MGA BATAS SA MORGAN - MGA MATEMATIKA - 2024

Ang mga mata ng Morgan ay mga panuntunan sa pagkilala na ginamit sa panukalang lohika, na nagtatag kung ano ang resulta ng pagtanggi sa isang disjunction at isang pagsasama ng mga panukala o variable na panukala. Ang mga batas na ito ay tinukoy ng matematika na si Augustus De Morgan.

Ang mga batas ni Morgan ay kumakatawan sa isang napaka-kapaki-pakinabang na tool upang maipakita ang pagiging totoo ng pangangatwiran sa matematika. Kalaunan ay isinulat sila sa loob ng konsepto ng mga set ng matematika na si George Boole.

Ang pangkalahatang ito na ginawa ni Boole ay ganap na katumbas ng mga paunang batas ng Morgan, ngunit partikular itong binuo para sa mga set kaysa sa mga panukala. Ang pangkalahatang ito ay kilala rin bilang mga batas ni Morgan.

Suriin ang panukalang lohika

Bago tingnan kung ano ang partikular na mga batas ng Morgan at kung paano ito ginagamit, kapaki-pakinabang na tandaan ang ilang pangunahing mga kuru-kuro sa panukalang lohika. (Para sa higit pang mga detalye tingnan ang artikulo sa panukalang lohika).

Sa kaharian ng lohika (o panukalang-ideya) na lohika, ang isang pagkilala ay isang konklusyon na inilabas mula sa isang hanay ng mga lugar o hypotheses. Ang konklusyon na ito, kasama ang nabanggit na lugar, ay nagbibigay ng pagtaas sa kung ano ang kilala bilang matematikal na pangangatwiran.

Ang nasabing pangangatwiran ay dapat ipakita o tanggihan; iyon ay, hindi lahat ng mga inpormasyon o konklusyon sa matematika na pangangatwiran ay may bisa.

Pagkabagabag

Ang isang maling pag-iisip na ginawa mula sa ilang mga hypotheses na ipinapalagay na totoo ay kilala bilang isang pagkalugi. Ang mga pagkukulang ay mayroong kakaiba ng pagiging mga argumento na tila tama, ngunit sa matematika hindi sila.

Ang panukalang lohika ay tiyak na namamahala sa pagbuo at pagbibigay ng mga pamamaraan sa pamamagitan ng kung saan posible, nang walang anumang kalabuan, upang mapatunayan o patunayan ang isang pang-matematika na pangangatuwiran; iyon ay, mas mababa ang isang wastong konklusyon mula sa lugar. Ang mga pamamaraan na ito ay kilala bilang mga panuntunan ng pag-iinterpresa, kung saan bahagi ang mga batas ni Morgan.

Mga Panukala

Ang mga mahahalagang elemento ng panukalang lohika ay mga panukala. Ang mga mungkahi ay mga pahayag na maaaring masabing may bisa o hindi, ngunit hindi maaaring maging totoo o mali sa parehong oras. Hindi dapat magkaroon ng kalabuan sa bagay na ito.

Tulad ng mga numero ay maaaring pagsamahin sa pamamagitan ng mga pagpapatakbo ng karagdagan, pagbabawas, pagpaparami at paghahati, ang mga panukala ay maaaring pinatatakbo sa pamamagitan ng mga kilalang lohikal na konektibo (o mga konektor): negasyon (¬, "hindi"), disjunction (V , "O"), kasabay (Ʌ, "at"), kondisyon (→, "kung …, kung gayon …") at biconditional (↔, "kung, at kung").

Upang gumana nang mas pangkalahatan, sa halip na isinasaalang-alang ang mga tiyak na mga panukala, ang mga variable na panukala na kumakatawan sa anumang mga panukala ay isinasaalang-alang, at kadalasan ay ipinapahiwatig sa mga maliliit na titik p, q, r, s, atbp.

Ang isang pormulisyon ng pormula ay isang pagsasama ng mga variable na panukala sa pamamagitan ng ilan sa mga lohikal na konektibo. Sa madaling salita, ito ay isang komposisyon ng mga variable na panukala. Karaniwan silang tinutukoy ng mga titik na Greek.

Sinasabing ang isang pormula ng panukala ay lohikal na nagpapahiwatig ng isa pa kung totoo ang huli sa tuwing totoo ang dating. Ito ay ipinapahiwatig ng:

Kung ang lohikal na implikasyon sa pagitan ng dalawang pormula ng panukalang-batas ay kabaliktaran - iyon ay, kapag ang naunang implikasyon ay may bisa din sa kabaligtaran - ang mga pormula ay sinasabing lohikal na katumbas, at ito ay ipinapahiwatig ng

Ang katumbas na lohikal ay isang uri ng pagkakapantay-pantay sa pagitan ng mga pormulasyong pormula at nagbibigay-daan upang palitan ang isa-isa kung kinakailangan.

Batas sa Morgan

Ang mga batas ni Morgan ay binubuo ng dalawang lohikal na pagkakapareho sa pagitan ng dalawang pormulasyong pangkaisipan, na:

Pinapayagan ng mga batas na ito ang paghihiwalay ng negasyon ng isang disjunction o pagsasama, tulad ng mga negasyon ng mga variable na kasangkot.

Ang una ay maaaring basahin ang mga sumusunod: ang negasyon ng isang disjunction ay katumbas ng pagsasama ng mga negasyon. At ang pangalawang binasa tulad nito: ang negation ng isang pagsasama ay ang disjunction ng mga negations.

Sa madaling salita, ang pagtanggi sa disjunction ng dalawang variable na panukala ay katumbas ng pagsasama ng mga negasyon ng parehong variable. Gayundin, ang pagtanggi sa pagsasama ng dalawang variable na panukalang-batas ay katumbas ng disjunction ng mga negations ng parehong variable.

Tulad ng nabanggit kanina, ang paghahalili ng lohikal na pagkakapantay-pantay na ito ay tumutulong upang patunayan ang mga mahahalagang resulta, kasama ang iba pang mga umiiral na mga panuntunan sa pagkilala. Sa mga ito maaari mong gawing simple ang maraming mga pormula ng panukala, upang mas kapaki-pakinabang ang mga ito upang gumana.

Ang sumusunod ay isang halimbawa ng isang patunay na pang-matematika na gumagamit ng mga panuntunan sa pagkilala, kabilang ang mga batas ni Morgan. Partikular, ipinapakita na ang pormula:

Katumbas ito ng:

Ang huli ay mas madaling maunawaan at umunlad.

Demonstrasyon

Ito ay nagkakahalaga ng pagbanggit na ang bisa ng mga batas ng Morgan ay maaaring maipakita sa matematika. Ang isang paraan ay sa pamamagitan ng paghahambing ng iyong mga talahanayan ng katotohanan.

Nagtatakda

Ang parehong mga patakaran ng pag-iintindi at ang mga kuru-kuro ng lohika na inilalapat sa mga panukala ay maaari ring binuo na isinasaalang-alang ang mga set. Ito ang kilala bilang Boolean algebra, pagkatapos ng matematika na si George Boole.

Upang makilala ang mga kaso, kinakailangan upang baguhin ang notasyon at ilipat sa mga set, ang lahat ng nakita na mga paniwala ng panukalang lohika.

Ang isang hanay ay isang koleksyon ng mga bagay. Ang mga pag-upo ay ipinapahiwatig ng mga malalaking titik A, B, C, X, … at ang mga elemento ng isang set ay ipinapahiwatig ng mga mas mababang titik ng titik a, b, c, x, atbp. Kung ang isang elemento ay kabilang sa isang set X, ito ay ipinapahiwatig ng:

Kapag hindi ito kasali sa X, ang notasyon ay:

Ang paraan upang kumatawan ng mga set ay sa pamamagitan ng paglalagay ng kanilang mga elemento sa loob ng mga tirante. Halimbawa, ang hanay ng mga likas na numero ay kinakatawan ng:

Ang mga set ay maaari ding kinakatawan nang walang pagsulat ng isang tahasang listahan ng kanilang mga elemento. Maaari silang maipahayag sa form {:}. Ang colon ay binabasa "ganyan". Sa kaliwa ng dalawang puntos ng isang variable ay inilalagay na kumakatawan sa mga elemento ng set, at sa kanang bahagi ay inilalagay ang ari-arian o kundisyon na kanilang nasiyahan. Ito ay:

Halimbawa, ang hanay ng buong bilang na mas malaki kaysa sa -4 ay maipapahayag bilang:

O katumbas, at mas pinaikling, tulad ng:

Katulad nito, ang mga sumusunod na expression ay kumakatawan sa mga hanay ng mga kakaiba at kahit na mga numero, ayon sa pagkakabanggit:

Union, intersection, at mga pandagdag sa mga set

Susunod ay makikita natin ang mga analog ng mga lohikal na konektibo sa kaso ng mga set, na bahagi ng mga pangunahing operasyon sa pagitan ng mga set.

Unyon at interseksyon

Ang unyon at ang intersection ng mga set ay tinukoy, ayon sa pagkakasunod, ayon sa sumusunod:

Halimbawa, isaalang-alang ang mga hanay:

Kaya, kailangan mong:

Pagpupuno

Ang pandagdag ng isang set ay nabuo ng mga elemento na hindi kabilang sa nasabing set (ng parehong uri na kinakatawan ng orihinal). Ang pandagdag ng isang set A, ay ipinapahiwatig ng:

Halimbawa, sa loob ng mga likas na numero, ang pandagdag sa hanay ng kahit na mga numero ay ng mga kakaibang numero, at kabaligtaran.

Upang matukoy ang pandagdag ng isang set, ang unibersal o punong hanay ng mga elemento sa pagsasaalang-alang ay dapat na malinaw mula sa simula. Halimbawa, hindi pareho ang pagsasaalang-alang ng pandagdag sa isang set sa mga likas na numero kaysa sa mga makatwirang numero.

Ang sumusunod na talahanayan ay nagpapakita ng kaugnayan o pagkakatulad na umiiral sa pagitan ng mga operasyon sa mga set na tinukoy nang una, at ang mga konektibo ng panukalang lohika:

Batas ng Morgan para sa Mga Sets

Sa wakas, ang mga batas ni Morgan sa set ay:

Sa mga salita: ang pandagdag ng isang unyon ay ang intersection ng mga pandagdag, at ang pandagdag ng isang intersection ay ang unyon ng mga pandagdag.

Ang isang patunay ng matematika ng unang pagkakapantay-pantay ay ang mga sumusunod:

Ang patunay ng pangalawa ay magkatulad.

Mga Sanggunian

1. Almaguer, G. (2002). Matematika 1. Editoryal na Limusa.
2. Aylwin, CU (2011). Logic, Sets at Numero. Mérida - Venezuela: Konseho ng Publikasyon, Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Panimula sa Teorya ng Numero. GUSTO.
4. Castañeda, S. (2016). Pangunahing kurso ng numero ng teorya. Northern University.
5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Paano Bumuo ng Makatuwirang Pangangatwiran ng Matematika. University Publishing House.
6. Guevara, MH (nd). Teorya ng Mga Numero. GUSTO.
7. Zaragoza, AC (sf). Teorya ng numero Ang Editorial Vision Libros.