang β ang gitnang anggulo ng GAWA. Kaya ang apothem a ay maaaring kalkulahin kung ang haba d sa gilid ng polygon at ang gitnang anggulo β ay kilala:

a = (d / 2) Cotan (β / 2)

Kung ang expression na ito ay ngayon ay nahalili para sa apothem, sa formula para sa lugar ng heptadecagon na nakuha sa nakaraang seksyon, mayroon kaming:

Heptadecagon area = (17/4) (d ² ) Cotan (β / 2)

Ang pagiging β = 360º / 17 para sa heptadecagon, kaya't sa wakas mayroon kaming nais na pormula:

Heptadecagon area = (17/4) (d ² ) Cotan (180º / 17)

Ibinigay ang radius ng lugar

Sa mga nakaraang seksyon ang isang relasyon ay natagpuan sa pagitan ng gilid d ng isang regular na polygon at ang radius r, ang relasyon na ito ang sumusunod:

d = 2 r Sen (β / 2)

Ang expression na ito para sa d ay nakapasok sa expression na nakuha sa nakaraang seksyon para sa lugar. Kung ang mga nauugnay na kapalit at pagpapagaan ay ginawa, ang pormula na nagpapahintulot sa pagkalkula ng lugar ng heptadecagon ay nakuha:

Heptadecagon area = (17/2) (r ² ) Sen (β) = (17/2) (r ² ) Sen (360º / 17)

Ang tinatayang pagpapahayag para sa lugar ay:

Heptadecagon area = 3.0706 (r ² )

Tulad ng inaasahan, ang lugar na ito ay bahagyang mas maliit kaysa sa lugar ng bilog na nagbubuklod sa heptadecagon A _circ = ² r ² ≈ 3.1416 r ² . Upang maging tumpak, ito ay 2% mas mababa kaysa sa ikot ng bilog nito.

Mga halimbawa

Halimbawa 1

Upang masagot ang tanong kinakailangan na tandaan ang kaugnayan sa pagitan ng gilid at radius ng isang regular na n-panig na polygon:

d = 2 r Sen (180º / n)

Para sa heptadecagon n = 17, kaya d = 0.3675 r, iyon ay, ang radius ng heptadecagon ay r = 2 cm / 0.3675 = 5.4423 cm o

10.8844 cm ang lapad.

Ang perimeter ng isang 2-cm na side heptadecagon ay P = 17 * 2 cm = 34 cm.

Halimbawa 2

Dapat naming sumangguni sa pormula na ipinakita sa nakaraang seksyon, na nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang lugar ng isang heptadecagon kapag mayroon itong haba d ng tagiliran nito:

Heptadecagon area = (17/4) (d ² ) / Tan (180º / 17)

Sa pamamagitan ng pagpapalit ng d = 2 cm sa nakaraang pormula, nakuha namin:

Lugar = 90.94 cm

Mga Sanggunian

1. CEA (2003). Mga elemento ng geometry: may mga ehersisyo at geometry ng compass. Unibersidad ng Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Napalaya, K. (2007). Tuklasin ang mga Polygons. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Pangkalahatang Polygons. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Matematika Unang Semester Tacaná. IGER.
6. Geometry ng Jr. (2014). Polygons. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren, & Hornsby. (2006). Matematika: Nangangatuwiran At Aplikasyon (Ikasampung Edisyon). Edukasyon sa Pearson.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Editoryal ng Edukasyon.
9. Sada, M. 17-panig na regular na polygon na may pinuno at kumpas. Nabawi mula sa: geogebra.org
10. Wikipedia. Heptadecagon. Nabawi mula sa: es.wikipedia.com